Pošaljite svoj dobar rad u bazu znanja je jednostavno. Koristite obrazac ispod

Studenti, postdiplomci, mladi naučnici koji koriste bazu znanja u svom studiranju i radu biće vam veoma zahvalni.

Federalna agencija za obrazovanje

Državna obrazovna ustanova visokog stručnog obrazovanja

Državni univerzitet za humanističke nauke Vjatka

Matematički fakultet

Katedra za matematičku analizu i metode
predavanje matematike

Završni kvalifikacioni rad

na temu: Gausov prsten cijelih brojeva.

Završeno:

Student 5. godine

Matematički fakultet

Gnusov V.V.

___________________________

naučni savjetnik:

viši predavač katedre

algebra i geometrija

Semenov A.N.

___________________________

Recenzent:

Kandidat fizike i matematike nauka, vanredni profesor

Odsjek za algebru i geometriju

Kovyazina E.M.

___________________________

Primljen na odbranu u VAC

Glava Katedra ________________ Vechtomov E.M.

« »________________

Dekan fakulteta ___________________ Varankina V.I.

« »________________

Kirov 2005

• Uvod. 2
• 3
• 4
• 1.2 PODELA SA OSTATKOM. 5
• 1.3 GCD. EUCLID ALGORITAM. 6
• 9
• 12
• 17
• Zaključak. 23

Uvod.

Prsten kompleksnih cijelih brojeva otkrio je Carl Gauss i po njemu nazvao Gaussian.

K. Gauss je došao na ideju o mogućnosti i neophodnosti proširenja koncepta celog broja u vezi sa traženjem algoritama za rešavanje poređenja drugog stepena. On je pojam celog broja preneo na brojeve oblika, gde su proizvoljni celi brojevi, i koren je jednadžbe Na datom skupu, K. Gauss je prvi konstruisao teoriju deljivosti, sličnu teoriji deljivosti cijeli brojevi. On je potkrijepio valjanost osnovnih svojstava djeljivosti; pokazao da postoje samo četiri inverzibilna elementa u prstenu kompleksnih brojeva: ; dokazao valjanost teoreme o podjeli s ostatkom, teoreme o jedinstvenosti dekompozicije na proste faktore; pokazao koji će prosti prirodni brojevi ostati prosti u prstenu; otkrio prirodu jednostavnih cijelih kompleksnih brojeva.

Teorija koju je razvio K. Gauss, opisana u njegovom djelu "Aritmetička istraživanja", bila je fundamentalno otkriće za teoriju brojeva i algebru.

Za rad su postavljeni sljedeći ciljevi:

1. Razviti teoriju djeljivosti u prstenu Gaussovih brojeva.

2. Saznajte prirodu jednostavnih Gaussovih brojeva.

3. Pokažite primjenu Gausovih brojeva u rješavanju običnih Diofantovih problema.

POGLAVLJE 1. DJELJIVOST U PRSTENU GAUSOVIH BROJEVA.

Razmotrimo skup kompleksnih brojeva. Po analogiji sa skupom realnih brojeva, u njemu se može razlikovati podskup cijelih brojeva. Skup brojeva oblika gdje zvati će se kompleksni cijeli brojevi ili Gausovi brojevi. Lako je provjeriti da li aksiomi prstena vrijede za ovaj skup. Dakle, ovaj skup kompleksnih brojeva je prsten i zove se prsten Gausovih cijelih brojeva . Označimo ga kao, budući da je produžetak prstena po elementu: .

Budući da je prsten Gaussovih brojeva podskup kompleksnih brojeva, za njega vrijede neke definicije i svojstva kompleksnih brojeva. Tako, na primjer, svaki Gausov broj odgovara vektoru koji počinje u tački i završava u. dakle, modul postoje Gausovi brojevi. Imajte na umu da je u skupu koji se razmatra izraz podmodula uvijek nenegativan cijeli broj. Stoga je u nekim slučajevima praktičnije koristiti norma , odnosno kvadrat modula. Na ovaj način. Možemo razlikovati sljedeća svojstva norme. Za sve Gausove brojeve vrijedi sljedeće:

(1)

(2)

(3)

(4)

(5)

Valjanost ovih svojstava se trivijalno provjerava pomoću modula. Usput, napominjemo da (2), (3), (5) također vrijede za sve kompleksne brojeve.

Prsten Gausovih brojeva je komutativni prsten bez djelitelja 0, jer je podprsten polja kompleksnih brojeva. To implicira multiplikativnu kontraktibilnost prstena, tj.

1.1 REVERZIBILNI I LEGIRANI ELEMENTI.

Hajde da vidimo koji će Gausovi brojevi biti reverzibilni. Neutralno je množenjem. Ako je Gausov broj reverzibilan , onda, po definiciji, postoji takav da Prelaskom na norme, prema svojstvu 3, dobijamo. Ali ove norme su, dakle, prirodne. Dakle, prema svojstvu 4, . Obrnuto, svi elementi datog skupa su invertibilni, jer. Dakle, brojevi s normom jednakom jedan će biti reverzibilni, odnosno, .

Kao što vidite, neće svi Gausovi brojevi biti reverzibilni. Stoga je zanimljivo razmotriti pitanje djeljivosti. Kao i obično, mi to kažemo je podijeljen za sve Gausove brojeve, kao i one reverzibilne, svojstva su tačna.

(7)

(8)

(9)

(10)

, gdje (11)

(12)

(8), (9), (11), (12) se lako provjeravaju. Valjanost (7) proizlazi iz (2), a (10) proizlazi iz (6). Zbog svojstva (9), elementi skupa se ponašaju na isti način s obzirom na djeljivost i nazivaju se saveznički With. Stoga je prirodno razmotriti djeljivost Gaussovih brojeva do jedinice. Geometrijski, na kompleksnoj ravni, srodni brojevi će se razlikovati jedan od drugog po višestrukoj rotaciji uglova.

1.2 PODELA SA OSTATKOM.

Neka je potrebno podijeliti po, ali nemoguće je napraviti podjelu u potpunosti. Moramo primati, a u isto vrijeme mora biti "malo". Zatim ćemo pokazati šta uzeti kao nepotpuni količnik pri dijeljenju s ostatkom u skupu Gaussovih brojeva.

Lema 1. O dijeljenju s ostatkom.

