koordinate cilja, radar mjera; napadni ugao aviona; opterećenje u električnom kolu.

5. Vrste slučajnih procesa.

U matematici postoji koncept slučajne funkcije.

slučajna funkcija- takvu funkciju koja kao rezultat iskustva poprima jedan ili drugi specifičan oblik, a ne zna se unaprijed koji. Argument takve funkcije nije slučajan. Ako je argument vrijeme, tada se poziva takva funkcija slučajni proces. Primjeri nasumičnih procesa:

Posebnost slučajne funkcije (procesa) je da je za fiksnu vrijednost argumenta (t) slučajna funkcija slučajna varijabla, tj. pri t = t i H (t ) = X (t i ) je slučajna varijabla.

Rice. 2.1. Grafički prikaz slučajne funkcije

Vrijednosti slučajne funkcije s fiksnim argumentom nazivaju se njezinim dijelom. Jer slučajna funkcija može imati beskonačan broj sekcija, au svakom dijelu je slučajna varijabla, tada se slučajna funkcija može smatrati kao beskonačno dimenzionalni slučajni vektor.

Često se naziva teorija slučajnih funkcija teorija slučajnosti (stohastička)

procesi.

Za svaki dio slučajnog procesa možete specificirati m x (t i ), D x (t i ), x (t i ) iu općenitom slučaju - x (t i ).

Pored slučajnih funkcija vremena, ponekad se koriste i slučajne funkcije koordinata tačke u prostoru. Ove funkcije dodjeljuju neku slučajnu varijablu svakoj tački u prostoru.

Zove se teorija slučajnih funkcija koordinata tačke u prostoru teorija slučajnog polja. Primjer: vektor brzine vjetra u turbulentnoj atmosferi.

U zavisnosti od tipa funkcije i tipa argumenta razlikuju se 4 tipa slučajnih procesa.

Tabela 2.1 Tipovi slučajnih procesa

veličina lokve (kontinuirani raspon)

Osim toga, tu su:

1. Stacionarni slučajni proces- čije vjerovatnoće ne zavise od vremena, tj. x (x 1, t 1) = x (x 2, t 2) = ... x (x n, t n) = konst.

2. Normalni stohastički proces (Gausov)je zajednička gustina vjerovatnoće poprečnih presjeka t 1 … t n je normalno.

3. Markovljev slučajni proces(proces bez posledica) stanje u svakom trenutku vremena koje zavisi samo od stanja u prethodnom trenutku i ne zavisi od prethodnih stanja. Markovljev cilj je niz sekcija Markovljevog slučajnog procesa.

4. slučajni tip procesa bijeli šum - u svakom trenutku stanja ne zavisi od prethodnog.

Postoje i drugi slučajni procesi

Poziva se funkcija čija je vrijednost za svaku vrijednost nezavisne varijable slučajna varijabla slučajna funkcija. Pozivaju se slučajne funkcije za koje je nezavisna varijabla vrijeme slučajni procesi ili stohastički procesi .

Slučajni proces nije definitivna kriva, to je skup definisanih krivulja, gdje je , dobiveno kao rezultat pojedinačnih eksperimenata (slika 1.9). Svaka kriva u ovom skupu se zove implementacija slučajnog procesa . Nemoguće je unaprijed reći koju implementaciju će proces slijediti.

Za bilo koju fiksnu tačku u vremenu, na primjer, implementacija slučajnog procesa je specifična vrijednost, dok je vrijednost slučajne funkcije slučajna varijabla tzv. odjeljak slučajni proces u vremenu . Stoga se ne može tvrditi da slučajni proces u datom trenutku ima takvu i takvu determinističku vrijednost, možemo govoriti samo o vjerovatnoći da će u datom trenutku vrijednost slučajnog procesa kao slučajne varijable biti u određenim granicama.

