Փակ ժապավեն: Փորձեր Möbius ժապավենով: Ստեղծագործական ոգեշնչման աղբյուր

Բոլորն էլ գիտեն, որ մեր աշխարհը երեք չափում ունի, որ Երկիրը պտտվում է Արեգակի շուրջ, որ ցանկացած մակերես ունի երկու կողմ ՝ վերև և ստորին ... Բայց դուք չէիք կռահում: Ոչ մի Քանի որ, պարզվում է, կան մակերեսներ, որոնք ունեն միայն մեկ կողմ, և դա գիտականորեն ապացուցված է:

Ո՞վ է գյուտարարը:

Այս երկրաչափական երեւույթը հայտնաբերել են գրեթե միաժամանակ, բայց միմյանցից անկախ, երկու գերմանացի գիտնականներ ՝ Օգոստոս Ֆերդինանդ Մոբիուսը և Յոհան Բենեդիկտ Լիստինգը (1858): ? Մաթեմատիկոսն ինքը պատրաստեց այն թերթիկից և պարզվեց, որ դա մարդկությանը հայտնի առաջին միակողմանի մակերեսն է: Մինչ այդ հավատում էին, որ անհնար է տվյալ մակերեսի մի կետից հասնել ՝ առանց դրա եզրերը հատելու, որևէ այլ կետի:

Ինչպե՞ս պատրաստել Mobius- ի ժապավենը ձեր սեփական ձեռքերով:

Դուք ինքներդ կարող եք պատրաստել Մոբիուսի տերևի նմուշ և իմ սեփական փորձից համոզվեմ, որ նա իսկապես ունի մի կողմ: Ամեն ինչ շատ պարզ է: Դա անելու համար ձեզ հարկավոր է մի կտոր թուղթ, մկրատ, սոսինձ, երկու գույնի ներկ և, իհարկե, ձեր անխորտակելի հետաքրքրասիրությունը:
Եկեք սկսենք այն փաստից, որ թղթի թերթից անհրաժեշտ է կտրել մոտավորապես 24x4 սմ չափսերով ժապավեն: Դրանից հետո պարզության համար մենք կնշենք անկյունները A և B ժապավենի մի կողմում, մյուս կողմից `C և D. Հաջորդը, թղթի շերտը պետք է մեկ անգամ պտտվի և սոսնձվի այնպես, որ A անկյունը համընկնում է D անկյան հետ, իսկ B անկյունը ՝ C անկյունին: Արդյունքում կազմված գործիչը կոչվում է Մոբիուսի ժապավեն:
Մենք ստեղծեցինք արտադրանքը ինքնին, այժմ մնում է պարզել, թե ինչպես կարելի է ստուգել Mobius ժապավենը միակողմանիության համար: Դա անելու համար վերցրեք ցանկացած ներկ և սկսեք աստիճանաբար նկարել ժապավենը մի կողմից պատրաստված, սանտիմետր առ սանտիմետր, առանց որևէ ձևով անցնելու դրա եզրից: Մենք այլ գույնի ներկ կթողնենք մյուս կողմի համար: Շուտով պարզ կդառնա, որ դրան դիմելու ոչինչ չկա, քանի որ բացարձակապես սպիտակ թուղթ չի մնացել: Այսպիսով, ճիշտ է, Մոբիուսի ժապավենը միակողմանի մակերես է:
Մոբիուսի տերեւի կտրումը նույնպես անսպասելի արդյունքներ է տալիս: Ինչպե՞ս պատրաստել Mobius- ի երկու գոտի մեկից, բայց արդեն: Թվում է, թե դա կարող է ավելի պարզ լինել ՝ վերցրու և կտրիր հենց մեջտեղում: Բայց ինչպես սպասվում է, ոչ թե երկու օղակ կստեղծվի, այլ մեկ մեծ: Կասետի հետագա կտրվածքները ձեզ ավելի ու ավելի կզարմացնեն:

Ինչպես Մոբիուսի ժապավենը կատարվեց անփոխարինելի հայտնագործություն

Այս ամենը զվարճալի է և հուզիչ, բայց Mobius ժապավենը պարզապես հետաքրքիր խաղալիք չէ: Շատ գիտնականներ մտածել են այդ մասին ինչպես պատրաստել Mobius ժապավենը օգտակար մարդկության համար, գտեք դրա արժանի օգտագործումը: Ներկայումս շատ նման գյուտեր են գրանցվել, այդ թվում ՝ ֆիլմի վրա ձայնը ձայնագրելու երկկողմանի եղանակ ՝ առանց ժապավենը ոլորելու, և հատուկ կասետներ մագնիտոֆոնների համար: Եվ 1969 թվականին խորհրդային գյուտարար Ա. Գուբայդուլինը ստացավ գյուտարարի վկայական անվերջ հղկող գոտու համար, որը միանգամից աշխատում է երկու կողմերում էլ ՝ Մոբիուսի տերևի հիման վրա:
Ոմանք տարակուսում էին փաստից ինչպես պատրաստել Մոբիուսի ժապավենը անսահմանության խորհրդանիշի մի տեսակ «նախահայր», քանի որ ժապավենի մակերեսը կարող ես իսկապես ընդմիշտ տեղափոխել: Բայց այս փաստն իրեն չարդարացրեց, քանի որ այս խորհրդանիշը գոյություն ուներ Մոբիուսի հայտնաբերումից շատ առաջ:
Ոմանք, առաջին հայացքից, պարզ առարկաներ ունեն այդպիսի զարմանալի ունակություններ:

Վարպետության դաս «Մոբիուսի շերտի անակնկալները» - մշակել է MBOU «Gym1 գիմնազիա» մաթեմատիկայի ուսուցիչ Ռուզաևկա Խանինան MF

Բարի օր, սիրելի գործընկերներ: Այսօր ուզում եմ, որ հիշեք մեկ զարմանալի առարկա և տեսնեք, թե ինչպես կարող եք պարզ փորձերի միջոցովերեխաներին ներկայացնել միակողմանի մակերեսի գաղափարը և դրա զարմանալի հատկությունները, մտքին փոխանցել, որ մաթեմատիկական առարկաներն ու օրենքները կիրառվում են ինչպես առօրյա կյանքում, այնպես էլ արվեստում:

Անգամ Բլեզ Պասկալը ՝ ֆրանսիացի մեծ ֆիզիկոս և մաթեմատիկոս, հայտարարել է. «Մաթեմատիկայի առարկան այնքան լուրջ է, որ օգտակար է առիթը բաց չթողնել, այն մի փոքր զվարճալի դարձնել»:

Սյուժե (սլայդ 2)

ԻՆ թիվ 86 գնացքը մեկնել է Պարկ Սթրիթ կայարանից, բայց չի հայտնվել հաջորդ կայարանում կամ պահեստում ՝ անհետանալով առանց հետքի ՝ վարորդի և մոտ 350 ուղևորների հետ միասին:

Սկսած հանրահաշվի պրոֆեսոր Ռոջեր Տուպելոն, թերթերում կարդալով կատարվածի մասին, գալիս է քաղաքի մետրոյի գլխավոր մենեջեր Կալվին Ուայթին ՝ տեղեկացնելու գնացքի անհետացման իր վարկածը: Ըստ Տուպելոյի ՝ Բոյլսթոնի նոր գծի բացումից հետո Բոստոնի մետրոյի տեղաբանական հատկությունները փոխվեցին, և գնացքը մտավ . Նրան վերցնելով խելագարի տեղ, Ուայթը հեռացնում է Տուպելոյին:

Սակայն Ուայթին շուտով պարզվում է, որ գնացքն իսկապես ինչ-որ տեղ մետրոյում է: Այսպիսով, թիվ 86 գնացքը պարբերաբար գրանցվում է մետրոյի տարբեր հատվածներում ավտոմատ սարքավորումների կողմից, այն սպառում է էլեկտրաէներգիա, բայց ոչ ոք դա չի տեսնում, չնայած դրա աղմուկը լսելի է: Որոշվեց չփակել նոր գիծը ՝ հույսով, որ գնացքը կվերադառնա:

Անցնում է երկու ամիս: Մի առավոտ, համալսարան գնալիս, Տուպելոն նստում է մետրոյում և նկատում, որ ուղևորը թերթ է կարդում, որը գնացքի անհետացման օրվանից է: Նա վազում է գնացքով վեր ու վար, ստուգում է այլ ուղևորների թերթի ամսաթվերը, և նրանցից ոմանք ունեն նաև երկու ամսվա թերթեր: Տուպելոն քաշում է ազդանշանային լարը, և գնացքը կանգ է առնում: Մաթեմատիկոսը ուղևորներին և վարորդին հայտարարում է, որ անցել է երկու ամիս և խնդրում է ստուգել իր խոսքերը ՝ նայելով նախորդ կայարանում կառք մտած ուղևորների թերթերի ամսաթվին: Տուպելոն դուրս է վազում թունելը և վազում դեպի հեռախոսը, որը կապվում է մետրոյի գլխավոր գրասենյակի հետ: Նա հայտնում է, որ վերջապես հայտնաբերվել է 86-րդ գնացքը, և բոլոր ուղևորները ողջ ու առողջ են:

Ուայթի հետ հանդիպելուց հետո Ռոջեր Տուպելոն խնդրում է նրան փակել Բոյլսթոնի գիծը, բայց Ուայթը պատասխանում է. «Շատ ուշ: Քսանհինգ րոպե առաջ Էգլեստոնի և Դորչեսթերի միջև անհայտացավ 143 համարի գնացքը:

Դա Արմին Դոյչի գիտական \u200b\u200bֆանտաստիկայի պատմության սյուժեն էր.Մոբիուսի տերև »:Այն առաջին անգամ հրատարակվել է ռուսերեն ամսագրում » » 1969-ին: Բոստոնի մետրոն նոր գիծ է կառուցում, որի երթուղին այնքան շփոթեցնում է, որ վերածվում է Մոբիուսի շերտի, որից հետո նրանք սկսում են այս գծից:անհետացող գնացքներ:

Moebius շերտի հայտնաբերման պատմությունը: ( սլայդ 3)

Խորհրդավոր և հայտնի Մոեբիուսի ժապավենը հորինել է գերմանացի գիտնական Օգուստ Ֆերդինանդ Մոբիուսը (1790-1868) ՝ մաթեմատիկոս Գաուսի «արքայի» ուսանող, 1858 թվականին:

Մոբիուսն ի սկզբանե աստղագետ էր, ինչպես Գաուսը և շատ ուրիշներ, որոնց մաթեմատիկան պարտական \u200b\u200bէ իր զարգացմանը: Այդ օրերին մաթեմատիկայի ուսումնասիրությունը ոչ մի աջակցության չէր բախվում, և աստղագիտությունը բավական գումար տվեց նրանց մասին չմտածելու համար և ժամանակ թողեց սեփական արտացոլման համար: Եվ Մոբիուսը դարձավ 19-րդ դարի ամենամեծ երկրաչափերից մեկը:

Ինչպե՞ս ձեռք բերել Moebius գոտի: (սլայդ 4)

Ուղղանկյուն թղթի շերտի մի ծայրը ոլորեք կես շրջադարձով (180˚)(հարմար չափսեր. երկարություն 30 սմ, լայնություն 3 սմ)և կպցրեք այն նույն շերտի մյուս ծայրին: Այս մոդելը կոչվում է «Moebius strip»:

Տեղաբանություն ( սլայդ 5)

Այն պահից, երբ գերմանացի մաթեմատիկոս AF Möbius- ը հայտնաբերեց զարմանալի միակողմանի թղթի գոյություն, մաթեմատիկայի մի ամբողջ նոր ճյուղ սկսեց զարգանալ, որը կոչվում էր տեղաբանություն (այլ կերպ ասած ՝ «դիրքի երկրաչափություն» կամ «ռետինե երկրաչափություն»): Տեղաբանությունն ուսումնասիրում է գործիչների և մարմինների հատկությունները, որոնք չեն փոխվում դրանց շարունակական դեֆորմացիաների ընթացքում:

Moebius շերտի զարմանալի հատկությունները. Այն ունի մեկ եզր, մի կողմ, կապված չէ տարածության մեջ իր դիրքի հետ, հեռավորություն, անկյուն հասկացությունների հետ և, այնուամենայնիվ, ունի ամբողջովին երկրաչափական բնույթ:

Եկեք որոշ փորձեր կատարենք Moebius շերտի հետ . ( սլայդ 6)

Փորձ 1:

Վերցրեք պատրաստված Մոբիուսի ժապավենը և կտրեք սոսնձված ժապավենը մեջտեղում, կետավոր գծի երկայնքով: Ի՞նչ եք կարծում, ի՞նչ կստացվի:

Պարզվեց ոչ թե երկու օղակ, այլ մեկը ՝ երկու անգամ նեղ, բայց կրկնակի երկար(այսպես կոչված, «աֆղանական ժապավեն»)... Բացի այդ, այն ոլորվում է ոչ թե մեկ, այլ երկու անգամ:

Փորձ 2.