U ringu moguća je podjela s ostatkom, u kojoj je ostatak manji od djelitelja u normi. Tačnije, za bilo koje i tamo će biti takav da . As možete uzeti najbliži kompleksnom broju Gausov broj.

Dokaz.

Podijelite sa u skupu kompleksnih brojeva. Ovo je moguće jer je skup kompleksnih brojeva polje. Neka. Zaokružujući realne brojeve i na cele brojeve, dobijamo i. Neka. Onda

.

Pomnožimo sada oba dijela nejednakosti sa, zbog multiplikativnosti norme kompleksnih brojeva, dobijamo da. Tako se kao nepotpuni količnik može uzeti Gausov broj, koji je, kao što je lako vidjeti, najbliži.

C.T.D.

1.3 GCD. EUCLID ALGORITAM.

Koristimo uobičajenu definiciju najvećeg zajedničkog djelitelja za prstenove. GCD "ohm dva Gaussova broja je zajednički djelitelj koji je djeljiv sa bilo kojim drugim zajedničkim djeliteljem.

Kao iu skupu cijelih brojeva, u skupu Gaussovih brojeva, Euklidski algoritam se koristi za pronalaženje GCD.

Štaviše, neka i budu dati Gausovi brojevi. Podijelite s ostatkom za. Ako je ostatak drugačiji od 0, tada ćemo podijeliti s ovim ostatkom i nastavit ćemo uzastopno dijeliti ostatke sve dok je to moguće. Dobijamo lanac jednakosti:

, gdje

, gdje

, gdje

……………………….

, gdje

Ovaj lanac se ne može nastaviti beskonačno, jer imamo opadajući niz normi, a norme su nenegativni cijeli brojevi.

Teorema 2. O postojanju GCD.

U Euklidovom algoritmu primijenjenom na Gausove brojeve i posljednji ostatak koji nije nula je gcd( ).

Dokaz.

Dokažimo da u Euklidskom algoritmu zaista dobijamo gcd.

1. Razmotrite jednakosti odozdo prema gore.

Iz posljednje jednakosti se vidi da je, dakle, kao zbir brojeva djeljivih sa. Budući da i, sljedeći red će dati. itd. Dakle, jasno je da i. To jest, to je zajednički djelitelj brojeva i.

Pokažimo da je ovo najveći zajednički djelitelj, odnosno djeljiv sa bilo kojim drugim zajedničkim djeliteljima.

2. Razmotrite jednakosti od vrha do dna.

Dopustiti biti proizvoljan zajednički djelitelj brojeva i. Tada, kao razlika brojeva djeljivih sa, vrijedi iz prve jednakosti. Iz druge jednakosti dobijamo to. Dakle, predstavljajući ostatak u svakoj jednakosti kao razliku brojeva djeljivih sa, iz pretposljednje jednakosti dobijamo ono s čime je djeljivo.

C.T.D.

Lema 3. O reprezentaciji GCD.

Ako GCD( , )= , tada postoje cijeli Gausovi brojevi i , šta .

Dokaz.

Razmotrimo lanac jednakosti dobijenih u Euklidskom algoritmu odozdo prema gore. Dosljedno zamjenjujući umjesto ostataka njihovog izraza kroz prethodne ostatke, izražavamo kroz i.

Gausov broj se zove jednostavno , ako se ne može predstaviti kao proizvod dva nepovratna faktora. Sledeća tvrdnja je očigledna.

Izjava 4.

Ponovo množenje jednostavnog Gaussovog broja sa inverzibilnim brojem rezultira jednostavnim Gausovim brojem.

Izjava 5.

Ako uzmemo ireverzibilni djelitelj s najmanjom normom Gausovog broja, onda će to biti jednostavan Gausov.

Dokaz.

Neka je takav djelitelj složeni broj. Zatim, gdje su i nepovratni Gausovi brojevi. Prijeđimo na norme i prema (3) to dobijamo. Pošto su ove norme prirodne, imamo da je, i na osnovu (12), ireverzibilni djelitelj datog Gausovog broja, što je u suprotnosti s izborom.

Izjava 6.

Ako nije djeljiv prostim Gausovim brojem , zatim GCD( , )=1.

Dokaz.

Zaista, prost broj djeljiv samo s povezanim brojevima sa 1 ili sa . Pošto nije deljivo sa , zatim u savez sa takođe se ne dijeli. To znači da će samo reverzibilni brojevi biti njihovi zajednički djelitelji.

Lema 7. Lema Euklida.

Ako je proizvod Gaussovih brojeva djeljiv prostim Gausovim brojem , tada je barem jedan od faktora djeljiv sa .

Dokaz.

Za dokaz je dovoljno razmotriti slučaj kada proizvod sadrži samo dva faktora. To jest, pokazujemo da je ako je djeljivo sa , tada je bilo djeljivo sa , ili podijeljena .

Neka se ne dijeli na , zatim GCD(, )=1. Dakle, postoje Gaussovi brojevi i takvi. Pomnožite obje strane jednačine sa , dobijamo to, iz toga slijedi da, kao zbir brojeva djeljivih sa .

1.4 GLAVNA TEOREMA ARITHMETIKE.

Bilo koji Gausov broj različit od nule može se predstaviti kao proizvod jednostavnih Gausovih brojeva, a ovaj prikaz je jedinstven do unije i reda faktora.

Napomena 1.

Reverzibilni broj ima nula prostih faktora u svojoj ekspanziji, odnosno predstavljen je sam po sebi.

Napomena 2.

Preciznije, jedinstvenost je formulisana na sledeći način. Ako postoje dvije faktorizacije u jednostavne Gausove faktore, tj. , onda i možete prenumerisati brojeve ovako , šta će biti u savezu sa , za sve od 1 do inkluzivno.

Dokaz.

Dokazujemo to indukcijom na normu.

Baza. Za broj sa jediničnom normom, tvrdnja je očigledna.

Neka je sada nepovratni Gausov broj različit od nule, i za sve Gausove brojeve sa normom manjom od tvrdnje je dokazano.

Pokažimo mogućnost dekompozicije na osnovne faktore. Da bismo to učinili, označavamo ireverzibilnim djeliteljem koji ima najmanju normu. Ovaj djelitelj mora biti prost broj prema iskazu 5. Tada. Dakle, imamo i, prema induktivnoj hipotezi, predstavljamo kao proizvod prostih brojeva. Dakle, razlaže se u proizvod ovih jednostavnih i.