Rice. 1.9. Implementacije slučajnog procesa

Statističke metode ne proučavaju svaku od implementacija koje čine skup, već svojstva cijelog skupa u cjelini usrednjavanjem svojstava implementacija uključenih u njega. Stoga se pri proučavanju kontrolnog objekta njegovo ponašanje ne ocjenjuje u odnosu na neki specifičan utjecaj koji predstavlja datu funkciju vremena, već u odnosu na cijeli skup utjecaja.

Kao što je poznato, statistička svojstva slučajne varijable određena njegovom funkcijom distribucije vjerovatnoće integrala i diferencijal .

Za slučajni proces, također se uvode koncept funkcije distribucije i gustoće vjerovatnoće, koje zavise od fiksnog trenutka vremena promatranja i na nekom odabranom nivou, one. su funkcije dvije varijable i.

Razmotrite slučajnu varijablu , tj. presjek slučajnog procesa u vremenu. Univarijantna funkcija distribucije slučajni proces je vjerovatnoća da trenutna vrijednost slučajnog procesa u datom trenutku ne prelazi neki dati nivo (broj) , tj.

Ako funkcija ima parcijalni izvod u odnosu na, tj.

tada se poziva funkcija jednodimenzionalna gustina vjerovatnoće slučajni proces. Vrijednost

je vjerovatnoća da se nalazi u vremenskom intervalu od do.

U svakom trenutku u vremenu uočljive slučajne varijable (odjeljci slučajnog procesa) će imati svoje, općenito različite, jednodimenzionalne funkcije raspodjele i gustine vjerovatnoće.

Funkcije su najjednostavnije statističke karakteristike slučajnog procesa. One karakteriziraju slučajni proces izolovano u njegovim pojedinačnim dijelovima, ne otkrivajući međusobnu povezanost između dijelova slučajnog procesa, tj. između mogućih vrijednosti slučajnog procesa u različitim vremenskim trenucima.

Poznavanje ovih funkcija još uvijek nije dovoljno za opisivanje slučajnog procesa u općenitom slučaju. Takođe je potrebno okarakterisati međusobnu povezanost slučajnih varijabli u različitim proizvoljnim vremenskim momentima.

Razmotrimo sada slučajne varijable koje se odnose na dva različita momenta vremena i posmatranje slučajnog procesa.

Vjerovatnoća da će slučajni proces biti najviše i najviše u , one.

pozvao bivarijantna funkcija distribucije . Ako funkcija ima parcijalne izvode poi, tj.

, (1.47)

tada se poziva funkcija 2D gustoća vjerovatnoće .

Vrijednost

jednaka je vjerovatnoći da će dolazak biti u intervalu od do i kada u rasponu od do.

Slično, može se uvesti koncept n-dimenzionalna funkcija raspodjele i n-dimenzionalna gustina vjerovatnoće .

Što je veći red, to su statistička svojstva slučajnog procesa potpunije opisana. Poznavajući funkciju dimenzionalne distribucije, iz nje se mogu pronaći jednodimenzionalne, dvodimenzionalne i druge [do d] funkcije distribucije nižeg reda. Međutim, višedimenzionalni zakoni distribucije slučajnih procesa su relativno glomazne karakteristike i izuzetno je teško operirati s njima u praksi. Stoga se prilikom proučavanja slučajnih procesa često ograničava na slučajeve u kojima je, da bi se opisali slučajni proces, dovoljno poznavati samo njegov jednodimenzionalni ili dvodimenzionalni zakon raspodjele.

Primjer slučajnog procesa koji je u potpunosti karakteriziran jednodimenzionalnom gustinom vjerovatnoće, je tzv čisti slučajni proces, ili Bijeli šum . Vrijednosti u ovom procesu, uzete u različitim vremenskim trenucima, potpuno su nezavisne jedna od druge, bez obzira na to koliko su te tačke u vremenu odabrane. To znači da kriva bijelog šuma sadrži rafale koji se raspadaju u beskonačno malim vremenskim intervalima. Budući da su vrijednosti, na primjer, s vremena na vrijeme i nezavisne, tada je vjerovatnoća podudarnosti događaja koja se sastoji od toga da su između i u vrijeme i između i u vrijeme jednaka proizvodu vjerovatnoća svakog od ovih događaja, dakle

i općenito za bijeli šum

tj. sve gustine vjerovatnoće bijelog šuma određene su iz jednodimenzionalne gustine vjerovatnoće.