Եթե \u200b\u200bայժմ այս ժապավենը կտրված է մեջտեղի երկայնքով, ապա երկու ժապավեն է ձեռք բերվում, որոնք միմյանց վրա են փաթաթվում:

Փորձ 3.

Թիվ 2 փորձի արդյունքներից յուրաքանչյուր օղակ կտրեցինք մեջտեղում: Մենք ստանում ենք «ծաղիկ» ՝ չորս օղակ ՝ երկու կիսաշրջանով, բոլորը փոխկապակցված:

Փորձ 4:

Եթե \u200b\u200bժապավենը կտրում եք երեք շրջադարձով, ապա ստանում եք ժապավեն, որը փաթաթված է եռաֆիլե հանգույցի մեջ:

Լրացուցիչ շրջադարձերով Մոբիուսի շերտի կտրումը տալիս է անսպասելի թվեր, որոնք կոչվում են պարադրոմիկ օղակներ:

Փորձ 5:

Եվ հիմա եկեք փորձենք նման մոդել պատրաստել. Կտրեք ճեղք ABCD շերտի մեջ և դրա միջոցով մի ծայր փակեք: Կես շրջադարձը շրջելով, սոսինձը, ինչպես ցույց է տրված գործիչ. ԵՎ այժմ շարունակեք կտրումը ամբողջ ժապավենի երկայնքով:Ինչ արեցիր?

Արդյունքը մեկ Մոբիուսի ժապավեն է:

Փորձ 6.

Վերցրեք մի ժապավեն, որի երկարությունը մեկ անգամ թեքված է: Պտտեք այն ամբողջ շրջադարձով և կպցրեք ծայրերը, մի ծայրը մյուսի վրա դնելով «տան» հետ: Այժմ մենք կտրեցինք սոսնձված ժապավենի կրկնակի շերտը իր միջին գծի երկայնքով - մենք ստանում ենք երեք օղակ, զույգերով կապված:

Դուք կարող եք անվերջ շարունակել փորձերը Մոբիուսի շերտի հետ և արդյունքները տարբեր կլինեն ՝ կախված նրանից, թե կես հեղափոխությունների քանակը զույգ է կամ տարօրինակ, մեջտեղում կտրվածք կլինի կամ 1/3, կամ եզրից ¼ և այլն:

Մաթեմատիկայի խորհրդանիշ ( սլայդներ 7-8)

Իհարկե, Մոբիուսի շերտի հիմնական արժեքն այն է, որ այն խթան հաղորդեց նոր ծավալուն մաթեմատիկական հետազոտություններին: Այդ պատճառով այն հաճախ համարվում է ժամանակակից մաթեմատիկայի խորհրդանիշ և պատկերված է տարբեր խորհրդանիշների և կրծքանշանների վրա, ինչպիսիք են, օրինակ, Մոսկվայի համալսարանի մեխանիկա-մաթեմատիկական ֆակուլտետի կրծքանշանը:

Moebius- ի ժապավենը մաթեմատիկայի խորհրդանիշն է,
Ո՞րն է բարձրագույն իմաստության պսակը ...
Այն լի է անգիտակից սիրավեպով.
Դրանում անսահմանությունը պտտվում է օղակի մեջ:Այն պարունակում է պարզություն, և դրանով `բարդություն,
Ինչն անհասանելի է նույնիսկ իմաստունների համար.

Այստեղ մեր աչքի առաջ ինքնաթիռը փոխվել է
Մակերեսի մեջ ՝ առանց սկզբի և վերջի:Չկան սահմաններ, սահմաններ
Ձգտեք առաջ և բացահայտեք աշխարհներ
Գացեք նոր սենսացիաների ուժը
Ընդունեք բարձրագույն նվերի գիտելիքները:

Moebius շերտի կիրառումը գրականության մեջ: ( սլայդ 9)

Բայց միայն մաթեմատիկոսները չէին ոգեշնչում և շարունակում ոգեշնչել Moebius- ի ժապավենը:

Մաբիուսի տերևը անընդհատ հիշատակվում է Ուրալի գրող Վլադիսլավ Կրապիվինի «Մեծ բյուրեղի խորքում» շրջանը:

Մոբիուսի տերևի ռոմանտիկ նկարագրությունը կարելի է գտնել E. Uspensky- ի «Կարմիր ձեռքը, սև թերթիկը, կանաչ մատները» պատմվածքում,եւ շատ ավելիաշխատանքներ ԵՇատ բանաստեղծություններ նվիրված են դրան:

Moebius շերտի կիրառումը տեխնոլոգիայի մեջ: ( սլայդ 10)

Mobius շերտի առանցք `երկարատև ծառայության համար: Շարունակական ժապավենի ձայնագրման համակարգերում օգտագործվում էին նաև Մոբիուսի ժապավեններ (ձայնագրման ժամանակը կրկնապատկելու համար):

Կետի մատրիցով տպիչների մեջ թանաքի ժապավենը նման էր Mobius թերթի ՝ պահպանման ժամկետը մեծացնելու համար:

Հորինվել են մագնիտոֆոնի համար ձայներիզներ, երբ ժապավենը ոլորվում է և սոսնձվում օղակի մեջ, մինչդեռ հնարավոր է դառնում միանգամից երկու կողմերից տեղեկատվություն գրանցել կամ կարդալ, ինչը մեծացնում է ձայներիչի տարողությունը և, համապատասխանաբար, նվագելու ժամանակը:

1969 թվականին սովետական \u200b\u200bգյուտարար Գուբայդուլլինը առաջարկեց անվերջ հղկող գոտի ՝ Մոբիուսի թերթի տեսքով:

Moebius շերտի կիրառումը արվեստում: ( սլայդ 11)

Մոբիուսի տերևը ոգեշնչում է ծառայել քանդակագործության և գրաֆիկական արվեստի համար:

Մորիտ Կորնելիս Էշերը նկարիչներից մեկն էր, ով հատկապես սիրում էր նրան և իր մի քանի վիմագրությունները նվիրեց այս մաթեմատիկական օբյեկտին: Մոբիուսի ժապավենը մենք կարող ենք տեսնել «Ձիավորներ» (1946), «Մոբիուսի ժապավեն II (Կարմիր մրջյուններ)» (1963) աշխատություններում:

Լիզա Ռաե «Հիմարների նավը դեպի անվերջություն»:

Մեկ այլ հետաքրքիր վիմագիր կոչվում է «Նկարների պատկերասրահ», որում փոխվում են ինչպես տեղաբանությունը, այնպես էլ տարածության տրամաբանությունը: Մենք տեսնում ենք մի տղայի, որը նայում է ծովափնյա քաղաքը պատկերող նկարին, որի ափին կա խանութ, իսկ խանութում ՝ արվեստի պատկերասրահ, իսկ պատկերասրահում մի տղայի է նայում ծովափնյա քաղաքը պատկերող նկարին:

1967 թ.-ին, երբ Բրազիլիայում անցկացվեց Միջազգային մաթեմատիկական կոնգրեսը, դրա կազմակերպիչները թողարկեցին հուշադրամ: Այնտեղ ներկայացված էր Մոբիուսի ժապավենը:

Moebius շերտի կիրառումը քանդակագործության և ճարտարապետության մեջ: ( սլայդ 12)

Գրադարանային նախագիծ Kazakhազախստանում: Թանգարանի ոլորանները կազմում են Մոբիուսի ժապավենը, ուստի ներքին տարածությունն անցնում է արտաքին տարածություն և հետևում: Նմանապես, պատերը վերածվում են տանիքի, և տանիքը վերափոխվում է պատերի:

Modernամանակակից բուդդայական տաճար:

Թայվանի պուրակի շենք:

Կամուրջ նախագիծ Չինաստանում:

Քանդակներ Մոսկվայում, Ռիգայում, Մինսկում:

Moebius շերտի օգտագործումը առօրյա կյանքում: ( սլայդ 13)

Mobius ժապավենը ոգեշնչում է զարդեր արտադրողներին: Նրանց աշխատանքներից կարելի է գտնել օղակներ և կախազարդեր `Մոբիուսի շերտի տեսքով:

Կահույքագործները անտարբեր չմնացին նրա հանդեպ: Այս ուղղությամբ նրանց աշխատանքի օրինակներից է շեյզ-լոնգը, որը մոբիուսի շերտն է `սոսնձված բրիտանական կաղնուց:

Նույնիսկ կոշիկ արտադրողները դարձել են Mobius շերտի երկրպագուներ:

Դիզայներները նույնպես չէին ցանկանում հեռու մնալ: Նկարիչ և ճարտարապետ Ռոն Արադը օծանելիքի շշի Mobius շերտի դիզայնի ստեղծողն է:

Եզրակացություն

Մոբիուսի թերթը օգտագործվում է կյանքում և տարբեր արդյունաբերություններում:

Այն ոգեւորում է գրողներին և արվեստագետներին, ճարտարապետներին և քանդակագործներին, հանելուկներ տալիս և ոգեշնչում ստեղծագործական բնույթի մարդկանց:

Իմանալով Մոբիուսի տերեւի հատկությունները ՝ դուք կարող եք պատրաստել օգտակար և անհրաժեշտ իրեր:

Մոբիուսի տերևը հայտնի չէ բոլոր մարդկանց, բայց այն մաս է կազմում այն \u200b\u200bամենի, ինչ մեզ շրջապատում է առօրյա կյանքում:

Մոբիուսի ժապավենը պարզ, բայց զարմանալի բան է: Դա կարելի է անել մի քանի վայրկյանում, և այս երեւույթն ունի շատ անակնկալներ, օրինաչափություններ և հատկություններ: Գործնականում ավելի պարզ դարձնելու համար վերցրեք սովորական թուղթ, սոսինձ, կապեք դրա ծայրերը: Բայց հրամայական է, որ մի ծայրը գլխիվայր շրջվի մյուսի համեմատ կես շրջադարձով: Այսպիսով, հայտնի Moebius ժապավենը պատրաստ է:

Ստացված խորհրդավոր մակերեսի մասին կարող եք անվերջ խոսել: Հարցրեք ինքներդ ձեզ, թե քանի մակերես ունի թղթե մատանին: Երկու Բայց ոչ ոք: Սա շատ հեշտ է ստուգել: Վերցրեք զգայուն գրիչ կամ մատիտ և փորձեք նկարել ժապավենի մի կողմը ՝ առանց պատռելու կամ անցնելու մյուս կողմը: Տեղի է ունեցել? Ո՞ւր է չներկված կողմը: Վերջ ...

Tapeապավենի անունը տվել է դրա գյուտարարը ՝ Լայպցիգի համալսարանի պրոֆեսոր, օգոստոս Ֆերդինանդ Մոեբիուս: Նա իր երկար և բեղմնավոր կյանքը նվիրեց գիտական \u200b\u200bաշխատանքին (որը 78 տարի է), և մտքի հստակությունը պահեց մինչև իր հեռանալը: Իր 75 տարիների ընթացքում պրոֆեսորը նկարագրեց ակնհայտ երկաշերտ ունեցող միակողմանի մակերեսի եզակի հատկությունները: Այդ ժամանակից ի վեր, երկրաչափության, ֆիզիկայի և նույնիսկ հոգևորության լավագույն մտքերը շատ ու շատ են ուսումնասիրել այս օբյեկտը:

Դուք կարող եք ինքներդ մի քանի փորձ կատարել ՝ վերցնելով Մոբիուսի ժապավենը: Փորձեք կտրել այն երկայնքով ՝ նախապես գծելով գծապատկերը ամբողջ մակերևույթի վրա: Ի՞նչ եք կարծում, ի՞նչ կստացվի: Երկու փոքր մատանի՞: Կրկին սխալ ՝ մեկ! Նախորդից երկու անգամ, բայց արդեն երկու անգամ ոլորված: Այստեղ նա պարզապես կունենա երկու մակերես, և ոչ թե մեկ, ինչպես առաջին դեպքում: Այս գանգուրը կոչվում է աֆղանական ժապավեն, և այն լայնորեն հայտնի է նաև հետազոտողներին: Ի դեպ, հոգևորապես այս էֆեկտը կոչվում է երկակիության խորհրդանիշ և մեկնաբանվում է որպես մեկի պատրանքային ընկալում:

Եվ եթե նորից երկայնական գիծ քաշեք, բայց ոչ թե մեջտեղում, այլ ժապավենի լայնության մեկ երրորդով եզրին ավելի մոտ: Կտրեք ստացված մատանին, և դրանցից երկուսն արդեն կունենաք ձեր ձեռքում ՝ Մոբիուսի ժապավենը և Աֆղանստանի ժապավենը, և անհասկանալի ձևով դրանք կկապվեն միմյանց հետ:

Բայց սրանք բոլորը անակնկալներ չեն: Tapeապավենը օղակի մեջ սոսնձելիս փորձեք վերցնել ոչ թե մեկ, այլ երկու շերտ թուղթ: Եվ հետո երեք կամ նույնիսկ չորս: Ես երաշխավորում եմ. Արդյունքը ձեզ էլ ավելի կզարմացնի:

Հետաքրքիր փորձ կարող է կատարվել հիպոթետիկորեն: Վերցնելով Mobius- ի կրկնակի ժապավենը (այսինքն `երկու ժապավենից սոսնձված) և նրանց միջև մատը (մատիտ, փայտե փայտ), այն կարող ենք անվերջ վազել ժապավենների միջև, դրանով ապացուցելով, որ կազմվածքը բաղկացած է երկու առանձին մասերից: Հիմա պատկերացրեք, որ այս ժապավենների արանքում ճանճ է սողում: Դրա համար ստորին շերտը կլինի «հատակը», վերինը `« առաստաղը »և այլն ad infinitum:

Բայց իրականում ամեն ինչ ամենեւին էլ այնքան պարզ չէ, որքան թվում է: Ի վերջո, եթե ճանճի ճանապարհորդության սկզբի նշանը դնեք «հատակին», ապա երբ միջատը շրջան կատարի, հենց այդ նշանն էլ կլինի «առաստաղի վրա»: Եվ հատակին վերադառնալու համար հարկավոր է եւս մեկ շրջան կազմել:

Պատկերացրեք փողոցում սողացող ճանճը: Դրանից աջ տներ կան զույգ համարներով, իսկ ձախից, համապատասխանաբար, կենտ թվերի տակ: Քայլելիս ինչ-որ պահի մեր ճանապարհորդը զարմանքով կնկատի, որ կենտ թվերն արդեն աջից են, իսկ զույգ թվերը ՝ ձախում: Սարսափելի է պատկերացնել նման իրավիճակ մեր իրական ճանապարհների վրա `աջակողմյան երթևեկությամբ, քանի որ շուտով մենք ստիպված կլինենք դիմակայել« առերես »քայլող այլ մարդկանց: Ահա թե ինչպես է դա. Մոբիուսի ժապավենը ...

Այս և այլ օրենքների կիրառումը հայտնաբերվել է ոչ միայն հիպոթետիկ, այլև իրական կյանքում: Օրինակ ՝ ժապավենի հիման վրա ստեղծվում են ժապավեններ տպագրական սարքերում, ավտոմատ փոխանցումատուփ, հղկող օղակ ՝ սրման մեխանիզմներում և շատ ավելին, որոնց համար նույնիսկ չեք կասկածում: Իսկապես, Մոբիուսի ժապավենը հանելուկ է, որը կարելի է ուսումնասիրել անվերջ:

Պատկերացրեք դրա վրա նստած մակերեսն ու մրջյունը: Կկարողանա՞ մրջյունը սողալ դեպի մակերեսի հակառակ կողմը ՝ փոխաբերական իմաստով ասելով, դեպի դրա ներքևը ՝ առանց եզրից բարձրանալու: Իհարկե ոչ!

Միակողմանի մակերեսի առաջին օրինակը, որի ցանկացած վայրում մրջյունը կարող է սողալ առանց եզրից վեր բարձրանալու, Մոբիուսը տվել է 1858 թվականին:

M. Escher «Mobius Strip II» «Անցում» Մոբիուսի շերտի միջով մեկ այլ հարթություն

Օգոստոս Ֆերդինանդ Մոբիուսը (1790-1868) - մաթեմատիկոս Գաուսի «արքայի» աշակերտը: Մոբիուսն ի սկզբանե աստղագետ էր, ինչպես Գաուսը և շատ ուրիշներ, որոնց մաթեմատիկան պարտական \u200b\u200bէ իր զարգացմանը: Այդ օրերին մաթեմատիկայի ուսումնասիրությունը ոչ մի աջակցության չէր բախվում, և աստղագիտությունը բավական գումար տվեց նրանց մասին չմտածելու համար և ժամանակ թողեց սեփական արտացոլման համար: Եվ Մոբիուսը դարձավ 19-րդ դարի ամենամեծ երկրաչափերից մեկը:

Էշեր «Մոբիուսի տերև»

Եկեք պատրաստենք Մոբիուսի թերթ. Վերցրեք թղթի շերտի երկար նեղ ուղղանկյուն ABCD (հարմար չափսեր. Երկարությունը 30 սմ, լայնությունը 3 սմ): Շեղեք ժապավենի մի ծայրը 180º, դրանից օղակը կպցրեք (կետեր A և C, B և D): Մոդելը պատրաստ է:

Մոբիուսի շերտի մոդելը կարելի է հեշտությամբ ստեղծել թղթի շերտի միջոցով ՝ շերտի մի ծայրը կեսով պտտելով և միացնելով այն մյուս ծայրին ՝ փակ ձև ձևավորելու համար: Եթե \u200b\u200bսկսեք ժապավենի մակերեսին մատիտով գծ գիծ քաշել, գիծը խորը կմտնի գործչի մեջ և կանցնի գծի ելակետի տակ, կարծես թե գնում է ժապավենի «մյուս կողմը»: Եթե \u200b\u200bշարքը շարունակեք, այն կվերադառնա ելման կետ: Այս դեպքում գծված գծի երկարությունը կրկնակի կլինի թղթի շերտի երկարությունից: Այս օրինակը ցույց է տալիս, որ Մոբիուսի գոտին ունի միայն մեկ կողմ և մեկ սահման:

Էվկլիդյան տարածքում, ըստ էության, գոյություն ունեն Մոբիուսի շերտի երկու տեսակ ՝ ծալված կիսաշրջադարձը. Մեկը ՝ ժամացույցի սլաքի ուղղությամբ, մյուսը ՝ ժամացույցի սլաքի հակառակ ուղղությամբ:

Մոբիուսի ժապավենը ձեզ կզարմացնի, եթե փորձեք կտրել այն: Կտրեք թերթիկը կենտրոնի գծի երկայնքով: Ինչ արեցիր? Փոխանակ երկու մասի բաժանվելու, ժապավենը տարածվում է երկար, միացված, փակ շերտի մեջ: Կտրեք առաջին գծից հետո ձեռք բերված ժապավենը կենտրոնական գծի երկայնքով: Մկրատի վերջին ճզմումից առաջ փորձեք գուշակել, թե ինչ կլինի:

Մոբիուսի ժապավենը ստանալու համար մենք թղթի շերտը շրջեցինք 180 աստիճանով, կես շրջադարձ: Այժմ շրջեք ժապավենը 360º, ամբողջ շրջադարձով: Կպչեք, ապա կտրեք կենտրոնի գծի երկայնքով: Դժվար է կանխատեսել, թե ինչ արդյունք կտա:

Եվ հիմա եկեք փորձենք նման մոդել պատրաստել. Կտրեք ճեղք ABCD շերտի մեջ և դրա միջոցով մի ծայր փակեք: Կես շրջադարձը շրջելով, սոսինձը, ինչպես ցույց է տրված նկարում:

Այժմ շարունակեք կտրումը ամբողջ ժապավենի երկայնքով: Ինչ արեցիր?

Խորհրդավոր և հայտնի Moebius տերևը, որը հայտնվեց 1858 թվականին, ոգևորեց արվեստագետներին և քանդակագործներին: Moebius շերտի պատկերներով շատ գծանկարներ թողել է հոլանդացի հայտնի նկարիչ Մորիս Էշերը (տե՛ս հոդվածը):

Քանդակագործության մեջ կարելի է գտնել Moebius շերտի տարբերակների մի ամբողջ շարք:

Քարով վեպ: Moebius պարսատիկ: Ս. Կարպիկովի հուշարձանը Մոբիուսի շերտի Մոսկվայում: Ա. Նալիչ

Պարադոքս և կատարելություն: A. Etkalo Երկրաչափական քանդակներ ՝ Merit Rasmussen- ի

Մինսկ Յակուբ Կոլասի կենտրոնական գիտական \u200b\u200bգրադարանի հարակից հանրային պարտեզ:

Obiարտարապետական \u200b\u200bլուծումներ ՝ օգտագործելով Մոբիուսի շերտի գաղափարը.

Անհավանական նոր գրադարանային նախագիծ Աստանայում, Kazakhազախստան

Սեղանի կոմպոզիցիաներ.

Կա նույնիսկ կահույք `Մոբիուսի շերտի տեսքով

Մոբիուսի շերտի զարդեր.

Կա վարկած, որ մարդու ԴՆԹ պարույրն ինքնին նույնպես Մոբիուսի շերտի բեկոր է:

Վերամշակման միջազգային խորհրդանիշը Mobius Leaf- ն է.

Մոբիուսի տերևը նաև գիտական \u200b\u200bֆանտաստիկայի կրկնվող առանձնահատկությունն է:, օրինակ, Արթուր Քլարկի «Խավարի պատը» պատմվածքում: Երբեմն գիտական \u200b\u200bֆանտաստիկայի պատմությունները (հետևելով տեսական ֆիզիկոսներին) ենթադրում են, որ մեր տիեզերքը կարող է լինել ինչ-որ ընդհանրացված Մոբիուսի ժապավեն: Բացի այդ, Մոբիուսի մատանին անընդհատ հիշատակվում է Ուրալի գրող Վլադիսլավ Կրապիվինի աշխատություններում ՝ «Մեծ բյուրեղի խորքերում» ցիկլը (օրինակ ՝ «Ֆորպոստ խարիսխի բևեռի վրա. Հեքիաթ»): Հեղինակ A. J. Deutsch- ի «Մոբիուսի տերևը» պատմվածքում Բոստոնի մետրոն կառուցում է նոր գիծ, \u200b\u200bորի երթուղին այնքան խառնաշփոթ է դառնում, որ վերածվում է Մոբիուսի շերտի, որից հետո գնացքները սկսում են անհետանալ այդ գծում: Պատմության հիման վրա նկարահանվեց «Մոբիուս» ֆանտաստիկ ֆիլմը, որի ռեժիսորը Գուստավո Մոսկերան էր: Նաև Մոբիուսի շերտի գաղափարը օգտագործվում է Մ. Քլիֆթոնի «Մոբիուսի շերտի վրա» պատմվածքում: Contemporaryամանակակից ռուս գրող Ալեքսեյ Ա. Շեպելևի «Պետերբուրգ. Ամֆորա», 2003 թ. «Արձագանք» վեպի հոսքը համեմատվում է Մոբիուսի շերտի հետ: Մեկնաբանությունից մինչև գիրք. «« Էխո »-ն Մոբիուսի մատանու գրական անալոգիան է. Երկու պատմվածքներ` «տղաներ» և «աղջիկներ», միահյուսվում են միմյանց մեջ, բայց չեն հատվում »:

Օգոստոս Ֆերդինանդ Մոբիուս (1790-1868)

Միակողմանի մակերեսի առաջին օրինակը, որի ցանկացած վայրում մրջյունը կարող է սողալ `առանց եզրից բարձրանալու, Մոբիուսը տվել է 1858 թվականին:

Մոբիուսի ժապավենը, որը կոչվում է նաև օղակ, մակերես կամ թերթ, ուսումնասիրության առարկա է այնպիսի մաթեմատիկական առարկայում, ինչպիսին է տոպոլոգիան, որն ուսումնասիրում է այնպիսի գործիչների ընդհանուր հատկությունները, որոնք պահպանվում են այնպիսի շարունակական փոխակերպումների ներքո, ինչպիսիք են ոլորումը, ձգումը, սեղմումը, կռացումը և մյուսները, որոնք կապված չեն ամբողջականության խախտման հետ: ... Նման ժապավենի զարմանալի և եզակի առանձնահատկությունն այն է, որ այն ունի միայն մեկ կողմ և եզր և ոչ մի կապ չունի տարածության մեջ գտնվելու վայրի հետ: Մոբիուսի ժապավենը տեղաբանական է, այսինքն ՝ շարունակական առարկա ամենապարզ միակողմանի մակերևույթով, սովորական էվկլիդյան տարածության սահմանով (եռաչափ), որտեղ հնարավոր է այդպիսի մակերեսի մի կետից, առանց ծայրը հատելու, հասնել ցանկացած այլի:

68 տարեկան հասակում Մոբիուսին հաջողվեց զարմանալի գեղեցկության հայտնագործություն կատարել: Սա միակողմանի մակերեսների հայտնաբերումն է, որոնցից մեկը Մոբիուսի ժապավենն է (կամ ժապավենը): Մոբիուսը ժապավենով մոտեցավ, երբ նայեց սպասուհուն, որը իր վզին սխալ էր հագնում իր շարֆը:
Էվկլիդյան տարածքում, ըստ էության, գոյություն ունեն Մոբիուսի շերտի երկու տեսակ, որոնք բխում են կես շրջադարձով. Մեկը բացվում է ժամացույցի սլաքի ուղղությամբ, մյուսը ՝ ժամացույցի սլաքի հակառակ ուղղությամբ:

Մոբիուսի շերտն ունի հետևյալ հատկությունները, որոնք չեն փոխվում, երբ այն սեղմվում է, կտրվում կամ ծալվում է.