Pokažimo jedinstvenost dekompozicije na osnovne faktore. Da bismo to učinili, uzimamo dva proizvoljna takva proširenja:

Prema Euklidovoj lemi, jedan od faktora u proizvodu mora biti djeljiv sa. Možemo pretpostaviti da je djeljiv sa, inače ćemo prenumerirati. Pošto su jednostavne, gdje je reverzibilno. Smanjujući obje strane naše jednakosti za, dobijamo prost faktorizaciju broja koji je manji od norme.

Po induktivnoj pretpostavci, i moguće je prenumerisati brojeve na takav način da će biti u savezu sa, sa, ..., sa. Zatim je za ovu numeraciju također u konjunkciji sa za sve od 1 do uključivo. Dakle, dekompozicija na osnovne faktore je jedinstvena.

Primjer jednog generiranog prstenabez OTA.

Razmislite. Elementi ovog prstena su brojevi oblika gdje su i proizvoljni cijeli brojevi. Pokažimo da osnovna aritmetička teorema u njoj ne vrijedi. Definiramo normu broja u ovom prstenu na sljedeći način: . Ovo je zaista norma, jer to nije teško provjeriti. Neka i. Onda

Primetite, to.

Pokažimo da su brojevi u razmatranom prstenu prosti. Zaista, neka bude jedan od njih i. Tada imamo: Pošto u ovom prstenu nema brojeva sa normom 2, onda ili. Inverzni elementi će biti brojevi sa jediničnom normom i samo oni. To znači da u proizvoljnoj faktorizaciji postoji inverzibilni faktor, dakle, jednostavan je.

POGLAVLJE 2. GAUSOVI PROSTI BROJEVI.

Da biste razumjeli koji su Gaussovi brojevi prosti, razmotrite nekoliko izjava.

Teorema 8.

Svaki prost Gaussian je djelitelj tačno jednog prostog prirodnog.

Dokaz.

Neka je onda jednostavan Gausov. Prema osnovnoj teoremi, aritmetika prirodnih brojeva se razlaže u proizvod prostih prirodnih brojeva. A prema Euklidovoj lemi, barem jedan od njih je djeljiv sa.

Pokažimo sada da jednostavan Gausov ne može podijeliti dva različita prosta prirodna broja. Zaista, čak i ako postoje različiti prosti prirodni brojevi djeljivi sa . Pošto je gcd()=1, onda, prema teoremi o reprezentaciji gcd u cijelim brojevima, postoje i postoje cijeli brojevi takvi da. Dakle, što je suprotno jednostavnosti.

Dakle, razlažući svaki jednostavan prirodni na jednostavne Gaussove, nabrajamo sve jednostavne Gaussove, i to bez ponavljanja.

Sljedeća teorema pokazuje da svaki prost prirodni broj "dobija" najviše dva jednostavna Gausova broja.

Teorema 9.

Ako se jednostavan prirodni faktor razloži na proizvod tri jednostavna Gaussova faktora, onda je barem jedan od faktora inverzibilan.

Dokaz.

Neka je jednostavan prirodni takav da . Okrenuvši se pravilima, dobijamo:

.

Iz ove jednakosti u prirodnim brojevima slijedi da je barem jedna od normi jednaka 1. Dakle, barem jedan od brojeva -- reverzibilno.

Lema 10.

Ako je Gausov broj djeljiv prostim brojem, tada je u.

Dokaz.

Neka , to je . Onda , , to je , .

C.T.D.

Lema 11.

Za prost prirodan broj oblika, postoji prirodan takav da.

Dokaz.

Wilsonova teorema kaže da je cijeli broj prost ako i samo ako. Ali odavde. Proširite i transformirajte faktorijel:

Otuda dobijamo da, tj. .

Dakle, dobili smo to , gdje = .

Sada smo spremni da opišemo sve jednostavne Gausove brojeve.

Teorema 12.

Svi jednostavni Gausovi mogu se podijeliti u tri grupe:

jedan). Jednostavne prirodne vrste su jednostavne Gausove;

2). Dva je povezana s kvadratom prostog Gausovog broja;

3). Jednostavni prirodni tipovi se razlažu u proizvod dva jednostavna konjugirana Gausova.

Dokaz.

1). Pretpostavljamo da je jednostavan prirodni vrsta nije jednostavan Gausov. Onda , i i . Pređimo na pravila: . Uzimajući u obzir ove nejednakosti, dobijamo , to je je zbir kvadrata dva cijela broja. Ali zbir kvadrata cijelih brojeva ne može dati ostatak od 3 kada se podijeli sa 4.

2). primeti, to

.

Broj je jednostavan Gausov, jer bi se u suprotnom ova dva razložila na tri nepovratna faktora, što je u suprotnosti sa teoremom 9.

3). Neka jednostavan prirodni tip , onda prema lemi 11 postoji cijeli broj takav da . Neka je jednostavan Gausov. Jer , zatim Euklidovom lemom dijeli barem jedan od faktora. Neka , onda postoji Gausov broj takav da . Izjednačavajući koeficijente imaginarnih dijelova, dobijamo to . dakle, , što je u suprotnosti s našom pretpostavkom o jednostavnosti . Sredstva je kompozitni Gauss, koji se može predstaviti kao proizvod dva jednostavna konjugirana Gausova.

C.T.D.

Izjava.

Gausov broj konjugiran s prostim brojem je sam po sebi prost.

Dokaz.

Neka je prost broj Gausov. Pod pretpostavkom da kompozit, tj. Zatim razmotrite konjugat:, to jest, predstavljen kao proizvod dva nepovratna faktora, koji ne mogu biti.

Izjava.

Gausov broj čija je norma prost prirodni broj je Gausov prost broj.

Dokaz.

Neka onda složeni broj. Pogledajmo pravila.

Odnosno, dobili smo da je norma složeni broj, a po uslovu je prost broj. Dakle, naša pretpostavka nije tačna, i postoji prost broj.

Izjava.

Ako prost prirodni broj nije jednostavan Gausov, onda se može predstaviti kao zbir dva kvadrata.

Dokaz.

Neka je prost prirodan broj i ne bude jednostavan Gausov. Onda. Pošto su brojevi jednaki, jednake su i njihove norme. To jest, odavde dobijamo.

Moguća su dva slučaja:

jedan). , odnosno predstavljen kao zbir dva kvadrata.

2). , odnosno znači reverzibilan broj, koji ne može biti, pa nas ovaj slučaj ne zadovoljava.

POGLAVLJE 3. PRIMJENA GAUSSOVIH BROJEVA.

Izjava.

Proizvod brojeva koji se mogu predstaviti kao zbir dva kvadrata je takođe predstavljen kao zbir dva kvadrata.

Dokaz.

Dokažimo ovu činjenicu na dva načina, koristeći Gausove brojeve i bez upotrebe Gausovih brojeva.

1. Neka su prirodni brojevi predstavljeni kao zbir dva kvadrata. Zatim, i. Razmotrimo proizvod, odnosno predstavljen kao proizvod dva konjugirana Gausova broja, koji je predstavljen kao zbir dva kvadrata prirodnih brojeva.

2. Neka . Onda

Izjava.

Ako, gdje je jednostavan prirodni oblik, onda i.

Dokaz.

Iz uvjeta slijedi da je i u ovom slučaju jednostavan Gausov. Zatim, prema Euklidovoj lemi, jedan od faktora je djeljiv sa. Pretpostavimo onda, prema lemi 10, imamo da i.

Hajde da opišemo opšti oblik prirodnih brojeva koji se mogu predstaviti kao zbir dva kvadrata.

Fermatova Božićna teorema ili Fermatova teorema--Euler.

Prirodni broj različit od nule može se predstaviti kao zbir dva kvadrata ako i samo ako u kanonskom proširenju svi prosti činioci oblika su u jednakim ovlašćenjima.

Dokaz.

Imajte na umu da 2 i svi prosti brojevi oblika mogu biti predstavljeni kao zbir dva kvadrata. Neka postoje prosti činioci oblika u kanonskoj dekompoziciji broja koji se javljaju u neparnom stepenu. Stavljamo u zagrade sve faktore koji se mogu predstaviti kao zbir dva kvadrata, tada će faktori oblika ostati, i to sve u prvom stepenu. Pokažimo da se proizvod takvih faktora ne može predstaviti kao zbir dva kvadrata. Zaista, ako to pretpostavimo, onda imamo taj jedan od faktora ili treba dijeliti, ali ako se jedan od ovih Gaussovih brojeva dijeli, onda mora dijeliti i drugi, kao konjugiran s njim. Odnosno, i, ali onda bi trebalo da bude na drugom stepenu, a ono na prvom. Stoga se proizvod bilo kojeg broja prostih faktora oblika prvog stepena ne može predstaviti kao zbir dva kvadrata. To znači da naša pretpostavka nije tačna i da svi primarni činioci oblika u kanonskoj dekompoziciji broja ulaze u parne stepene.

Zadatak 1.

Pogledajmo primjenu ove teorije na primjeru rješavanja Difantovske jednadžbe.

Riješi u cijelim brojevima.

Imajte na umu da se desna strana može predstaviti kao proizvod konjugiranih Gausovih brojeva.

To je. Neka je djeljiv nekim jednostavnim Gausovim brojem, a konjugat je također djeljiv s njim, tj. Ako uzmemo u obzir razliku ovih Gaussovih brojeva, koji bi trebali biti djeljivi sa, dobićemo da treba dijeliti 4. Ali, to jest, udruženo sa.

Svi prosti činioci u dekompoziciji broja uključeni su u potenciju umnožaka tri, a faktori oblika u potenciju umnožaka od šest, pošto se jednostavan Gausov broj dobija dekompozicijom na jednostavan Gausov broj 2, ali, stoga. Koliko se puta javlja u dekompoziciji na proste faktore broja, isto toliko puta se javlja u dekompoziciji na proste faktore broja. Jer je djeljiv sa ako i samo ako je djeljiv sa. Ali u savezu sa Odnosno, oni će biti ravnomjerno raspoređeni, što znači da će biti uključeni u proširenja ovih brojeva po stepenu višestrukog broja tri. Svi ostali prosti faktori uključeni u dekompoziciju broja ući će samo u dekompoziciju broja ili broja. To znači da će u proširenju broja u jednostavne Gausove faktore svi faktori biti uključeni u stepen višestrukog broja tri. Dakle, broj je kocka. Tako imamo to. Odavde dobijamo da, to jest, mora biti djelitelj od 2. Dakle, ili. Odatle dobijamo četiri opcije koje nas zadovoljavaju.

jedan. , . Gdje to nalazimo, .

2. , . Dakle, .

3. , . Dakle, .

4. , . Dakle, .

Zadatak 2.

Riješi u cijelim brojevima.

Predstavimo lijevu stranu kao proizvod dva Gausova broja, tj. Razložimo svaki od brojeva na jednostavne Gausove faktore. Među jednostavnima će biti i onih koji su u ekspanziji i. Grupiramo sve takve faktore i označavamo rezultirajući proizvod. Tada će u ekspanziji ostati samo oni faktori koji nisu u ekspanziji. Svi jednostavni Gausovi faktori u ekspanziji ulaze u parnom stepenu. Oni koji nisu uključeni biće prisutni ili samo u ili u. Dakle, broj je kvadrat. To je. Izjednačavajući stvarni i imaginarni dio, dobijamo da, .

Zadatak 3.

Broj prikaza prirodnog broja kao zbir dva kvadrata.

Problem je ekvivalentan problemu predstavljanja datog prirodnog broja kao norme nekog Gausovog broja. Neka je Gausov broj čija je norma jednaka. Razložimo na jednostavne prirodne faktore.

Gdje su prosti brojevi forme i prosti brojevi forme. Zatim, da bi se moglo predstaviti kao zbir dva kvadrata, potrebno je da svi budu parni. Zatim razlažemo broj na jednostavne Gausove faktore

gdje su jednostavni Gausovi brojevi na koje se razlažu.

Poređenje norme sa brojem dovodi do sledećih odnosa, koji su neophodni i dovoljni da bi se:

Broj pregleda se računa iz ukupnog broja opcija za odabir indikatora. Za indikatore postoji prilika, jer se broj može podijeliti na dva nenegativna člana na sljedeći način:

Za nekoliko indikatora postoji opcija i tako dalje. Kombinirajući na sve moguće načine dozvoljene vrijednosti za indikatore, dobit ćemo ukupno različite vrijednosti za proizvod jednostavnih Gaussovih brojeva, sa normom oblika ili 2. Indikatori se biraju jedinstveno. Konačno, reverzibilnom se mogu dati četiri značenja: Dakle, postoje sve mogućnosti za broj, pa se broj u obliku Gausove norme broja, odnosno u obliku može predstaviti na načine.

U ovom proračunu sva rješenja jednadžbe se smatraju različitim. Međutim, neka rješenja se mogu smatrati definiranjem istog prikaza kao zbroja dva kvadrata. Dakle, ako -- rješenja jednadžbe, onda možete specificirati još sedam rješenja koja određuju isti prikaz broja kao zbir dva kvadrata: .

Očigledno, od osam rješenja koja odgovaraju jednom prikazu, mogu ostati samo četiri različita ako i samo ako ili, ili. Takve reprezentacije su moguće ako je pun kvadrat ili udvostručen puni kvadrat, a osim toga, može postojati samo jedan takav prikaz: .

Dakle, imamo sljedeće formule:

Ako nisu svi parni i

Ako su svi parni.

Zaključak.

U ovom radu proučavali smo teoriju djeljivosti u prstenu Gausovih cijelih brojeva, kao i prirodu Gausovih prostih brojeva. Ova pitanja su obrađena u prva dva poglavlja.

Treće poglavlje razmatra primjenu Gaussovih brojeva na rješavanje dobro poznatih klasičnih problema, kao što su:

· Pitanje mogućnosti predstavljanja prirodnog broja kao zbira dva kvadrata;

· Problem nalaženja broja prikaza prirodnog broja kao zbira dva kvadrata;

· Pronalaženje općih rješenja neodređene Pitagorine jednačine;

kao i na rješenje Diafantine jednadžbe.

Također napominjem da je rad izveden bez upotrebe dodatne literature.

Slični dokumenti

Svojstva djeljivosti cijelih brojeva u algebri. Osobine dijeljenja s ostatkom. Osnovna svojstva prostih i složenih brojeva. Znakovi djeljivosti nizom brojeva. Koncepti i metode za izračunavanje najvećeg zajedničkog djelitelja (GCD) i najmanjeg zajedničkog višekratnika (LCM).

predavanje, dodato 07.05.2013


Pregled Gausovih kvadraturnih formula, njihova definicija, integralne konstrukcije, primjeri koji jasno opisuju Gausove kvadrature. Značajke upotrebe nekih algoritama koji omogućavaju praćenje napretka rješavanja problema pomoću Gaussovih kvadraturnih formula.

kontrolni rad, dodano 16.12.2015


Zbrajanje i množenje p-adičnih cijelih brojeva, definirano kao pojmovno zbrajanje i množenje nizova. Prsten cjelobrojnih p-adičnih brojeva, proučavanje svojstava njihovog dijeljenja. Objašnjenje ovih brojeva uvođenjem novih matematičkih objekata.

seminarski rad, dodan 22.06.2015


Koncept matrice. Gaussova metoda. Vrste matrica. Cramerova metoda za rješavanje linearnih sistema. Radnje na matricama: zbrajanje, množenje. Rješavanje sistema linearnih jednadžbi Gaussovom metodom. Elementarne transformacije sistema. Matematičke transformacije.

predavanje, dodano 02.06.2008


Zakon održanja broja brojeva Zajednički nizovi u prirodnim nizovima brojeva kao princip povratne sprege brojeva u matematici. Struktura prirodnog niza brojeva. Izomorfna svojstva nizova parnih i neparnih brojeva. Fraktalna priroda raspodjele prostih brojeva.

monografija, dodana 28.03.2012


Johann Carl Friedrich Gauss je najveći matematičar svih vremena. Gausove interpolacijske formule koje daju približan izraz za funkciju y=f(x) koristeći interpolaciju. Područja primjene Gaussovih formula. Glavni nedostaci Newtonovih interpolacijskih formula.

test, dodano 12.06.2014


Prošireni Euklidov algoritam, njegova upotreba za pronalaženje najvećeg zajedničkog djelitelja prirodnih brojeva pomoću ostataka dijeljenja. Problem matematičkog kalendara. Euklidski prstenovi - analozi Fibonačijevih brojeva u prstenu polinoma, njihova svojstva.

sažetak, dodan 25.09.2009


Vivchennya moći prirodnih brojeva. Beskonačnost množitelja prostih brojeva. Eratostenovo sito. Praćenje glavne teoreme aritmetike. Asimptotski zakon podjele prostih brojeva. Karakterizacija algoritma prema broju prostih brojeva po intervalu.

seminarski rad, dodan 27.07.2015


Izračunavanje vrijednosti kompleksnih brojeva u algebarskom, trigonometrijskom i eksponencijalnom obliku. Određivanje udaljenosti između tačaka na kompleksnoj ravni. Rješenje jednadžbe na skupu kompleksnih brojeva. Cramerove, inverzne matrice i Gaussove metode.

kontrolni rad, dodano 12.11.2012


Brojno-teorijska osnova za konstruisanje RNS-a. Teorema dijeljenja s ostatkom. Euklidov algoritam. Kineski teorem o ostatku i njegova uloga u predstavljanju brojeva u RNS-u. Modeli modularnog predstavljanja i paralelne obrade informacija. modularne operacije.

Iz kursa programiranja je poznato da se cijeli broj može predstaviti u memoriji računala na različite načine, a posebno ovaj prikaz ovisi o tome kako je opisan: kao vrijednost tipa integer, ili real, ili string. Istovremeno, u većini programskih jezika, cijeli brojevi se shvataju kao brojevi iz vrlo ograničenog raspona: tipičan slučaj je od -2 15 = -32768 do 2 15 - 1 = 32767 . Sistemi kompjuterska algebra se bavi velikim cijelim brojevima, posebno, svaki takav sistem može izračunati i prikazati brojeve poput 1000 u decimalnom zapisu! (više od hiljadu znakova).

U ovom kursu ćemo razmotriti predstavljanje cijelih brojeva u simboličkom obliku i nećemo ulaziti u detalje o tome koliko memorije je dodijeljeno za upisivanje jednog znaka (bit, bajt ili drugi). Najčešći je prikaz cijelih brojeva u pozicioni brojevni sistemi. Takav sistem je određen izborom baze broja, na primjer, 10. Skup decimalnih cijelih brojeva obično se opisuje na sljedeći način:

Pisana definicija cijelih brojeva daje jedinstvenost reprezentacije svakog takvog broja, a slična definicija (samo, možda s drugačijom osnovom) se koristi u većini sistema. kompjuterska algebra. Koristeći ovu reprezentaciju, zgodno je implementirati aritmetičke operacije nad cijelim brojevima. Istovremeno, sabiranje i oduzimanje su relativno "jeftine" operacije, dok su množenje i dijeljenje "skupi". Prilikom procjene složenosti aritmetičkih operacija treba uzeti u obzir i cijenu elementarne operacije (jednobitne) i broj jednobitnih operacija za izvođenje bilo koje operacije nad višecifrenim brojevima. Složenost množenja i dijeljenja posljedica je, prije svega, činjenice da se s povećanjem dužine broja (njegova notacija u bilo kojem brojevnom sistemu) povećava broj elementarnih operacija prema kvadratnom zakonu, za razliku od linearni za sabiranje i oduzimanje. Osim toga, ono što obično nazivamo algoritam višecifrenog dijeljenja zapravo se temelji na nabrajanju (često vrlo značajnom) moguće sljedeće cifre količnika, i nije dovoljno samo koristiti pravila za dijeljenje jednocifrenih brojeva. Sa velikom bazom brojevnog sistema (često može biti reda veličine 2 30 ), ovaj metod je neefikasan.

Neka je prirodan broj (zapisan u decimalnom sistemu). Da dobijem njegov dosije u -arnom brojevnom sistemu, možete koristiti sljedeći algoritam (označava cijeli dio broja):

Dato: A-prirodni broj u decimalnom brojevnom sistemu k > 1-prirodni broj Potreba: A-zapis broja A u k-arnom brojevnom sistemu Početak i:= 0 ciklusa dok je A > 0 bi:= A (mod k) A: = i:= i + 1 kraj ciklusa dA:= i - 1 kraj

Sljedeći algoritam se koristi za vraćanje decimalnog broja iz niza njegove k-arne notacije:

Dato je: k > 1-prirodni broj niz cifara koji predstavlja broj A u k-arnom sistemu Potreba: A-zapis broja A u decimalnom zapisu Početak A:= 0 ciklusa do kraja niza b:= sljedeći element niza A:= A * k + b kraj petlje Kraj

1.2. VEŽBA. Objasnite zašto se dijeljenje koristi za pretvaranje broja iz decimalnog sistema u k -dial, a množenje za pretvaranje iz k -brojnog sistema u decimalni.

Množenjem sa "stupcem" dva dvocifrena broja u decimalnom brojevnom sistemu, izvodimo sljedeće operacije:

(10a + b)(10c + d) = 100ac + 10(ad + bc) + bd,

odnosno 4 operacije množenja jednocifrenih brojeva, 3 operacije sabiranja i 2 operacije množenja po stepenu brojevne baze koje se svode na pomak. Prilikom procjene složenosti, mogu se uzeti u obzir sve elementarne operacije bez odvajanja po težini (u ovom primjeru imamo 9 elementarnih operacija). Zadatak optimizacije algoritma se u ovom pristupu svodi na minimiziranje ukupnog broja elementarnih operacija. Može se, međutim, smatrati da je množenje "skuplja" operacija od sabiranja, koja je, pak, "skuplja" od pomaka. Uzimajući u obzir samo najskuplje operacije, dobijamo to multiplikativno složenost množenja dvocifrenih brojeva sa "kolona" je 4.

Odjeljak 5 razmatra algoritme za izračunavanje najvećih zajedničkih djelitelja i procjenjuje njihovu složenost.

Razmatrana reprezentacija nije jedina kanonska reprezentacija cijelih brojeva. Kao što je već napomenuto, da bi se izabrala kanonska reprezentacija, može se koristiti jedinstvenost faktorizacije prirodnog broja u proste faktore. Takav prikaz cijelog broja može se koristiti u onim problemima gdje se koriste samo operacije množenja i dijeljenja, jer postaju vrlo "jeftine", međutim, cijena operacija sabiranja i oduzimanja nesrazmjerno raste, što onemogućuje korištenje takvog prikaza. U nekim problemima, odbacivanje kanonske reprezentacije daje značajan dobitak u brzini, posebno se može koristiti parcijalna faktorizacija broja. Slična metoda je posebno korisna kada se ne radi s brojevima, već s polinomima.

Ako se zna da su u toku rada programa svi celi brojevi koji se susreću u proračunima ograničeni u apsolutnoj vrednosti nekom zadatom konstantom, onda da se takvim brojevima postavi njihov sistem ostataka u modulu nekih kopramnih brojeva, čiji proizvod premašuje pomenutu konstantu , može biti korišteno. Izračuni s klasama ostataka su općenito brži od aritmetike višestruke preciznosti. A sa ovim pristupom, aritmetiku višestruke preciznosti treba koristiti samo prilikom unosa ili izlaza informacija.

Imajte na umu da, zajedno sa kanonskim reprezentacijama u sistemima kompjuterska algebra koriste se i drugi prikazi. Posebno je poželjno da prisustvo ili odsustvo znaka "+" ispred celog broja ne utiče na percepciju računara o tome. Tako se za pozitivne brojeve dobija dvosmislen prikaz, iako je oblik negativnih brojeva jednoznačno određen.

Drugi zahtjev je da na percepciju broja ne bi trebalo utjecati prisustvo nula prije prve značajne cifre.

1.3. VJEŽBE.

1. Procijenite broj jednocifrenih množenja koji se koriste prilikom množenja m-cifrenog broja sa n-cifrenim brojem u koloni.
2. Pokažite da se dva dvocifrena broja mogu pomnožiti koristeći samo 3 jednocifrena množenja i povećanjem broja sabiranja.
3. Pronađite algoritam za dijeljenje dugih brojeva koji ne zahtijeva puno nabrajanja da biste pronašli prvu cifru količnika.
4. Opišite algoritam za pretvaranje prirodnih brojeva iz m-arnog sistema brojeva u n-arni.
5. V Rimska numeracija za pisanje brojeva koriste se sljedeći simboli: I - jedan, V - pet, X - deset, L - pedeset, C - sto, D - petsto, M - hiljadu. Simbol se smatra negativnim ako se desno od njega nalazi simbol većeg broja, a u suprotnom pozitivnim. Na primjer, broj 1948 u ovom sistemu će biti napisan ovako: MCMXLVIII. Formulirajte algoritam za pretvaranje broja iz rimskog u decimalni i obrnuto. Implementirajte rezultirajući algoritam na jednom od algoritamskih jezika (na primjer, C). Ograničenja početnih podataka: 1<= N < 3700 , в записи результата ни один символ не должен появляться больше 3 раз.
6. Formulirajte algoritam i napišite program za sabiranje prirodnih brojeva u rimskoj numeraciji.
7. Reći ćemo da imamo posla sa brojevnim sistemom mješovite ili vektorske, ako nam je dat vektor od n prirodnih brojeva M = (m 1 , . . . ,m n) (baza) i oznaka K = (k 0 , k 1 , . . . , k n) označava broj k = k 0 +m 1 (k 1 +m 2 (k 2 + · · +m n ·k n) . . .)). Napišite program koji na osnovu podataka (dan u sedmici, sati, minute, sekunde) određuje koliko je sekundi prošlo od početka sedmice (ponedjeljak, 0, 0, 0) = 0, i vrši inverznu transformaciju.

Vidjeli smo da se operacije nad polinomima svode na operacije nad njihovim koeficijentima. Istovremeno, za sabiranje, oduzimanje i množenje polinoma dovoljne su tri aritmetičke operacije - dijeljenje brojeva nije bilo potrebno. Pošto su zbir, razlika i proizvod dva realna broja opet realni brojevi, sabiranje, oduzimanje i množenje polinoma sa realnim koeficijentima rezultiraju polinomima sa realnim koeficijentima.

Međutim, ne morate uvijek imati posla s polinomima koji imaju realne koeficijente. Postoje slučajevi kada, po samoj suštini stvari, koeficijenti treba da imaju samo celobrojne ili samo racionalne vrednosti. Ovisno o tome koje vrijednosti koeficijenata se smatraju prihvatljivim, svojstva polinoma se mijenjaju. Na primjer, ako uzmemo u obzir polinome s bilo kojim realnim koeficijentima, onda možemo faktorizirati:

Ako se ograničimo na polinome sa cjelobrojnim koeficijentima, onda proširenje (1) nema smisla i moramo smatrati da je polinom nerazložljiv na faktore.

Ovo pokazuje da teorija polinoma suštinski zavisi od toga koji se koeficijenti smatraju prihvatljivim. Daleko od toga da se bilo koji skup koeficijenata može uzeti kao prihvatljiv. Na primjer, razmotrite sve polinome čiji su koeficijenti neparni cijeli brojevi. Jasno je da zbir dva takva polinoma više neće biti polinom istog tipa: na kraju krajeva, zbir neparnih brojeva je paran broj.

Postavimo pitanje: šta su „dobri“ skupovi koeficijenata? Kada zbir, razlika, proizvod polinoma sa koeficijentima date vrste ima koeficijente istog tipa? Da bismo odgovorili na ovo pitanje, uvodimo pojam brojevnog prstena.

Definicija. Neprazan skup brojeva naziva se brojevnim prstenom ako, zajedno sa bilo koja dva broja a i , sadrži njihov zbir, razliku i proizvod. Ovo se takođe kraće izražava tako što se kaže da je brojčani prsten zatvoren operacijama sabiranja, oduzimanja i množenja.

1) Skup cijelih brojeva je numerički prsten: zbir, razlika i proizvod cijelih brojeva su cijeli brojevi. Skup prirodnih brojeva nije numerički prsten, jer razlika prirodnih brojeva može biti negativna.

2) Skup svih racionalnih brojeva je numerički prsten, jer su zbir, razlika i proizvod racionalnih brojeva racionalni.

3) Formira brojčani prsten i skup svih realnih brojeva.

4) Brojevi oblika a gdje a i cijeli brojevi čine numerički prsten. Ovo proizilazi iz odnosa:

5) Skup neparnih brojeva nije brojčani prsten, jer je zbir neparnih brojeva paran. Skup parnih brojeva je numerički prsten.

Federalna agencija za obrazovanje

Državna obrazovna ustanova visokog stručnog obrazovanja

Državni univerzitet za humanističke nauke Vjatka

Matematički fakultet

Katedra za matematičku analizu i metode
predavanje matematike

Završni kvalifikacioni rad

na temu: Gausov prsten cijelih brojeva.

Završeno:

Student 5. godine

Matematički fakultet

Gnusov V.V.

___________________________

naučni savjetnik:

viši predavač katedre

algebra i geometrija

Semenov A.N.

___________________________

Recenzent:

Kandidat fizike i matematike nauka, vanredni profesor

Odsjek za algebru i geometriju

Kovyazina E.M.

___________________________

Primljen na odbranu u VAC

Glava Katedra ________________ Vechtomov E.M.

« »________________

Dekan fakulteta ___________________ Varankina V.I.

Uvod.

Prsten cijelih kompleksnih brojeva

otkrio ga je Carl Gauss i po njemu nazvao Gaussian.

K. Gauss je došao na ideju o mogućnosti i neophodnosti proširenja koncepta celog broja u vezi sa traženjem algoritama za rešavanje poređenja drugog stepena. Prenio je koncept cijelog broja na brojeve oblika

, gdje su proizvoljni cijeli brojevi, i korijen je jednadžbe Na ovom skupu, K. Gauss je prvi konstruirao teoriju djeljivosti, sličnu teoriji djeljivosti cijelih brojeva. On je potkrijepio valjanost osnovnih svojstava djeljivosti; pokazao da postoje samo četiri inverzibilna elementa u prstenu kompleksnih brojeva: ; dokazao valjanost teoreme o podjeli s ostatkom, teoreme o jedinstvenosti dekompozicije na proste faktore; pokazao koji će prosti prirodni brojevi ostati prosti u prstenu; otkrio prirodu jednostavnih cijelih kompleksnih brojeva.

Teorija koju je razvio K. Gauss, opisana u njegovom djelu "Aritmetička istraživanja", bila je fundamentalno otkriće za teoriju brojeva i algebru.