Za slučajne procese općeg oblika, ako se zna koje vrijednosti je vrijednost poprimila u datom trenutku, tada imamo neke informacije o tome gdje, budući da su količine i, općenito govoreći, zavisne. Ako se osim zna gdje, onda se informacija još više povećava. Dakle, povećanje našeg znanja o ponašanju procesa do određene tačke dovodi do povećanja informacija o.

Međutim, postoji posebna klasa slučajnih procesa, koju je prvi proučavao poznati matematičar A. A. Markov i tzv. Markovljevi slučajni procesi , za koje znanje o vrijednosti procesa u ovom trenutku već sadrži sve informacije o budućem toku procesa, koje se mogu izdvojiti samo iz ponašanja procesa do ovog trenutka. U slučaju Markovljevog slučajnog procesa, da bi se odredile probabilističke karakteristike procesa u određenom trenutku, dovoljno je znati vjerovatnoće za bilo koju prethodnu tačku u vremenu, na primjer, neposredno prethodnu tačku u vremenu. Poznavanje vjerojatnosnih karakteristika procesa za druga prethodna vremena, na primjer, ne dodaje informacije potrebne za pronalaženje.

Za Markovljev proces vrijedi sljedeća relacija:

, (1.51)

tj. sve gustine verovatnoće Markovljevog procesa određene su iz dvodimenzionalne gustine verovatnoće. Drugim riječima, Markovljeve slučajne procese u potpunosti karakterizira dvodimenzionalna gustina vjerovatnoće.

Koncept funkcije distribucije i gustine vjerovatnoće slučajnog procesa obično se koristi u teorijskim konstrukcijama i definicijama. U praksi istraživanja su se raširile relativno jednostavnije, iako manje potpune karakteristike slučajnih procesa, slične numeričkim karakteristikama slučajnih varijabli. Primeri takvih karakteristika su matematičko očekivanje, varijansa, srednja vrednost kvadrata slučajnog procesa, korelaciona funkcija, spektralna gustina i drugo.

matematičko očekivanje (prosječna vrijednost) slučajnog procesa naziva se vrijednost

(1.52)

gdje - jednodimenzionalna gustina vjerovatnoće slučajnog procesa .

Matematičko očekivanje slučajnog procesa je određena neslučajna (regularna) funkcija vremena, oko koje su sve realizacije datog slučajnog procesa grupisane i u odnosu na koje fluktuiraju (slika 1.10).

Matematičko očekivanje slučajnog procesa u svakom fiksnom trenutku vremena jednako je matematičkom očekivanju odgovarajućeg dijela slučajnog procesa. Matematičko očekivanje se zove prosječna vrijednost slučajnog procesa u skupu (prosek ansambla, statistički prosek), budući da je to verovatno prosečna vrednost beskonačnog skupa realizacija slučajnog procesa.

Rice. 1.10. Numeričke karakteristike slučajnih procesa

Često se uzima u obzir centriran slučajni proces

Tada se slučajni proces može posmatrati kao zbir dvije komponente: regularne komponente jednake matematičkom očekivanju i centrirane slučajne komponente, tj.

Kako bi se uzeo u obzir stepen disperzije implementacije slučajnog procesa u odnosu na njegovu prosječnu vrijednost, uvodi se koncept disperzija slučajni proces, koji je jednak matematičkom očekivanju kvadrata centriranog slučajnog procesa:

. (1.55)

Varijanca slučajnog procesa je neslučajna (regularna) funkcija vremena, čija je vrijednost u svakom trenutku vremena jednaka je varijansi odgovarajućeg dijela slučajnog procesa.

Standardna devijacija slučajni proces je

Prije nego što damo definiciju slučajnog procesa, podsjetimo se osnovnih pojmova iz teorije slučajnih varijabli. Kao što znate, slučajna varijabla je veličina koja, kao rezultat eksperimenta, može poprimiti jednu ili drugu vrijednost koja nije unaprijed poznata. Postoje diskretne i kontinuirane slučajne varijable. Glavna karakteristika slučajne varijable je zakon raspodjele, koji se može dati u obliku grafikona ili u analitičkom obliku. Prema integralnom zakonu distribucije, funkcija distribucije, gdje je vjerovatnoća da je trenutna vrijednost slučajne varijable manja od neke vrijednosti. Sa zakonom diferencijalne distribucije, koristi se gustina vjerovatnoće. Numeričke karakteristike slučajnih varijabli su tzv. momenti, od kojih je najčešći momenat prvog reda - srednja vrijednost (očekivanje) slučajne varijable i centralni moment drugog reda - varijansa. Ako postoji više slučajnih varijabli (sistem slučajnih varijabli), uvodi se koncept korelacionog momenta.

Generalizacija koncepta slučajne varijable je koncept slučajna funkcija, tj. funkcija koja, kao rezultat iskustva, može poprimiti ovaj ili onaj oblik, unaprijed nepoznat. Ako je argument funkcije vrijeme t, onda je zovu nasumično ili stohastički proces.

Specifična vrsta slučajnog procesa dobijenog kao rezultat iskustva se naziva implementacija slučajni proces i obična je neslučajna (deterministička) funkcija. S druge strane, u fiksnom trenutku u vremenu imamo takozvani poprečni presjek slučajnog procesa u obliku slučajne varijable.

Da bi se opisali slučajni procesi, koncepti teorije slučajnih varijabli generalizirani su na prirodan način. Za neki fiksni trenutak u vremenu, slučajni proces se pretvara u slučajnu varijablu za koju se može uvesti funkcija tzv. jednodimenzionalni zakon raspodjele slučajni proces. Jednodimenzionalni zakon raspodjele nije iscrpna karakteristika slučajnog procesa. Na primjer, ne karakterizira korelaciju (vezu) između pojedinačnih dijelova slučajnog procesa. Ako uzmemo dva različita momenta vremena i , možemo uvesti dvodimenzionalni zakon raspodjele i tako dalje. U okviru našeg daljeg razmatranja, ograničićemo se uglavnom na jednodimenzionalne i dvodimenzionalne zakone.

Razmotrimo najjednostavnije karakteristike slučajnog procesa, slične numeričkim karakteristikama slučajne varijable. Očekivana vrijednost ili postaviti prosjek

i disperzija

Matematičko očekivanje je određena prosječna kriva oko koje se grupišu pojedinačne realizacije slučajnog procesa, a varijansa karakterizira širenje mogućih realizacija u svakom trenutku vremena. Ponekad se koristi standardna devijacija.

Da bi se okarakterisala unutrašnja struktura slučajnog procesa, uvodi se koncept korelacija (autokorelacija) funkcije

Uz matematičko očekivanje (prosjek po skupu) (3.1) uvodi se još jedna karakteristika slučajnog procesa - znači nasumični proces za odvojenu implementaciju (prosjek tokom vremena)

Za dva slučajna procesa, takođe se može uvesti koncept unakrsne korelacione funkcije po analogiji sa (3.3).

Jedan od posebnih slučajeva slučajnog procesa koji se široko koristi u praksi je stacionarni slučajni proces je slučajan proces, čije vjerovatnoće ne zavise od vremena. Dakle, za stacionarni slučajni proces , , i korelaciona funkcija zavisi od razlike , tj. je funkcija jednog argumenta.

Stacionarni slučajni proces je u određenoj mjeri sličan konvencionalnim ili stabilnim procesima u kontrolnim sistemima.

Stacionarni slučajni procesi imaju zanimljivo svojstvo tzv ergodička hipoteza. Za stacionarni slučajni proces, bilo koja srednja vrednost skupa je jednaka srednjoj vrednosti tokom vremena. Posebno, na primjer, ovo svojstvo često omogućava pojednostavljenje fizičkog i matematičkog modeliranja sistema pod slučajnim utjecajima.

Kao što je poznato, u analizi determinističkih signala široko se koriste njihove spektralne karakteristike zasnovane na Fourierovom redu ili integralu. Sličan koncept se može uvesti za slučajne stacionarne procese. Razlika će biti u tome što će za slučajni proces amplitude harmonijskih komponenti biti nasumične, a spektar statičkog slučajnog procesa će opisivati ​​distribuciju disperzija na različitim frekvencijama.

Spektralna gustina stacionarnog slučajnog procesa povezan je sa njegovom korelacionom funkcijom Fourierovim transformacijama:

pri čemu će se korelaciona funkcija tumačiti kao original, a - kao slika.

Postoje tabele koje povezuju originale i slike. Na primjer, ako , onda .

Zapazimo vezu između spektralne gustoće i korelacijske funkcije s disperzijom D

Literatura: [L.1], str. 155-161

[L.2], str. 406-416, 42-426

[L.3], str. 80-81

Matematički modeli slučajnih signala i šuma su slučajni procesi. Slučajni proces (SP) je promjena slučajne varijable u vremenu. Slučajni procesi obuhvataju većinu procesa koji se dešavaju u radiotehničkim uređajima, kao i smetnje koje prate prenos signala preko komunikacionih kanala. Slučajni procesi mogu biti kontinuirano(NSP), ili diskretno(DSP) ovisno o tome koja će se slučajna varijabla, kontinuirana ili diskretna, mijenjati u vremenu. U nastavku, glavni fokus će biti na NSP.

Prije nego što se pređe na proučavanje slučajnih procesa, potrebno je odrediti načine njihovog predstavljanja. Nasumični proces ćemo označiti sa , a njegovu specifičnu implementaciju sa . Nasumični proces može biti predstavljen ili skup (ansambli) implementacija, ili jedan, već vremenski produžena implementacija. Ako fotografišemo nekoliko oscilograma slučajnog procesa i postavimo fotografije jednu ispod druge, onda će ukupnost ovih fotografija predstavljati ansambl implementacija (slika 5.3).

Ovdje - prva, druga, ..., k-ta implementacija procesa. Međutim, ako se promjena slučajne varijable prikaže na traci snimača u dovoljno velikom vremenskom intervalu T, tada će proces biti predstavljen jednom implementacijom (slika 5.3).

Kao i slučajne varijable, slučajni procesi su opisani zakonima distribucije i probabilističkim (numeričkim) karakteristikama. Vjerojatnostne karakteristike se mogu dobiti kako usrednjavanjem vrijednosti slučajnog procesa preko ansambla implementacija, tako i prosječenjem po jednoj implementaciji.

Neka slučajni proces bude predstavljen skupom implementacija (slika 5.3). Ako odaberemo proizvoljnu tačku u vremenu i fiksiramo vrijednosti koje su implementacije preuzele u ovom trenutku, tada ukupnost ovih vrijednosti čini jednodimenzionalni dio SP-a

i slučajna je varijabla. Kao što je već gore naglašeno, iscrpna karakteristika slučajne varijable je funkcija distribucije ili jednodimenzionalna gustoća vjerovatnoće

.

Naravno, i , i , imaju sva svojstva funkcije distribucije i gustine distribucije vjerovatnoće o kojima se raspravljalo gore.

Numeričke karakteristike u presjeku određene su u skladu s izrazima (5.20), (5.22), (5.24) i (5.26). Dakle, posebno je matematičko očekivanje zajedničkog ulaganja u poprečnom presjeku određeno izrazom

a varijansa je izraz

Međutim, zakoni distribucije i numeričke karakteristike samo u odeljku nisu dovoljni da se opiše slučajni proces koji se razvija u vremenu. Stoga je potrebno razmotriti drugi dio (slika 5.3). U ovom slučaju, SP će već biti opisan sa dvije slučajne varijable i razmaknut vremenskim intervalom i biti karakteriziran dvodimenzionalnom funkcijom distribucije i dvodimenzionalna gustina , gdje , . Očigledno, ako uvedemo treće, četvrto, itd. sekciji, može se doći do višedimenzionalne (N-dimenzionalne) funkcije raspodjele i, shodno tome, do višedimenzionalne gustine raspodjele.

