Определение 4.1.1. Кольцо (K , +, ) – это алгебраическая система с непустым множеством K и двумя бинарными алгебраическими операциями на нем, которые будем называть сложением и умножением . Кольцо является абелевой аддитивной группой, а умножение и сложение связаны законами дистрибутивности: (a + b ) c = a c + b c и с (a + b ) = c a + c b для произвольных a , b , c K .
Пример 4.1.1. Приведем примеры колец.
1. (Z , +, ), (Q , +, ), (R , +, ), (C , +, ) – соответственно кольца целых, рациональных, вещественных и комплексных чисел с обычными операциями сложения и умножения. Данные кольца называются числовыми .
2. (Z / n Z , +, ) – кольцо классов вычетов по модулю n N с операциями сложения и умножения.
3. Множество M n (K ) всех квадратных матриц фиксированного порядка n N с коэффициентами из кольца (K , +, ) с операциями матричного сложения и умножения. В частности, K может быть равно Z , Q , R , C или Z /n Z приn N .
4. Множество всех вещественных функций, определенных на фиксированном интервале (a ; b ) вещественной числовой оси, с обычными операциями сложения и умножения функций.
5. Множество полиномов (многочленов) K [x ] с коэффициентами из кольца (K , +, ) от одной переменной x с естественными операциями сложения и умножения полиномов. В частности, кольца полиномов Z [x ], Q [x ], R [x ], C [x ], Z /n Z [x ] приn N .
6. Кольцо векторов (V 3 (R ), +, ) c операциями сложения и векторного умножения.
7. Кольцо ({0}, +, ) с операциями сложения и умножения: 0 + 0 = 0, 0 0 = = 0.
Определение 4.1.2. Различают конечные и бесконечные кольца (по числу элементов множества K ), но основная классификация ведется по свойствам умножения. Различают ассоциативные кольца, когда операция умножения ассоциативна (пункты 1–5, 7 примера 4.1.1) и неассоциативные кольца (пункт 6 примера 4.1.1: здесь , ). Ассоциативные кольца делятся на кольца с единицей (есть нейтральный элемент относительно умножения) и без единицы , коммутативные (операция умножения коммутативна) и некоммутативные .
Теорема 4.1.1. Пусть (K , +, ) – ассоциативное кольцо с единицей. Тогда множество K * обратимых относительно умножения элементов кольца K – мультипликативная группа.
Проверим выполнение определения группы 3.2.1. Пусть a , b K * . Покажем, что a b K * . (a b ) –1 = b –1 а –1 K . Действительно,
(a b ) (b –1 а –1) = a (b b –1) а –1 = a 1 а –1 = 1,
(b –1 а –1) (a b ) = b –1 (а –1 a ) b = b –1 1 b = 1,
где а –1 , b –1 K – обратные элементы к a и b соответственно.
1) Умножение в K * ассоциативно, так как K – ассоциативное кольцо.
2) 1 –1 = 1: 1 1 = 1 1 K * , 1 – нейтральный элемент относительно умножения в K * .
3) Для
a
K
* ,
а
–1 K
* ,
так как (а
–1) a
=
a
(а
–1) =
1
(а
–1) –1
=
a
.
Определение 4.1.3. Множество K * обратимых относительно умножения элементов кольца (K , +, ) называют мультипликативной группой кольца .
Пример 4.1.2. Приведем примеры мультипликативных групп различных колец.
1. Z * = {1, –1}.
2. M n (Q ) * = GL n (Q ), M n (R ) * = GL n (R ), M n (C ) * = GL n (C ).
3. Z /n Z * – множество обратимых классов вычетов, Z /n Z * = { | (k , n ) = 1, 0 k < n }, при n > 1 | Z /n Z * | = (n ), где – функция Эйлера.
4. {0} * = {0}, так как в данном случае 1 = 0.
Определение 4.1.4. Если в ассоциативном кольце (K , +, ) с единицей группа K * = K \{0}, где 0 – нейтральный элемент относительно сложения, то такое кольцо называют телом или алгеброй с делением . Коммутативное тело называется полем .
Из данного определения очевидно, что в теле K * и 1 K * , значит, 1 0, поэтому минимальное тело, являющееся полем, состоит из двух элементов: 0 и 1.
Пример 4.1.3.
1. (Q , +, ), (R , +, ), (C , +, ) – соответственно числовые поля рациональных, вещественных и комплексных чисел.
2. (Z /p Z , +, ) – конечное поле из p элементов, если p – простое число. Например, (Z /2Z , +, ) – минимальное поле из двух элементов.
3.
Некоммутативным
телом является тело кватернионов –
совокупность кватернионов, то есть
выражений вида h
=
a
+ bi
+ cj
+ dk
,
где a
,
b
,
c
,
d
R
,
i
2 =
= j
2 = k
2 = –1,
i
j
= k
= – j
i
,
j
k
= i
= – k
j
,
i
k
= – j
= – k
i
,
с операциями сложения и умножения.
Кватернионы складываются и перемножаются
почленно с учетом указанных выше формул.
Для всякого h
0
обратный кватернион имеет вид:
.
Различают кольца с делителями нуля и кольца без делителей нуля.
Определение 4.1.5. Если в кольце найдутся ненулевые элементы a и b такие, что a b = 0, то их называют делителями нуля , а само кольцо – кольцом с делителями нуля . В противном случае кольцо называется кольцом без делителей нуля .
Пример 4.1.4.
1. Кольца (Z , +, ), (Q , +, ), (R , +, ), (C , +, ) – кольца без делителей нуля.
2.
В
кольце (V
3 (R
), +, )
каждый отличный от нуля элемент является
делителем нуля, поскольку
для всех
V
3 (R
).
3.
В
кольце матриц M
3 (Z
)
примерами делителей нуля являются
матрицы
и
,
так как A
B
=
O
(нулевая матрица).
4. В кольце (Z / n Z , +, ) с составным n = k m , где 1 < k , m < n , классы вычетов и являются делителями нуля, так как .
Ниже приведем основные свойства колец и полей.
Аннотация: В данной лекции рассматриваются понятия колец. Приведены основные определения и свойства элементов кольца, рассмотрены ассоциативные кольца. Рассмотрен ряд характерных задач, доказаны основные теоремы, а также приведены задачи для самостоятельного рассмотрения
Кольца
Множество R с двумя бинарными операциями (сложением + и умножением ) называется ассоциативным кольцом с единицей , если:
Если операция умножения коммутативна, то кольцо называется коммутативным кольцом. Коммутативные кольца являются одним из главных объектов изучения в коммутативной алгебре и алгебраической геометрии.
Замечания 1.10.1 .
Примеры 1.10.2 (примеры ассоциативных колец) .
Мы уже убедились, что группа вычетов (Z n ,+)={C 0 ,C 1 ,...,C n-1 }, C k =k+nZ , по модулю n с операцией сложения , является коммутативной группой (см. пример 1.9.4, 2)).
Определим операцию умножения, полагая . Проверим корректность этой операции . Если C k =C k" , C l =C l" , то k"=k+nu , l"=l+nv , , и поэтому C k"l" =C kl .
Так как (C k C l)C m =C (kl)m =C k(lm) =C k (C l C m), C k C l =C kl =C lk =C l C k , C 1 C k =C k =C k C 1 , (C k +C l)C m =C (k+l)m =C km+lm =C k C m +C l C m , то является ассоциативным коммутативным кольцом с единицей C 1 кольцом вычетов по модулю n ).
Свойства колец (R,+,.)
Лемма 1.10.3 (бином Ньютона) . Пусть R - кольцо с 1 , , . Тогда:
Доказательство.
Определение 1.10.4 . Подмножество S кольца R называется подкольцом , если:
а) S - подгруппа относительно сложения в группе (R,+) ;
б)для имеем ;
в)для кольца R с 1 предполагается, что .
Примеры 1.10.5 (примеры подколец) .
Задача 1.10.6 . Описать все подкольца в кольце вычетов Z n по модулю n .
Замечание 1.10.7 . В кольце Z 10 элементы, кратные 5 , образуют кольцо с 1 , не являющееся подкольцом в Z 10 (у этих колец различные единичные элементы).
Определение 1.10.8 . Если R - кольцо, и , , ab=0 , то элемент a называется левым делителем нуля в R , элемент b называется правым делителем нуля в R .
Замечание 1.10.9 . В коммутативных кольцах, естественно, нет различий между левыми и правыми делителями нуля.
Пример 1.10.10 . В Z , Q , R нет делителей нуля.
Пример 1.10.11 . Кольцо непрерывных функций C имеет делители нуля. Действительно, если
то , , fg=0 .
Пример 1.10.12
. Если n=kl
, 1 Лемма 1.10.13
. Если в кольце R
нет (левых) делителей нуля, то из ab=ac
, где , , следует, что b=c
(т. е. возможность сокращать на ненулевой элемент слева, если нет левых делителей нуля; и справа, если нет правых делителей нуля). Доказательство. Если ab=ac
, то a(b-c)=0
. Так как a
не является левым делителем нуля, то b-c=0
, т. е. b=c
. Определение 1.10.14
. Элемент называется нильпотентным
, если x n =0
для некоторого . Наименьшее такое натуральное число n
называется степенью нильпотентности элемента
. Ясно, что нильпотентный элемент является делителем нуля (если n>1
, то , ). Обратное утверждение неверно (в Z 6
нет нильпотентных элементов, однако 2
, 3
, 4
- ненулевые делители нуля). Упражнение 1.10.15
. Кольцо Z n
содержит нильпотентные элементы тогда и только тогда, когда n
делится на m 2
, где , . Определение 1.10.16
. Элемент x
кольца R
называется идемпотентом
, если x 2 =x
. Ясно, что 0 2 =0
, 1 2 =1
. Если x 2 =x
и , , то x(x-1)=x 2 -x=0
, и поэтому нетривиальные идемпотенты
являются делителями нуля. Через U(R)
обозначим множество обратимых элементов ассоциативного кольца R
, т. е. тех , для которых существует обратный элемент s=r -1
(т. е. rr -1 =1=r -1 r
). В различных разделах математики, а также в применении математики в технике, часто встречается ситуация, когда алгебраические операции производятся не над числами, а над объектами иной природы. Например сложение матриц, умножение матриц, сложение векторов, операции над многочленами, операции над линейными преобразованиями и т.д. Определение 1.
Кольцом
называется множество математических объектов, в котором определены два действия − "сложение" и "умножение", которые сопоставляют упорядоченным парам элементов их "сумму" и "произведение", являющиеся элементами того же множества. Данные действия удовлетворяют следующим требованиям: 1. a+b=b+a
(коммутативность сложения). 2. (a+b)+c=a+(b+c)
(ассоциативность сложения). 3. Существует нулевой элемент 0 такой, что a
+0=a
, при любом a
. 4. Для любого a
существует противоположный элемент −a
такой, что a
+(−a
)=0. 5. (a+b)c=ac+bc
(левая дистрибутивность). 5". c(a+b)=ca+cb
(правая дистрибутивность). Требования 2, 3, 4 означают, что множество математических объектов образует группу , а вместе с пунктом 1 мы имеем дело с коммутативной (абелевой) группой относительно сложения. Как видно из определения, в общем определении кольца на умножения не накладывается никаких ограничений, кроме дистрибутивности со сложением. Однако при различных ситуациях возникает необходимость рассматривать кольца с дополнительными требованиями. 6. (ab)c=a(bc)
(ассоциативность умножения). 7. ab=ba
(коммутативность умножения). 8. Существование единичного элемента 1, т.е. такого a
·1=1·a=a
, для любого элемента a
. 9. Для любого элемента элемента a
существует обратный элемент a
−1 такой, что aa
−1 =a
−1 a=
1. В различных кольцах 6, 7, 8, 9 могут выполняться как отдельно так и в различных комбинациях. Кольцо называется ассоциативным, если выполняется условие 6, коммутативным, если выполнено условие 7, коммутативным и ассоциативным если выполнены условия 6 и 7. Кольцо называется кольцом с единицей, если выполнено условие 8. Примеры колец: 1. Множество квадратных матриц. Действительно. Выполнение пунктов 1-5, 5" очевидна. Нулевым элементом является нулевая матрица. Кроме этого выполняется пункт 6 (ассоциативность умножения), пункт 8 (единичным элементом является единичная матрица). Пункты 7 и 9 не выполняются т.к. в общем случае умножение квадратных матриц некоммутативна, а также не всегда существует обратное к квадратной матрице. 2. Множество всех комплексных чисел. 3. Множество всех действительных чисел. 4. Множество всех рациональных чисел. 5. Множество всех целых чисел. Определение 2.
Всякая система чисел, содержащая сумму, разность и произведение любых двух своих чисел, называется числовым кольцом
. Примеры 2-5 являются числовыми кольцами. Числовыми кольцами являются также все четные числа, а также все целые числа делящихся без остатка на некоторое натуральное число n. Отметим, что множество нечетных чисел не является кольцом т.к. сумма двух нечетных чисел является четным числом. Fsb4000
писал(а): 2. а)делимая абелева группа не имеет максимальных подгрупп Думаю, хватит уже полных решений, да? Модераторы ведь зароют за то, что я Вам уже две задачи полностью расписал!!! Посему, чтобы их не злить, ограничимся идеями. Ниже мы везде считаем, что натуральный ряд начинается с единицы. Предположите, что --- делимая группа и --- максимальная подгруппа в . Рассмотрите Докажите, что --- подгруппа в , содержащая . В силу максимальности возможны только два случая: или . Рассмотрите каждый из случаев по отдельности и придите к противоречию. В случае возьмите и докажите, что есть собственная подгруппа в , содержащая и не равная . В случае зафиксируйте и , такие что и покажите, что является собственной подгруппой в , содержащей и не совпадающей с . Добавлено спустя 10 минут 17 секунд:
Fsb4000
писал(а): б) привести примеры делимых абелевых групп,могут ли они быть конечными? Самый простой пример --- это . Ну или , --- что Вам больше нравится. Насчёт конечности... конечно же делимая группа не может быть конечной (за исключением тривиального случая, когда группа состоит из одного нуля). Предположите, что --- конечная группа. Докажите, что для некоторого и всех . Потом возьмите такое и узрите, что уравнение неразрешимо при ненулевом . Добавлено спустя 9 минут 56 секунд:
Fsb4000
писал(а): 4. Построить пример коммутативного и ассоциативного кольца R ()(), в котором нет максимальных идеалов. Возьмите абелеву группу . Покажите, что она делимая. Умножение задайте следующим образом: Покажите, что для выполняется всё, что надо. Упс!.. А ведь ошибся я тут, похоже. Максимальный идеал есть, он равен . Н-да, надо ещё подумать... Но не буду я сейчас ничего думать, а поеду лучше на работу, в универ. Надо же Вам хоть что-то для самостоятельного решения оставить! Добавлено спустя 10 минут 29 секунд:
Fsb4000
писал(а): 1.Доказать что произвольное кольцо с единицей содержит максимальный идеал. по решению: 1. По лемме Цорна выберем минимальный положительный элемент, он и будет порождающим идеал. Ну... не знаю, что Вы там за минимальный положительный элемент такой придумали. По моему, это полная чушь. Какой Вы там в произвольном кольце "положительный элемент" найдёте, если в этом кольце порядок не задан и непонятно, что там "положительное", а что "отрицательное"... Но насчёт того, что надо применять лемму Цорна --- это правильная идея. Только применять её надо к множеству собственных идеалов кольца. Берёте это множество, упорядочиваете его обычным отношением включения и показываете, что данное упорядочивание индуктивно. Потом, по лемме Цорна, заключаете, что в этом множестве есть максимальный элемент. Этот максимальный элемент и будет максимальным идеалом! Когда будете показывать индуктивность, то в качестве верхней грани для цепи собственных идеалов берите их объединение. Оно тоже будет идеалом, а собственным оно окажется потому, что единица в него не войдёт. И вот, кстати, в кольце без единицы доказательство через лемму Цорна не проходит, а всё дело именно в этом моменте Добавлено спустя 34 минуты 54 секунды:
Alexiii
писал(а): Любое кольцо по определению имеет единицу,так что немыслимо писать "кольцо с единицей". Любое кольцо само по себе идеал кольца и притом,очевидно,максимальный... Нас учили, что наличие единицы в определение кольца не входит. Так что произвольное кольцо не обязано содержать единицу, а если она в нём всё-таки есть, то сказать про такое кольцо, что оно является "кольцом с единицей", более чем уместно! Думаю, что порывшись в библиотеке, я найду кучу весьма солидных учебников по алгебре, которые подтверждают мою точку зрения. И в матэнциклопедии написано, что кольцо не обязано единицу иметь. Так что всё в условии задачи у автора темы правильно, нечего на него гнать! Максимальным идеалом кольца, по определению
, называется идеал, максимальный по включению среди собственных идеалов
. Об этом не то что во многих, а просто во всех
учебниках по алгебре написано, в которых теория колец присутствует. Так что насчёт максимальности у Вас ещё один гон совершенно не по теме! Добавлено спустя 6 минут 5 секунд:
Alexiii
писал(а): Вообще,как я понял из ваших комментов, "кольца с единицией" пишут только для того,чтобы исключить одноэлементный случай. Совершенно неправильно поняли! "Кольца с единицей" пишут для того, чтобы обозначить наличие единицы в кольце А колец без единицы полно. К примеру, множество чётных целых чисел с обычными сложением и умножением образуют такое кольцо. Непустое множество К,
на котором заданы две бинарные операции-сложение (+) и умножение ( ), удовлетворяющие условиям: 1) относительно операции сложения К
- коммутативнаятруппа; 2) относительно операции умножения К
- полугруппа; 3) операции сложения и умножения связаны законом дистрибутивности, т. е. (a+b)с=ас+bс, с(a+b) =ca+cb
для всех а, b, c K
, называется кольцом (К,+,
). Структура (К,
+) называется аддитивной группой
кольца. Если операция умножения коммутативна, т. е. ab=ba.
для всех а
, b
, то кольцо называется коммутативным.
Если относительно операции умножения существует единичный элемент, который в кольце принято обозначать единицей 1,. то говорят, что К
есть кольцо с единицей.
Подмножество L кольца называется подкольцом,
если L
- подгруппа аддитивной группы кольца и L
замкнуто относительно операции умножения, т. е. для всех a, b
L выполняется а+b L
и ab L.
Пересечение подколец будет подкольцом. Тогда, как и в случае групп, подкольцом, порожденным
множеством S K,
называется пересечение всех подколец К,
содержащих S. 1. Множество целых чисел относительно операций умножения и сложения (Z, +, )-коммутативное кольцо. Множества nZ
целых чисел, делящихся на п,
будет подкольцом без единицы при п>1.
Аналогично множество рациональных и действительных чисел - коммутативные кольца с единицей. 2. Множество квадратных матриц порядка п
относительно-операций сложения и умножения матриц есть кольцо с единицей Е
- единичной матрицей. При п>1
оно некоммутативное. 3. Пусть K-произвольное коммутативное кольцо. Рассмотрим всевозможные многочлены с переменной х
и коэффициентами а 0 , а 1 , а 2 ,
..., а n ,
из К.
Относительно алгебраических операций сложения и умножения многочленов- это коммутативное кольцо. Оно называется кольцом многочленов К
от переменной х
над кольцом К
(например, над кольцом целых, рациональных, действительных чисел). Аналогично определяется кольцо многочленов K
от т
переменных как кольцо многочленов от одной переменной х т
над кольцом K.
4. Пусть X
- произвольное множество, К
-произвольное кольцо. Рассмотрим множество всех функций f: Х К,
определенных на множестве X
со значениями в К
Определим сумму и произведение функций, как обычно, равенствами (f+g)(x)=f(x)+g(x); (fg)(x)=f(x)g(x),
где + и - операции в кольце К.
Нетрудно проверить, что все условия, входящие в определение кольца, выполняются, и построенное кольцо будет коммутативным, если коммутативно исходное кольцо K
. Оно называется кольцом функций
на множестве X
со значениями в кольце К.
Многие свойства колец - это переформулированные соответствующие свойства групп и полугрупп, например: a m a n =a m + n
, (а т) п =а тп
для всех m
, n
и всех a
. Другие специфические свойства колец моделируют свойства чисел: 1) для всех a
a 0=0 a=0; 2) .(-а)b=а(-b)=-(ab)
; 3) - a=(-1)a
. Действительно: 2) 0=a
(аналогично (-a)b=-(ab)); 3) используя второе свойство, имеем-a= (-a)1 =a(-1) = (-1)a
. Поле
В кольцах целых, рациональных и действительных чисел из того, что произведение ab=0,
следует, что либо а
=0, либо b
=0. Но в кольце квадратных матриц порядка n
>1 это свойство уже не выполняется, так как, например, = . Если в кольце К ab=0
при а
0, b
, то а
называется левым, а b -
правым делителем нуля.
Если в К
нет делителей нуля (кроме элемента 0, который является тривиальным делителем нуля), то K
называется кольцом без делителей нуля.
1. В кольце функции f:
R R на множестве действительных чисел R рассмотрим функции f 1 (x)=|x|+x; f 2 (x) =|x|-x.
Для них f 1 (x)
=0 при x
и f 2
(x
)=0 при x
, а поэтому произведение f 1 (x) f 2 (x)
- нулевая функция, хотя f 1 (x)
и f 2
(x) .
Следовательно, в этом кольце есть делители нуля. 2. Рассмотрим множество пар целых чисел (а, b),
в котором заданы операции сложения и умножения: (a 1 , b 1)+(a 2 , b 2)=(a 1 +a 2 , b 1 +b 2);
(a 1 , b 1)(a 2 , b 2)= (a 1 a 2 , b 1 b 2).
Это множество образует коммутативное кольцо с единицей (1,1) и делителями нуля, так как (1,0)(0,1)=(0,0). Если в кольце нет делителей нуля, то в нем выполняется закон сокращения, т. е. ab=ac, а =с.
Действительно, ab-ac=0 a(b-c)=0 (b-c)=0 b=c.
Пусть К
- кольцо, с единицей. Элемент а
называется обратимым,
если существует такой элемент а -1 ,
для которого aa -1 =a -1 a=1
. Обратимый элемент не может быть делителем нуля, так как. если ab
=0
, то a -1 (ab) =0 (a -1 a)b=0 1b=0 b=0
(аналогично ba=0
). Теорема. Все обратимые элементы кольца К с единицей образуют группу относительно умножения.
Действительно, умножение в К
ассоциативно, единица содержится во множестве обратимых элементов и произведение не выводит из множества обратимых элементов, так как если а
и b
обратимы, то Важную алгебраическую структуру образуют коммутативные кольца К,
в которых каждый ненулевой элемент обратим, т. е. относительно операции умножения множество K
\{0} образует группу. В таких кольцах определены три операции: сложение, умножение и деление. Коммутативное кольцо Р
с единицей 1 0, в котором каждый ненулевой элемент обратим, называется полем.
Относительно умножения все отличные от нуля элементы поля образуют группу, которая называется мультипликативной группой
поля. Произведение аb -1
записывается в виде дроби и имеет смысл лишь при b 0
. Элемент является единственным решением уравнения bx=a.
Действия с дробями подчиняются привычным для нас правилам: Докажем, например, второе из них. Пусть х=
и у=
- решения уравнений bx=a, dy=c.
Из этих уравнений следует dbx=da, bdy=bc bd(x+y)=da+bc t=
- единственное решение уравнения bdt=da+bc.
1. Кольцо целых чисел не образует поля. Полем является множество рациональных и множество действительных чисел. 8.7. Задания для самостоятельной работы по главе 8
8.1. Определить, является ли операция нахождения скалярного произведения векторов n-мерного евклидового пространства коммутативной и ассоциативной. Обосновать ответ. 8.2. Определить, является ли множество квадратных матриц порядка n относительно операции умножения матриц, группой или моноидом. 8.3. Указать, какие из следующих множеств образуют группу относительно операции умножения: а) множество целых чисел; б) множество рациональных чисел; в) множество действительных чисел, отличных от нуля. 8.4. Определить, какие из следующих структур образует множество квадратных матриц порядка n с определителем, равным единице: относительно обычных операций сложения и умножения матриц: а) группу; б) кольцо; 8.5. Указать, какую структуру образует множество целых чисел относительно операции умножения и сложения: а) некоммутативное кольцо; б) коммутативное кольцо; 8.6. Какую из перечисленных ниже структур образует множество матриц вида с действительными a и b относительно обычных операций сложения и умножения матриц: а) кольцо; 8.7. Какое число нужно исключить из множества действительных чисел, чтобы оставшиеся числа образовывали группу относительно обычной операции умножения: 8.8. Выяснить, какую из следующих структур образует множество, состоящее из двух элементов a и e, с бинарной операцией, определенной следующим образом: ee=e, ea=a, ae=a, aa=e. а) группу; б) абелеву группу. 8.9. Являются ли кольцом четные числа относительно обычных операций сложения и умножения? Обосновать ответ. 8.10. Является ли кольцом совокупность чисел вида a+b , где a и b – любые рациональные числа, относительно операций сложения и умножения? Ответ обосновать.
(аb) -1 =b -1 a -1 .