Za rad su postavljeni sljedeći ciljevi:

1. Razviti teoriju djeljivosti u prstenu Gaussovih brojeva.

2. Saznajte prirodu jednostavnih Gaussovih brojeva.

3. Pokažite primjenu Gausovih brojeva u rješavanju običnih Diofantovih problema.

POGLAVLJE 1. DJELJIVOST U PRSTENU GAUSOVIH BROJEVA.

Razmotrimo skup kompleksnih brojeva. Po analogiji sa skupom realnih brojeva, u njemu se može razlikovati podskup cijelih brojeva. Skup brojeva forme

, gdje zvati će se kompleksni cijeli brojevi ili Gausovi brojevi. Lako je provjeriti da li aksiomi prstena vrijede za ovaj skup. Dakle, ovaj skup kompleksnih brojeva je prsten i zove se prsten Gausovih cijelih brojeva . Označimo ga kao , budući da je produžetak prstena elementom: .

Budući da je prsten Gaussovih brojeva podskup kompleksnih brojeva, za njega vrijede neke definicije i svojstva kompleksnih brojeva. Na primjer, za svaki Gausov broj

odgovara vektoru koji počinje u tački i završava na . dakle, modul Gausovi brojevi su . Imajte na umu da je u skupu koji se razmatra izraz podmodula uvijek nenegativan cijeli broj. Stoga je u nekim slučajevima praktičnije koristiti norma , odnosno kvadrat modula. Na ovaj način . Možemo razlikovati sljedeća svojstva norme. Za sve Gausove brojeve vrijedi sljedeće: (1) (2) (3) (4) (5) - skup prirodnih brojeva, odnosno pozitivnih cijelih brojeva.

Valjanost ovih svojstava se trivijalno provjerava pomoću modula. Usput, napominjemo da (2), (3), (5) također vrijede za sve kompleksne brojeve.

Prsten Gausovih brojeva je komutativni prsten bez djelitelja 0, jer je podprsten polja kompleksnih brojeva. To implicira multiplikativnu kontraktibilnost prstena

, tj. (6)

1.1 REVERZIBILNI I LEGIRANI ELEMENTI.

Hajde da vidimo koji će Gausovi brojevi biti reverzibilni. Množenje je neutralno

. Ako je Gausov broj reverzibilan , onda, po definiciji, postoji takav da . Prelaskom na norme, prema svojstvu 3, dobijamo . Ali ove norme su, dakle, prirodne. Dakle, prema svojstvu 4, . Obrnuto, svi elementi ovog skupa su invertibilni, budući da . Dakle, brojevi s normom jednakom jedan će biti reverzibilni, to jest, , .

Kao što vidite, neće svi Gausovi brojevi biti reverzibilni. Stoga je zanimljivo razmotriti pitanje djeljivosti. Kao i obično, mi to kažemo

je podijeljen na ako postoji takav da Za bilo koje Gausove brojeve, kao i invertibilne, svojstva su tačna. (7) (8) (9) (10) , gdje je (11) (12)

(8), (9), (11), (12) se lako provjeravaju. Valjanost (7) proizlazi iz (2), a (10) proizlazi iz (6). Zbog svojstva (9), elementi skupa

U raznim granama matematike, kao iu primjeni matematike u tehnologiji, često se javlja situacija da se algebarske operacije ne izvode nad brojevima, već nad objektima različite prirode. Na primjer, sabiranje matrice, množenje matrice, sabiranje vektora, operacije nad polinomima, operacije nad linearnim transformacijama itd.

Definicija 1. Prsten je skup matematičkih objekata u kojem su definirane dvije akcije - "sabiranje" i "množenje", koje porede uređene parove elemenata sa njihovim "zbirom" i "proizvodom", koji su elementi istog skupa. Ove radnje ispunjavaju sljedeće zahtjeve:

1.a+b=b+a(komutativnost sabiranja).

2.(a+b)+c=a+(b+c)(asocijativnost sabiranja).

3. Postoji nulti element 0 takav da a+0=a, za bilo koje a.

4. Za bilo koga a postoji suprotan element − a takav da a+(−a)=0.

5. (a+b)c=ac+bc(lijeva distributivnost).

5".c(a+b)=ca+cb(desna distributivnost).

Zahtjevi 2, 3, 4 znače da skup matematičkih objekata čini grupu , a zajedno sa tačkom 1 radi se o komutativnoj (abelovskoj) grupi u odnosu na sabiranje.

Kao što se vidi iz definicije, u opštoj definiciji prstena, množenjima se ne nameću nikakva ograničenja, osim distributivnosti sa sabiranjem. Međutim, u različitim situacijama postaje potrebno razmotriti prstenove s dodatnim zahtjevima.

6. (ab)c=a(bc)(asocijativnost množenja).

7.ab=ba(komutativnost množenja).

8. Postojanje elementa identiteta 1, tj. takav a 1=1 a=a, za bilo koji element a.

9. Za bilo koji element elementa a postoji inverzni element a−1 takav da aa −1 =a −1 a= 1.

U raznim prstenovima 6, 7, 8, 9 se mogu izvoditi i zasebno iu raznim kombinacijama.

Prsten se naziva asocijativnim ako je zadovoljen uslov 6, komutativnim ako je zadovoljen uslov 7, komutativnim i asocijativnim ako su ispunjeni uslovi 6 i 7. Prsten se naziva prstenom sa jedinicom ako je ispunjen uslov 8.

Primjeri prstena:

1. Skup kvadratnih matrica.

Zaista. Ispunjenost tačaka 1-5, 5" je očigledna. Nulti element je nulta matrica. Osim toga, izvode se tačka 6 (asocijativnost množenja), tačka 8 (jedinični element je matrica identiteta). Tačke 7 i 9 se ne izvode jer u opštem slučaju množenje kvadratnih matrica nije komutativno, a takođe ne postoji uvek inverzno kvadratnoj matrici.

2. Skup svih kompleksnih brojeva.

3. Skup svih realnih brojeva.

4. Skup svih racionalnih brojeva.

5. Skup svih cijelih brojeva.

Definicija 2. Svaki sistem brojeva koji sadrži zbir, razliku i proizvod bilo koja dva njegova broja naziva se broj prstena.

Primjeri 2-5 su prstenovi brojeva. Numerički prstenovi su također svi parni brojevi, kao i svi cijeli brojevi djeljivi bez ostatka nekim prirodnim brojem n. Imajte na umu da skup neparnih brojeva nije prsten jer zbir dva neparna broja je paran broj.