Najvažnija karakteristika slučajnog procesa je autokorelacione funkcije(AKF)

koji uspostavlja stepen statističke veze između vrednosti SP u vremenskim tačkama i

Predstavljanje SP-a kao ansambla realizacija dovodi do koncepta stacionarnosti procesa. Slučajni proces je stacionarno, ako svi početni i centralni momenti ne zavise od vremena, tj.

, .

Ovo su strogi uslovi, stoga, kada se ispune, dolazi u obzir zajedničko ulaganje bolnica u užem smislu.

U praksi se koncept stacionarnosti koristi u širokom smislu. Slučajni proces je stacionaran u širem smislu ako njegovo matematičko očekivanje i varijansa ne ovise o vremenu, tj.:

a autokorelacija je određena samo intervalom i ne zavisi od izbora na vremenskoj osi

U nastavku će se razmatrati samo slučajni procesi koji su stacionarni u širem smislu.

Gore je napomenuto da se slučajni proces, osim što je predstavljen ansamblom realizacija, može predstaviti i jednom realizacijom u vremenskom intervalu T. Očigledno, sve karakteristike procesa se mogu dobiti usrednjavanjem vrijednosti proces tokom vremena.

Matematičko očekivanje SP-a kada je u prosjeku tokom vremena određeno je na sljedeći način:

. (5.46)

Ovo implicira fizičko značenje: matematičko očekivanje je prosječna vrijednost (konstantna komponenta) procesa.

SP disperzija je određena izrazom

i ima fizičko značenje prosječne snage varijabilne komponente procesa.

Funkcija autokorelacije kada je usrednjena tokom vremena

Nasumični proces se zove ergodic, ako se njegove probabilističke karakteristike dobijene usrednjavanjem po ansamblu poklapaju sa vjerovatnoćastim karakteristikama dobivenim usrednjavanjem tokom vremena jedne implementacije iz ovog ansambla. Ergodični procesi su stacionarni.

Upotreba izraza (5.46), (5.47) i (5.48) zahtijeva, striktno govoreći, implementaciju slučajnog procesa velikog (teorijski beskonačnog) opsega. Prilikom rješavanja praktičnih zadataka vremenski interval je ograničen. U ovom slučaju, većina procesa se smatra približno ergodičnim, a vjerovatnostne karakteristike se određuju u skladu s izrazima

; (5.49)

;

Zovu se slučajni procesi koji nemaju matematičko očekivanje centriran. U nastavku će se misliti na vrijednosti centriranih stohastičkih procesa. Tada izrazi za funkciju varijanse i autokorelacije poprimaju oblik

; (5.50)

Zapažamo svojstva ACF-a ergodičkih slučajnih procesa:

– funkcija autokorelacije je stvarna funkcija argumenta,

– funkcija autokorelacije je parna funkcija, tj. ,

– sa povećanjem ACF opada (ne nužno monotono) i teži nuli kao

- ACF vrijednost pri jednakoj disperziji (prosječna snaga) procesa

.

U praksi se često mora raditi sa dva ili više zajedničkih ulaganja. Na primjer, mješavina slučajnog signala i smetnji se istovremeno prima na ulazu radio prijemnika. Odnos između dva slučajna procesa se uspostavlja pomoću unakrsne korelacijske funkcije(VKF). Ako su i dva slučajna procesa okarakterizirana realizacijama i , tada je međukorelacija funkcija određena izrazom

Ako je neka varijabla X zavisi od skalarnog argumenta t a za svaku fiksnu vrijednost potonje je slučajna varijabla, a zatim varijabla x(t) naziva se slučajna funkcija.

Ako je argument t varijabla x(t) je vrijeme, onda se takva nasumična funkcija naziva slučajnim procesom. Na primjer, ugao nagiba aviona koji se kreće u turbulentnoj atmosferi je slučajan proces.

Ako X-vektor zatim zavisnost x(t)-vektorski slučajni proces. Na primjer, kretanje centra mase aviona duž putanje karakterizira šestodimenzionalni vektor x(t) = (x, y, z, V x, V y, V z). Ako se kretanje aparata dogodi pod djelovanjem slučajnih faktora, onda x(t)-vektorski slučajni proces.

U nekim eksperimentima se uočavaju realizacije x i (t), i-1, 2, ... slučajni proces x(t); i- broj implementacije.

Statistički opis slučajnog procesa x(t) izvedeno razmatranjem skupa slučajnih varijabli x 1 = x (t 1),..., x i = x(t i), koji odgovaraju različitim vremenima t, uzeti u razmatranom intervalu njegove promjene. Smatra se da je to proizvoljan slučajan proces x(t) opisano u potpunosti ako je specificirana metoda za konstruiranje niza gustina vjerovatnoće p(x, t); p(x 1 , t; x2, t2);...; p(x 1, t 1; ...; x n, t n) u , gdje .

1D Density p(x, t) omogućava vam da odredite vjerovatnoću pogađanja slučajne varijable x(t) u intervalu:

Uz pomoć dvodimenzionalne gustine spojeva, određuje se s kojom vjerovatnoćom dvije slučajne varijable x 1 i x 2 padaju u intervale i odgovaraju momentima t1 i t2:

i tako dalje za bilo koga P.

Gustine distribucije uslovne vjerovatnoće također se mogu koristiti za opisivanje slučajnih procesa. Uslovna gustina vjerovatnoće karakterizira distribuciju vjerovatnoće slučajne varijable , čije implementacije su u ovom trenutku prolazile kroz tačku . Slično, uslovna gustina je gustina raspodele verovatnoće slučajne varijable x n = x(t n),čije su realizacije u prethodnim trenucima imale fiksne vrijednosti . Uzimajući u obzir formulu (1.7), vrijede sljedeće relacije između zajedničke bezuslovne i uslovne raspodjele:

Ostvaruju se sljedeća ograničavajuća svojstva bezuslovnih i uslovnih distribucija:

gdje je delta funkcija u tački X 1 .

U drugom ograničavajućem slučaju

Klasifikacija slučajnih procesa se vrši u zavisnosti od svojstava koja imaju njihove zajedničke bezuslovne i uslovne distribucije.

Potpuno nasumičan proces. Proces x(t) naziva se apsolutno slučajnim ako su slučajne varijable i neovisne za proizvoljno male . Uzimajući u obzir (1.10), za takav proces dobijamo da je zajednička n-dimenzionalna raspodela za bilo koju P. određuje se odnosom

tj., apsolutno slučajan proces je u potpunosti opisan njegovom jednodimenzionalnom distribucijom p(x, I), svima poznat t.

Markov proces. Postavite na interval moguće promjene argumenta t slučajni proces x(t) vremenske serije. slučajni proces x(t) naziva se Markovian ako zadovoljava relaciju za bilo koji .

Za Markovljev proces, uslovna gustina verovatnoće slučajne varijable zavisi samo od toga kolika je bila vrednost slučajne varijable i ni na koji način ne zavisi od toga kakve su implementacije ovog procesa bile u prethodnim trenucima. . Gustina se takođe naziva gustina verovatnoće prelaza Markovljevog procesa x(t). Za Markovljev proces x(t), uzimajući u obzir (1.34) i (1.40), imamo određen prethodnom vrijednošću i prirastom na ovom intervalu, nezavisno od priraštaja na prethodnim intervalima.

Gausov slučajni proces. slučajni proces x(t), koji ima zajedničku n-dimenzionalnu gustinu vjerovatnoće za bilo koji P i bilo koji je Gaussov naziva se Gausov slučajni proces.