1. Մի կողմի ներկայություն: Ա. Մոբիուսը իր «Պոլիեդրայի ծավալի մասին» աշխատության մեջ նկարագրել է իր անունով երկրաչափական մակերեսը, որն ունի միայն մեկ կողմ: Սա ստուգելը բավականին պարզ է. Մենք վերցնում ենք ժապավեն կամ Moebius ժապավեն և փորձում ենք ներկել ներսի կողմը մեկ գույնով, իսկ արտաքինը `մեկ այլ գույնով: Կարևոր չէ, թե որ վայրում և ուղղությամբ է սկսվել նկարելը, ամբողջ կազմվածքը նույն գույնով է նկարվելու:
2. Շարունակությունն արտահայտվում է նրանում, որ այս երկրաչափական ուրվագծի ցանկացած կետ կարող է միացվել դրա ցանկացած այլ կետի ՝ առանց հատելու Մոբիուսի մակերեսի սահմանները:
3. Կապակցվածությունը կամ երկչափությունը նշանակում է, որ ժապավենը երկայնքով կտրելիս մի քանի տարբեր ձևեր դրանից դուրս չեն գա, և այն մնում է անբաժանելի:

4. Այն չունի այնպիսի կարևոր հատկություն, ինչպիսին կողմնորոշումն է: Սա նշանակում է, որ այս գործչի երկայնքով քայլող մարդը կվերադառնա իր ճանապարհի սկզբին, բայց միայն իր հայելային պատկերով: Այսպիսով, Moebius- ի անվերջ ժապավենը կարող է հանգեցնել հավերժ ճանապարհորդության:
5. Հատուկ քրոմատիկ համար, որը ցույց է տալիս Մոբիուսի մակերևույթի հնարավոր շրջանների առավելագույն քանակը, կարող եք ստեղծել այնպես, որ դրանցից որևէ մեկը մյուսի հետ ունենա ընդհանուր սահման: Մոբիուսի շերտն ունի քրոմատիկ համար ՝ 6, բայց թղթե օղակ ՝ 5:

Այսօր Մոբիուսի ժապավենը և դրա հատկությունները լայնորեն օգտագործվում են գիտության մեջ ՝ հիմք հանդիսանալով նոր վարկածներ և տեսություններ կառուցելու, հետազոտություններ և փորձեր կատարելու, նոր մեխանիզմներ և սարքեր ստեղծելու համար: Այսպիսով, կա վարկած, համաձայն որի ՝ Տիեզերքը հսկայական Մոբիուսի օղակ է: Դրա մասին անուղղակիորեն վկայում է Էյնշտեյնի հարաբերականության տեսությունը, ըստ որի ՝ նույնիսկ ուղիղ թռչող նավը կարող է վերադառնալ իր նույն ժամանակի և տարածության այն կետը, որտեղից սկսվել է:

Մեկ այլ տեսություն ԴՆԹ-ն դիտում է որպես Մոբիուսի մակերեսի մաս, որը բացատրում է գենետիկ ծածկագիրը կարդալու և վերծանելու դժվարությունը: Ի թիվս այլ բաների, նման կառույցը տրամաբանական բացատրություն է տալիս կենսաբանական մահվան համար. Իր վրա փակված պարույրը հանգեցնում է օբյեկտի ինքնաոչնչացմանը: Ֆիզիկոսների կարծիքով, շատ օպտիկական օրենքներ հիմնված են Մոեբիուսի շերտի հատկությունների վրա: Այսպիսով, օրինակ, հայելային պատկերը ժամանակի հատուկ փոխանցում է, և մարդ իր առջև տեսնում է կրկնակի իր հայելին:

Եթե \u200b\u200bդուք հետաքրքրված եք Mobius ժապավենով, մի փոքրիկ հրահանգ կպատմի ձեզ, թե ինչպես պատրաստել դրա մոդելը:
1. Նրա մոդելը պատրաստելու համար ձեզ հարկավոր են. - հասարակ թղթի թերթիկ;
- մկրատ;
- քանոն:
2. Թղթի թերթից կտրեք մի շերտ, որպեսզի դրա լայնությունը 5-6 անգամ պակաս լինի, քան դրա երկարությունը:
3. Արդյունքում թղթի շերտը դրվում է հարթ մակերեսի վրա: Մենք մի ծայրը ձեռքով պահում ենք, իսկ մյուսը 180 * -ով շրջում այնպես, որ ժապավենը ոլորվի, իսկ սխալ կողմը դառնա առջևի կողմ:
4. Կպչեք ոլորված շերտի ծայրերը, ինչպես ցույց է տրված նկարում:

Մոբիուսի ժապավենը պատրաստ է:
5. Վերցրեք գրիչ կամ մարկեր և սկսեք ժապավենի մեջտեղում գծիկ նկարել: Եթե \u200b\u200bամեն ինչ ճիշտ եք արել, ապա կվերադառնաք նույն կետին, որտեղից սկսեցիք գծել:

Որպեսզի տեսողական հաստատում ստանաք, որ Մոբիուսի ժապավենը միակողմանի առարկա է, փորձեք մատիտով կամ գրիչով նկարել դրա մի կողմը: Որոշ ժամանակ անց կտեսնեք, որ դրա վրա ամբողջովին նկարել եք:

Մոբիուսի տերևը ոգեշնչում է ծառայել քանդակագործության և գրաֆիկական արվեստի համար: Էշերը նկարիչներից մեկն էր, ով հատկապես սիրում էր նրան և իր մի քանի վիմագրություններ նվիրեց այս մաթեմատիկական օբյեկտին: Հայտնիներից մեկը `« Mobius Leaf II », ցույց է տալիս մրջյուններ, որոնք սողում են Mobius շերտի մակերեսով:

Մոբիուսի տերևը «Կվանտ գրադարան» շարքի գիտահանրամատչելի գրքերի շարք է: Այն պարբերաբար հայտնվում է նաև գիտական \u200b\u200bֆանտաստիկայում, ինչպես, օրինակ, Արթուր Քլարքի «Խավարի պատը» պատմվածքում: Երբեմն գիտական \u200b\u200bֆանտաստիկայի պատմությունները (հետևելով տեսական ֆիզիկոսներին) ենթադրում են, որ մեր տիեզերքը կարող է լինել ինչ-որ ընդհանրացված Մոբիուսի ժապավեն: Բացի այդ, Մոբիուսի մատանին անընդհատ հիշատակվում է Ուրալի գրող Վլադիսլավ Կրապիվինի աշխատություններում ՝ «Մեծ բյուրեղի խորքերում» ցիկլը (օրինակ ՝ «Ֆորպոստ խարիսխի բևեռի վրա. Հեքիաթ»): Հեղինակ A. J. Deutsch- ի «Մոբիուսի տերևը» պատմվածքում Բոստոնի մետրոն կառուցում է նոր գիծ, \u200b\u200bորի երթուղին այնքան խառնաշփոթ է դառնում, որ վերածվում է Մոբիուսի շերտի, որից հետո գնացքները սկսում են անհետանալ այդ գծում: Պատմության հիման վրա նկարահանվեց «Մոբիուս» ֆանտաստիկ ֆիլմը, որի ռեժիսորը Գուստավո Մոսկերան էր: Նաև Մոբիուսի շերտի գաղափարը օգտագործվում է Մ. Քլիֆթոնի «Մոբիուսի շերտի վրա» պատմվածքում:

Մոբիուսի ժապավենը որպես տարածության և ժամանակի մեջ տեղաշարժվելու միջոց է օգտագործում Հարի Քիֆը ՝ Բրայան Լումլիի «Նեկրոսկոպը» վեպի գլխավոր հերոսը:

Մոբիուսի ժապավենը կարևոր դեր է խաղում Ռ. Laելազնիի «Դռներ ավազի մեջ» ֆանտաստիկ վեպում:

Է. Նաումովի «Կես կյանք» (1989) գրքում հարբեցող մտավորականը շրջում է երկրով մեկ ՝ բարձրանալով Մոբիուսի շերտի վրա:

Modernամանակակից ռուս գրող Ալեքսեյ Շեպելևի «Արձագանք» վեպի հոսքը համեմատվում է Մոբիուսի շերտի հետ: Մեկնաբանությունից մինչև գիրք. «« Էխո »-ն Մոբիուսի օղակի գրական անալոգիան է. Երկու պատմվածքներ` «տղաներ» և «աղջիկներ», միահյուսվում են միմյանց, բայց չեն հատվում:

Մոբիուսի ժապավենը հանդիպում է նաև Հարուկի Մուրակամիի «Օբլադա Օբլադա» էսսեում `« Ռադիո Մուրակամի »ժողովածուից, որը լույս է տեսել 2010 թ., Որտեղ Մոբիուսի ժապավենը պատկերավոր համեմատվում է անսահմանության հետ:

CHARON «Մակոտո Մոբիուս» տեսողական վեպում գլխավոր հերոս Վատարոն փորձում է փրկել դասընկերոջը մահից ՝ օգտագործելով կախարդական արտեֆակտ ՝ Մոբիուսի ժապավենը:

1987 թվականին սովետական \u200b\u200bջազ դաշնակահար Լեոնիդ Չիժիկը ձայնագրեց «Mobius Tape» ալբոմը, որն ընդգրկում էր համանուն ստեղծագործությունը:

«Ֆուտուրամա» անիմացիոն սերիալի դրվագներից մեկում (7-րդ սերիա, սերիա 14, 11 րոպե) մրցարշավը Մոբիուսի շերտն է:

Գոյություն ունեն Möbius շերտի տեխնիկական կիրառություններ: Möbius գոտու փոխակրիչ գոտին կտեւի ավելի երկար, քանի որ գոտու ամբողջ մակերեսը հավասարապես մաշվում է: Շարունակական ժապավենի ձայնագրման համակարգերում օգտագործվում են նաև Mobius ժապավեններ (ձայնագրման ժամանակը կրկնապատկելու համար): Բազմաթիվ կետային մատրիցային տպիչներում թանաքի ժապավենը նաև Mobius շերտի տեսքով է ՝ իր ռեսուրսն ավելացնելու համար:

CEMI RAS ինստիտուտի մուտքի վերևում կա ճարտարապետ Լեոնիդ Պավլովի խճանկարով բարձր ռելիեֆ «Մոբիուսի ժապավենը» `նկարիչներ E. A. Zharenova- ի և V. K. Vasiltsov- ի հետ համագործակցությամբ (1976)

Obiարտարապետական \u200b\u200bլուծումներ ՝ օգտագործելով Մոբիուսի շերտի գաղափարը.

Մոբիուսի շերտի զարդեր.

Գոյություն ունեն Մոբիուսի շերտի տեխնիկական կիրառություններ: Գոտի փոխակրիչի գոտին պատրաստվում է Մոբիուսի գոտու տեսքով, ինչը թույլ է տալիս նրան ավելի երկար աշխատել, քանի որ գոտու ամբողջ մակերեսը հավասարապես մաշվում է: Շարունակական ժապավենի ձայնագրման համակարգերում օգտագործվում են նաև Mobius ժապավեններ (ձայնագրման ժամանակը կրկնապատկելու համար): Բազմաթիվ կետային մատրիցային տպիչներում ժապավենը նաև Mobius- ի ժապավենն է `իր ռեսուրսն ավելացնելու համար:

Mobius ռեզիստոր կոչվող սարքը վերջերս հորինված էլեկտրոնային տարր է, որը չունի իր սեփական ինդուկտիվությունը: Mobius ժապավենները օգտագործվում են նաև շարունակական ժապավենային ձայնագրման համակարգերում (ձայնագրման ժամանակը կրկնապատկելու համար), կետային մատրիցային տպիչներում թանաքի ժապավենը նույնպես նման էր Mobius թերթի ՝ պահպանման ժամկետը մեծացնելու համար: