Ուղարկել ձեր լավ աշխատանքը գիտելիքների բազայում պարզ է: Օգտագործեք ստորև ներկայացված ձևը
Ուսանողները, ասպիրանտները, երիտասարդ գիտնականները, ովքեր օգտագործում են գիտելիքների բազան իրենց ուսումնառության և աշխատանքի մեջ, շատ շնորհակալ կլինեն ձեզ:
Կրթության դաշնային գործակալություն
Բարձրագույն մասնագիտական կրթության պետական ուսումնական հաստատություն
Վյատկայի պետական հումանիտար համալսարան
Մաթեմատիկայի ֆակուլտետ
Մաթեմատիկական անալիզի և մեթոդների բաժին
մաթեմատիկայի դասավանդում
Վերջնական որակավորման աշխատանք
թեմայի շուրջ՝ Գաուսի ամբողջ թվերի օղակ։
Ավարտված:
5-րդ կուրսի ուսանող
Մաթեմատիկայի ֆակուլտետ
Գնուսով Վ.Վ.
___________________________
Գիտական խորհրդատու.
ամբիոնի ավագ դասախոս
հանրահաշիվ և երկրաչափություն
Սեմենով Ա.Ն.
___________________________
Գրախոս.
ֆիզիկամաթեմատիկական գիտությունների թեկնածու գիտություններ, դոց
Հանրահաշվի և երկրաչափության բաժին
Կովյազինա Է.Մ.
___________________________
Ընդունվել է ՊԱԿ-ում պաշտպանության
Գլուխ Բաժին ________________ Վեչտոմով Է.Մ.
« »________________
Ֆակուլտետի դեկան ___________________ Վարանկինա Վ.Ի.
« »________________
Կիրով 2005 թ
- Ներածություն. 2
- 3
- 4
- 1.2 ԲԱԺԱՆՈՒՄ ՄՆԱՑՈՂՈՎ. 5
- 1.3 GCD. ԷՎԿԼԻԴԻ ԱԼԳՈՐԻԹՄ. 6
- 9
- 12
- 17
- Եզրակացություն. 23
Ներածություն.
Բարդ ամբողջ թվերի օղակը հայտնաբերել է Կարլ Գաուսը և նրա անունով կոչել Գաուսյան։
Կ.Գաուսը եկել է երկրորդ աստիճանի համեմատությունների լուծման ալգորիթմների որոնման հետ կապված ամբողջ թվի հայեցակարգի ընդլայնման հնարավորության և անհրաժեշտության գաղափարին: Նա ամբողջ թվի հասկացությունը փոխանցել է ձևի թվերին, որտեղ կամայական ամբողջ թվեր են, և հավասարման արմատն է Տվյալ բազմության վրա Կ. ամբողջ թվեր. Նա հիմնավորեց բաժանելիության հիմնական հատկությունների վավերականությունը. ցույց տվեց, որ կոմպլեքս թվերի օղակում կա ընդամենը չորս անշրջելի տարր. ապացուցեց մնացորդով բաժանման թեորեմի վավերականությունը, պարզ գործոնների տարրալուծման եզակիության թեորեմը. ցույց տվեց, թե որ պարզ բնական թվերը կմնան պարզ օղակում. բացահայտեց պարզ ամբողջ թվային բարդ թվերի բնույթը.
Կ.Գաուսի մշակած տեսությունը, որը նկարագրված է նրա «Թվաբանական հետազոտություններ» աշխատության մեջ, հիմնարար հայտնագործություն էր թվերի տեսության և հանրահաշվի համար։
Թեզի համար դրվել են հետևյալ նպատակները.
1. Մշակել Գաուսի թվերի օղակի բաժանելիության տեսությունը։
2. Պարզի՛ր պարզ Գաուսական թվերի բնույթը:
3. Ցույց տուր Գաուսական թվերի կիրառությունը սովորական Դիոֆանտին խնդիրների լուծման ժամանակ:
ԳԼՈՒԽ 1. ԲԱԺԱՆԵԼԻՈՒԹՅՈՒՆԸ ԳԱՈՒՍԻ ԹՎԵՐԻ ՕՂԱԿՈՒՄ.
Դիտարկենք բարդ թվերի բազմությունը: Իրական թվերի բազմության հետ անալոգիայով նրանում կարելի է առանձնացնել ամբողջ թվերի ենթաբազմություն։ Այն ձևի թվերի հավաքածու, որտեղ կկոչվեն բարդ ամբողջ թվեր կամ Գաուսի թվեր։ Հեշտ է ստուգել, որ օղակի աքսիոմները համապատասխանում են այս հավաքածուին: Այսպիսով, կոմպլեքս թվերի այս բազմությունը օղակ է և կոչվում է Գաուսի ամբողջ թվերի օղակ . Նշենք այն որպես, քանի որ այն օղակի երկարացումն է ըստ տարրի.
Քանի որ Գաուսի թվերի օղակը կոմպլեքս թվերի ենթաբազմություն է, ապա դրա համար վավեր են կոմպլեքս թվերի որոշ սահմանումներ և հատկություններ։ Այսպիսով, օրինակ, Գաուսի յուրաքանչյուր թիվը համապատասխանում է մի կետից սկսվող և վերջացող վեկտորի: հետևաբար, մոդուլ կան գաուսյան թվեր։ Նկատի ունեցեք, որ դիտարկվող բազմությունում ենթամոդուլի արտահայտությունը միշտ ոչ բացասական ամբողջ թիվ է։ Հետեւաբար, որոշ դեպքերում այն ավելի հարմար է օգտագործել նորմը , այսինքն՝ մոդուլի քառակուսին։ Այս կերպ. Կարող ենք առանձնացնել նորմայի հետևյալ հատկությունները. Գաուսի ցանկացած թվի համար ճշմարիտ է հետևյալը.
(1)
(2)
(3)
(4)
(5)
Այս հատկությունների վավերականությունը մանրակրկիտ ստուգվում է մոդուլի միջոցով: Ընթացքում մենք նշում ենք, որ (2), (3), (5) վավեր են նաև ցանկացած բարդ թվերի համար:
Գաուսի թվերի օղակը կոմուտատիվ օղակ է առանց 0-ի բաժանարարների, քանի որ այն բարդ թվերի դաշտի ենթաշրջան է։ Սա ենթադրում է օղակի բազմապատկվող կծկվողություն, այսինքն.
1.1 ՀԵՏԱԴԱՐՁԵԼԻ ԵՎ ՀԱՄԱՁԳՈՒՅԴ ՏԱՐՐԵՐ:
Տեսնենք, թե Գաուսի որ թվերը կլինեն շրջելի։ Այն չեզոք է բազմապատկմամբ։ Եթե գաուսյան թիվ շրջելի , ապա, ըստ սահմանման, գոյություն ունի այնպիսին, որ Անցնելով նորմերին, ըստ սեփականության 3-ի, ստանում ենք. Բայց այդ նորմերը բնական են, հետևաբար։ Այսպիսով, ըստ սեփականության 4, . Ընդհակառակը, տվյալ բազմության բոլոր տարրերը շրջելի են, քանի որ. Հետևաբար, մեկին հավասար նորմ ունեցող թվերը շրջելի կլինեն, այսինքն՝ .
Ինչպես տեսնում եք, ոչ բոլոր Գաուսի թվերն են շրջելի: Ուստի հետաքրքիր է դիտարկել բաժանելիության հարցը։ Ինչպես միշտ, մենք դա ասում ենք բաժանված է Գաուսի ցանկացած թվի, ինչպես նաև շրջելի թվերի համար, հատկությունները ճշմարիտ են:
(7)
(8)
(9)
(10)
, որտեղ (11)
(12)
(8), (9), (11), (12) հեշտությամբ ստուգվում են: Վավերականությունը (7) բխում է (2-ից), իսկ (10) բխում է (6-ից): (9) հատկության շնորհիվ բազմության տարրերը նույն կերպ են վարվում բաժանելիության նկատմամբ և կոչվում են. դաշնակից Հետ. Հետևաբար, բնական է դիտարկել Գաուսի թվերի բաժանելիությունը մինչև միություն։ Երկրաչափական առումով բարդ հարթության վրա դաշնակից թվերը կտարբերվեն միմյանցից բազմակի անկյան պտույտով:
1.2 ԲԱԺԱՆՈՒՄ ՄՆԱՑՈՂՈՎ.
Թող անհրաժեշտ լինի բաժանել, բայց ամբողջությամբ բաժանել հնարավոր չէ։ Պետք է ստանանք, միաժամանակ «քիչ» լինի։ Այնուհետև ցույց կտանք, թե ինչ ընդունել որպես թերի գործակից Գաուսի թվերի բազմության մեջ մնացորդով բաժանելիս։
Լեմմա 1. Մնացորդով բաժանման մասին:
Ռինգում հնարավոր է բաժանում մնացորդով, որի դեպքում մնացորդը նորմայում փոքր է բաժանարարից։ Ավելի ճիշտ՝ ցանկացածի համար և կլինի այնպիսին է, որ . Ինչպես Դուք կարող եք վերցնել ամենամոտը բարդ թվին Գաուսի համարը.
Ապացույց.
Բաժանիր կոմպլեքս թվերի բազմության մեջ: Դա հնարավոր է, քանի որ կոմպլեքս թվերի բազմությունը դաշտ է: Թող. Կլորացնելով իրական թվերը և մինչև ամբողջ թվեր, մենք ստանում ենք համապատասխանաբար և. Թող. Հետո
.
Այժմ անհավասարության երկու մասերը բազմապատկելով՝ կոմպլեքս թվերի նորմայի բազմապատկման շնորհիվ ստանում ենք, որ. Այսպիսով, որպես անավարտ գործակից կարելի է վերցնել Գաուսի թիվ, որին, ինչպես հեշտ է տեսնել, ամենամոտն է։
C.T.D.
1.3 GCD. ԷՎԿԼԻԴԻ ԱԼԳՈՐԻԹՄ.
Օղակների համար մենք օգտագործում ենք ամենամեծ ընդհանուր բաժանարարի սովորական սահմանումը: GCD «օմ երկու Գաուսի թվերի ընդհանուր բաժանարար է, որը բաժանվում է ցանկացած այլ ընդհանուր բաժանարարի:
Ինչպես ամբողջ թվերի բազմության մեջ, այնպես էլ Գաուսի թվերի բազմության մեջ, GCD-ն գտնելու համար օգտագործվում է Էվկլիդյան ալգորիթմը։
Թող և տրվեն Գաուսական թվեր, ընդ որում։ Մնացածի հետ բաժանեք: Եթե մնացորդը տարբերվում է 0-ից, ապա մենք կբաժանենք այս մնացորդի վրա և կշարունակենք հաջորդաբար բաժանել մնացորդները, քանի դեռ դա հնարավոր է: Մենք ստանում ենք հավասարումների շղթա.
, որտեղ
, որտեղ
, որտեղ
……………………….
, որտեղ
Այս շղթան չի կարող անվերջ շարունակվել, քանի որ մենք ունենք նորմերի նվազող հաջորդականություն, իսկ նորմերը ոչ բացասական ամբողջ թվեր են։
Թեորեմ 2. GCD-ի գոյության մասին.
Էվկլիդեսի ալգորիթմում կիրառվում է Գաուսական թվերի վրա և վերջին ոչ զրոյական մնացորդը gcd է ( ).
Ապացույց.
Եկեք ապացուցենք, որ Էվկլիդեսյան ալգորիթմում մենք իսկապես ստանում ենք gcd:
1. Դիտարկենք հավասարությունները ներքեւից վերեւ:
Վերջին հավասարությունից երևում է, որ, հետևաբար, որպես վրա բաժանվող թվերի գումար. Քանի որ և, հաջորդ տողը կտա. Եվ այսպես շարունակ։ Այսպիսով, պարզ է, որ i. Այսինքն՝ թվերի ընդհանուր բաժանարար է և.
Եկեք ցույց տանք, որ սա ամենամեծ ընդհանուր բաժանարարն է, այսինքն՝ բաժանելի է նրանց մյուս ընդհանուր բաժանարարներից որևէ մեկի վրա։
2. Դիտարկենք հավասարությունները վերևից ներքև:
Թող լինի թվերի կամայական ընդհանուր բաժանարար և. Ապա, քանի որ բաժանվող թվերի տարբերությունը վավեր է առաջին հավասարությունից։ Երկրորդ հավասարությունից մենք ստանում ենք դա. Այսպիսով, յուրաքանչյուր հավասարության մեջ մնացորդը ներկայացնելով որպես բաժանվող թվերի տարբերություն, նախավերջին հավասարությունից ստանում ենք այն, ինչը բաժանվում է:
C.T.D.
Լեմմա 3. GCD-ի ներկայացման մասին.
Եթե GCD ( , )= , ապա կան ամբողջ Գաուսի թվեր և , ինչ .
Ապացույց.
Դիտարկենք էվկլիդեսյան ալգորիթմում ստացված հավասարումների շղթան ներքևից վեր։ Հետևողականորեն փոխարինելով իրենց արտահայտության մնացորդների փոխարեն նախորդ մնացորդներով, մենք արտահայտում ենք և.
Գաուսի համարը կոչվում է պարզ , եթե այն չի կարող ներկայացվել որպես երկու անշրջելի գործոնների արդյունք։ Հաջորդ պնդումն ակնհայտ է.
Հայտարարություն 4.
Պարզ Գաուսական թիվը բազմապատկելով անշրջելի թվով կրկին ստացվում է պարզ Գաուսի թիվ:
Հայտարարություն 5.
Եթե վերցնենք Գաուսի թվի ամենափոքր նորմայով անշրջելի բաժանարար, ապա այն կլինի պարզ Գաուսի:
Ապացույց.
Թող այդպիսի բաժանարարը լինի բաղադրյալ թիվ: Ապա, որտեղ և են անշրջելի Գաուսի թվերը: Եկեք անցնենք նորմերին, և ըստ (3)-ի մենք ստանում ենք դա։ Քանի որ այս նորմերը բնական են, մենք ունենք, որ և (12)-ի ուժով տրված Գաուսի թվի անշրջելի բաժանարարն է, ինչը հակասում է ընտրությանը:
Հայտարարություն 6.
Եթե չի բաժանվում պարզ Գաուսի թվի վրա , ապա GCD ( , )=1.
Ապացույց.
Իրոք, պարզ թիվ բաժանվում է միայն 1-ով կամ հետ կապված թվերի վրա . Քանի որ այն չի բաժանվում , ապա դաշնակցեց նույնպես չի կիսվում: Սա նշանակում է, որ միայն շրջելի թվերը կլինեն նրանց ընդհանուր բաժանարարները։
Լեմմա 7. Էվկլիդեսի լեմմա.
Եթե Գաուսի թվերի արտադրյալը բաժանվում է պարզ Գաուսի թվի , ապա գործոններից գոնե մեկը բաժանվում է .
Ապացույց.
Ապացույցի համար բավական է դիտարկել այն դեպքը, երբ ապրանքը պարունակում է ընդամենը երկու գործոն։ Այսինքն՝ ցույց ենք տալիս, որ եթե բաժանվում է , ապա կամը բաժանվում է , կամ բաժանված .
Թող չբաժանվի , ապա GCD (, )=1. Հետևաբար, կան Գաուսի թվեր և այդպիսիք։ Բազմապատկեք հավասարման երկու կողմերը , ստանում ենք դա, հետևում է, որ որպես վրա բաժանվող թվերի գումար .
1.4 ԹՎԱԲԱՆՈՒԹՅԱՆ ՀԻՄՆԱԿԱՆ ԹԵՈՐԵՄ.
Ցանկացած ոչ զրոյական Գաուսական թիվ կարող է ներկայացվել որպես պարզ Գաուսի թվերի արտադրյալ, և այս ներկայացումը եզակի է մինչև գործակիցների միավորումը և կարգը:
Դիտողություն 1.
Շրջելի թիվն իր ընդլայնման մեջ ունի զրոյական պարզ գործակից, այսինքն՝ այն ներկայացված է ինքն իրենով։
Դիտողություն 2.
Ավելի ճիշտ, եզակիությունը ձևակերպված է հետևյալ կերպ. Եթե պարզ Գաուսի գործոնների երկու գործոնացում կա, այսինքն. , ապա և դուք կարող եք վերահամարակալել թվերն այսպես , ինչ հետ դաշնակցելու են , բոլորի համար 1-ից մինչև ներառական։
Ապացույց.
Մենք դա ապացուցում ենք նորմայի ինդուկցիայով։
Հիմք. Միավոր նորմայով թվի համար պնդումն ակնհայտ է.
Հիմա թող լինի ոչ զրոյական անշրջելի Գաուսի թիվ, և բոլոր Գաուսական թվերի համար, որոնց նորմը պակաս է պնդումից:
Եկեք ցույց տանք պարզ գործոնների տարրալուծման հնարավորությունը: Դա անելու համար մենք նշում ենք ամենափոքր նորմ ունեցող անշրջելի բաժանարարով։ Այս բաժանարարը պետք է լինի պարզ թիվ ըստ 5-ի հայտարարության: Ապա. Այսպիսով, մենք ունենք և, ըստ ինդուկտիվ վարկածի, ներկայացված է որպես պարզ թվերի արտադրյալ: Հետևաբար, քայքայվում է այս պարզ և.
Եկեք ցույց տանք տարրալուծման եզակիությունը պարզ գործոնների: Դա անելու համար մենք վերցնում ենք երկու կամայական նման ընդլայնումներ.
Ըստ Էվկլիդեսի լեմայի՝ արտադրյալի գործոններից մեկը պետք է բաժանվի։ Կարելի է ենթադրել, որ այն բաժանվում է վրա, հակառակ դեպքում վերահամարակալում ենք։ Քանի որ դրանք պարզ են, որտեղ է շրջելի: Կրճատելով մեր հավասարության երկու կողմերը՝ մենք ստանում ենք նորմայից փոքր թվի պարզ գործոնավորում:
Ինդուկտիվ ենթադրությամբ, և կարելի է թվերը վերահամարակալել այնպես, որ դաշնակցվի, հետ, ..., հետ։ Ապա այս համարակալման համար այն նաև կապակցված է բոլորի համար 1-ից մինչև ներառյալ: Այսպիսով, տարրալուծումը պարզ գործոնների եզակի է:
Մեկ գեներացված օղակի օրինակառանց OTA-ի:
Հաշվի առեք. Այս օղակի տարրերը այն ձևի թվերն են, որտեղ և կամայական ամբողջ թվեր են: Ցույց տանք, որ թվաբանության հիմնարար թեորեմը դրանում չի գործում։ Այս օղակում թվի նորմը սահմանում ենք հետևյալ կերպ. Սա իսկապես նորմ է, քանի որ դա ստուգելը դժվար չէ։ Թող և. Հետո
Ուշադրություն դարձրեք, որ.
Եկեք ցույց տանք, որ դիտարկվող ռինգում թվերը պարզ են: Հիրավի, թող լինի նրանցից մեկը և. Այնուհետև ունենք՝ Քանի որ այս օղակում 2 նորմայով թվեր չկան, ապա կամ. Անշրջելի տարրերը կլինեն միավորի նորմայով թվեր և միայն նրանք։ Սա նշանակում է, որ կամայական ֆակտորիզացիայի մեջ կա անշրջելի գործոն, հետևաբար՝ պարզ։
ԳԼՈՒԽ 2. ԳԱՈՒՍՅԱՆ ԱՌԱՋԻՆ ԹՎԵՐ.
Հասկանալու համար, թե Գաուսի որ թվերն են պարզ, հաշվի առեք մի շարք պնդումներ:
Թեորեմ 8.
Յուրաքանչյուր պարզ Գաուսյան ուղիղ մեկ պարզ բնականի բաժանարար է:
Ապացույց.
Թող լինի պարզ գաուսյան, ուրեմն: Ըստ հիմնարար թեորեմի՝ բնական թվերի թվաբանությունը տարրալուծվում է պարզ բնական թվերի արտադրյալի։ Եվ ըստ Էվկլիդեսի լեմմայի, դրանցից առնվազն մեկը բաժանվում է:
Այժմ ցույց տանք, որ պարզ Գաուսը չի կարող բաժանել երկու հստակ պարզ բնական թվեր: Իրոք, նույնիսկ եթե կան հստակ պարզ բնական թվեր, որոնք բաժանվում են . Քանի որ gcd()=1, ուրեմն, gcd-ն ամբողջ թվերով ներկայացնելու թեորեմի համաձայն, գոյություն ունեն և կան այնպիսի ամբողջ թվեր, որ. Ուստի, ինչը հակասում է պարզությանը։
Այսպիսով, յուրաքանչյուր պարզ բնական տարրալուծելով պարզ Գաուսիների՝ մենք թվարկում ենք բոլոր պարզ Գաուսիները և առանց կրկնությունների։
Հետևյալ թեորեմը ցույց է տալիս, որ յուրաքանչյուր պարզ բնական թիվ «ստանում է» առավելագույնը երկու պարզ Գաուսի թվեր։
Թեորեմ 9.
Եթե պարզ բնական գործոնը տարրալուծվում է երեք պարզ Գաուսի գործոնի արտադրյալի, ապա գործոններից առնվազն մեկը շրջելի է։
Ապացույց.
Թող պարզ բնական այնպիսին է, որ . Անդրադառնալով կանոններին՝ մենք ստանում ենք.
.
Բնական թվերի այս հավասարությունից բխում է, որ նորմերից առնվազն մեկը հավասար է 1-ի: Հետևաբար, թվերից գոնե մեկը. -- շրջելի։
Լեմմա 10.
Եթե Գաուսի թիվը բաժանվում է պարզ թվի, ապա u.
Ապացույց.
Թող , այն է . Հետո , , այն է , .
C.T.D.
Լեմմա 11.
Ձևի պարզ բնական թվի համար գոյություն ունի այնպիսի բնական, որ.
Ապացույց.
Վիլսոնի թեորեմն ասում է, որ ամբողջ թիվը պարզ է, եթե և միայն այն դեպքում, եթե: Բայց այստեղից. Ընդարձակեք և փոխակերպեք ֆակտորիալը.
Այսպիսով, մենք ստանում ենք, որ, այսինքն. .
Այսպիսով, մենք ստացանք դա , որտեղ = .
Այժմ մենք պատրաստ ենք նկարագրել բոլոր պարզ Գաուսի թվերը:
Թեորեմ 12.
Բոլոր պարզ Գաուսները կարելի է բաժանել երեք խմբի.
մեկը): Պարզ բնական տեսակները պարզ գաուսական են;
2). Երկուսը դաշնակից է Գաուսի պարզ թվի քառակուսու հետ;
3). Պարզ բնական տեսակները քայքայվում են երկու պարզ զուգակցված գաուսականների արտադրյալի։
Ապացույց.
1). Մենք ենթադրում ենք, որ պարզ բնական բարի պարզ գաուսական չէ: Հետո , և և . Անցնենք կանոններին. . Այս անհավասարությունները հաշվի առնելով՝ մենք ստանում ենք , այն է երկու ամբողջ թվերի քառակուսիների գումարն է։ Բայց ամբողջ թվերի քառակուսիների գումարը 4-ի բաժանելիս չի կարող տալ 3 մնացորդ։
2). նկատել, որ
.
Թիվ պարզ Գաուսական է, քանի որ հակառակ դեպքում երկուսը կքայքայվեն երեք անշրջելի գործոնի, ինչը հակասում է 9-րդ թեորեմին:
3). Թող մի պարզ բնական տեսակ , ապա Լեմմա 11-ի համար գոյություն ունի ամբողջ թիվ այնպիսին է, որ . Թող պարզ գաուսական է։ Որովհետեւ , ապա Էվկլիդեսի լեմայի վրա բաժանում է գործոններից առնվազն մեկը. Թող , ապա կա Գաուսական թիվ այնպիսին է, որ . Հավասարեցնելով երևակայական մասերի գործակիցները՝ ստանում ենք . հետևաբար, , ինչը հակասում է պարզության մեր ենթադրությանը . Միջոցներ կոմպոզիտային Գաուսական է, որը ներկայացվում է որպես երկու պարզ զուգակցված գաուսների արտադրյալ:
C.T.D.
Հայտարարություն.
Գաուսիական թիվը, որը խոնարհվում է պարզի հետ, ինքնին պարզ է:
Ապացույց.
Թող պարզ թիվը լինի Գաուսյան: Ենթադրելով, որ կոմպոզիտային, այսինքն. Այնուհետև դիտարկենք խոնարհումը, այսինքն՝ ներկայացված է որպես երկու անշրջելի գործոնների արտադրյալ, որը չի կարող լինել։
Հայտարարություն.
Գաուսական թիվը, որի նորմը պարզ բնական թիվ է, Գաուսի պարզ թիվ է:
Ապացույց.
Թող մի բաղադրյալ թիվ, ապա. Եկեք նայենք կանոններին.
Այսինքն՝ ստացանք, որ նորմը բաղադրյալ թիվ է, իսկ պայմանով՝ պարզ թիվ։ Հետևաբար, մեր ենթադրությունը ճիշտ չէ, և կա պարզ թիվ։
Հայտարարություն.
Եթե պարզ բնական թիվը պարզ Գաուսի չէ, ապա այն կարող է ներկայացվել որպես երկու քառակուսիների գումար:
Ապացույց.
Թող պարզ բնական թիվ լինի և չլինի պարզ Գաուսի: Հետո. Քանի որ թվերը հավասար են, նրանց նորմերը նույնպես հավասար են։ Այսինքն, այստեղից մենք ստանում ենք.
Հնարավոր է երկու դեպք.
մեկը): , այսինքն՝ ներկայացվում է որպես երկու քառակուսիների գումար։
2). , այսինքն՝ նշանակում է շրջելի թիվ, որը չի կարող լինել, ուստի այս դեպքը մեզ չի բավարարում։
ԳԼՈՒԽ 3. ԳԱՈՒՍԻ ԹՎԵՐԻ ԿԻՐԱՌՈՒՄԸ.
Հայտարարություն.
Երկու քառակուսիների գումարով ներկայացվող թվերի արտադրյալը ներկայացվում է նաև որպես երկու քառակուսիների գումար։
Ապացույց.
Եկեք ապացուցենք այս փաստը երկու եղանակով՝ օգտագործելով Գաուսի թվերը և առանց Գաուսի թվերի օգտագործման։
1. Թող լինեն բնական թվեր, որոնք ներկայացվում են որպես երկու քառակուսիների գումար: Հետո, և. Դիտարկենք արտադրյալը, այսինքն՝ ներկայացված է որպես երկու խոնարհված Գաուսական թվերի արտադրյալ, որը ներկայացված է որպես բնական թվերի երկու քառակուսիների գումար։
2. Թող . Հետո
Հայտարարություն.
Եթե, որտեղ է ձևի պարզ բնական, ապա և.
Ապացույց.
Այն պայմանից է բխում, որ այս դեպքում էլ պարզ գաուսական է։ Այնուհետև Էվկլիդեսի լեմայով գործոններից մեկը բաժանվում է. Ենթադրենք, ուրեմն, ըստ Lemma 10-ի, մենք ունենք այն և.
Եկեք նկարագրենք բնական թվերի ընդհանուր ձևը, որը ներկայացվում է որպես երկու քառակուսիների գումար:
Ֆերմայի Սուրբ Ծննդյան թեորեմ կամ Ֆերմայի թեորեմ--Էյլեր.
Ոչ զրոյական բնական թիվը կարող է ներկայացվել որպես երկու քառակուսիների գումար, եթե և միայն այն դեպքում, երբ կանոնական տարրալուծման մեջ ձևի բոլոր պարզ գործոնները հավասար իշխանության մեջ են.
Ապացույց.
Նկատի ունեցեք, որ ձևի 2-ը և բոլոր պարզ թվերը կարող են ներկայացվել որպես երկու քառակուսիների գումար: Թող թվի կանոնական տարրալուծման մեջ լինեն ձևի պարզ գործակիցներ, որոնք տեղի են ունենում կենտ աստիճանով: Փակագծերում դնում ենք երկու քառակուսիների գումարի տեսքով ներկայացվող բոլոր գործոնները, ապա ձևի գործակիցները կմնան և բոլորը առաջին աստիճանում։ Եկեք ցույց տանք, որ նման գործոնների արտադրյալը չի կարող ներկայացվել որպես երկու քառակուսիների գումար: Իսկապես, եթե մենք դա ենթադրենք, ապա մենք ունենք այդ գործոններից մեկը կամ պետք է բաժանվի, բայց եթե այս Գաուսի թվերից մեկը բաժանվում է, ապա այն պետք է բաժանի նաև մյուսին, որպես դրան հարակից: Այսինքն, և, բայց հետո այն պետք է լինի երկրորդ աստիճանում, և այն առաջինում: Հետևաբար, առաջին աստիճանի ձևի ցանկացած թվով պարզ գործակիցների արտադրյալը չի կարող ներկայացվել որպես երկու քառակուսիների գումար: Սա նշանակում է, որ մեր ենթադրությունը չի համապատասխանում իրականությանը, և թվի կանոնական տարրալուծման ձևի բոլոր պարզ գործոնները մտնում են զույգ ուժերով:
Առաջադրանք 1.
Տեսնենք այս տեսության կիրառումը Դիաֆանտյան հավասարման լուծման օրինակով։
Լուծել ամբողջ թվերով.
Նկատի ունեցեք, որ աջ կողմը կարող է ներկայացվել որպես խոնարհված Գաուսի թվերի արտադրյալ:
Այն է. Թող այն բաժանվի ինչ-որ պարզ Գաուսի թվի վրա, իսկ խոնարհվածը նույնպես բաժանվի նրա վրա, այսինքն. Եթե նկատի ունենանք այս Գաուսական թվերի տարբերությունը, որը պետք է բաժանվի վրա, կստանանք, որ այն պետք է բաժանի 4։ Բայց, այսինքն՝ դաշնակից։
Թվի տարրալուծման բոլոր պարզ գործոնները ներառված են երեքի բազմապատիկի ուժի մեջ, իսկ ձևի գործակիցները՝ վեցի բազմապատիկի ուժի մեջ, քանի որ պարզ Գաուսական թիվը ստացվում է պարզ Գաուսի 2-ի տարրալուծումից, բայց, հետևաբար. Քանի անգամ այն տեղի է ունենում թվի պարզ գործակիցների տարրալուծման ժամանակ, նույնքան անգամ է տեղի ունենում թվի պարզ գործոնների տարրալուծման ժամանակ: Որովհետև այն բաժանվում է, եթե և միայն այն դեպքում, եթե բաժանվում է: Բայց դաշնակցեց Այսինքն՝ դրանք կբաշխվեն հավասարապես, ինչը նշանակում է, որ դրանք ներառվելու են այս թվերի ընդլայնումների մեջ երեքի բազմապատիկի չափով։ Բոլոր մյուս պարզ գործոնները, որոնք ներառված են թվի տարրալուծման մեջ, կմտնեն միայն կամ թվի կամ թվի տարրալուծման մեջ: Սա նշանակում է, որ թվի պարզ Գաուսի գործակիցների ընդլայնման ժամանակ բոլոր գործոնները կներառվեն երեքի բազմապատիկի հզորության մեջ: Հետևաբար թիվը խորանարդ է։ Այսպիսով, մենք ունենք դա: Այստեղից մենք ստանում ենք, որ այն պետք է լինի 2-ի բաժանարար։ Այստեղից մենք ստանում ենք չորս տարբերակ, որոնք բավարարում են մեզ.
մեկ.,. Որտեղ ենք մենք գտնում դա, .
2. , . Հետևաբար, .
3. , . Հետևաբար, .
չորս., . Հետևաբար, .
Առաջադրանք 2.
Լուծել ամբողջ թվերով.
Ներկայացնենք ձախ կողմը որպես երկու Գաուսական թվերի արտադրյալ, այսինքն. Եկեք տարանջատենք թվերից յուրաքանչյուրը պարզ Գաուսի գործակիցների: Պարզների մեջ կլինեն նրանք, որոնք գտնվում են ընդլայնման մեջ և. Մենք խմբավորում ենք բոլոր նման գործոնները և նշում ստացված արտադրանքը։ Հետո միայն այն գործոնները, որոնք ընդլայնման մեջ չեն, կմնան ընդլայնման մեջ։ Բոլոր պարզ Գաուսի գործոնները ընդլայնման մեջ մտնում են հավասարաչափ: Նրանք, որոնք ներառված չեն, ներկա կլինեն կա՛մ միայն, կա՛մ ներսում: Այսպիսով, թիվը քառակուսի է: Այն է. Իրական և երևակայական մասերը հավասարեցնելով՝ ստանում ենք, որ.
Առաջադրանք 3.
Բնական թվի ներկայացումների թիվը որպես երկու քառակուսիների գումար:
Խնդիրը համարժեք է տրված բնական թիվը որպես որոշ Գաուսի թվի նորմ ներկայացնելու խնդրին։ Թող լինի Գաուսի թիվ, որի նորմը հավասար է: Եկեք տարրալուծվենք պարզ բնական գործոնների։
Որտեղ են ձևի պարզ թվերը և ձևի պարզ թվերը: Այնուհետև երկու քառակուսիների գումարով ներկայացված լինելու համար անհրաժեշտ է, որ բոլորը լինեն հավասար։ Մենք թիվը տարրալուծում ենք պարզ Գաուսի գործոնների, ապա
որտեղ են պարզ Գաուսի թվերը, որոնց մեջ դրանք տարրալուծվում են:
Նորմի համեմատությունը թվի հետ հանգեցնում է հետևյալ հարաբերությունների, որոնք անհրաժեշտ և բավարար են, որպեսզի.
Դիտումների քանակը հաշվարկվում է ցուցանիշների ընտրության տարբերակների ընդհանուր քանակից: Ցուցանիշների համար կա հնարավորություն, քանի որ թիվը կարելի է բաժանել երկու ոչ բացասական տերմինների հետևյալ կերպ.
Մի երկու ցուցանիշի համար կա տարբերակ և այլն։ Բոլոր հնարավոր եղանակներով համադրելով ցուցիչների համար թույլատրելի արժեքները՝ մենք կստանանք ընդհանուր տարբեր արժեքներ պարզ Գաուսական թվերի արտադրյալի համար՝ ձևի նորմով կամ 2-ով: Ցուցանիշներն ընտրվում են յուրովի: Վերջապես, շրջելիին կարելի է տալ չորս իմաստ. Այսպիսով, թվի համար կան բոլոր հնարավորությունները, և հետևաբար, թիվը Գաուսի թվի նորմայի տեսքով, այսինքն՝ ձևով կարող է ներկայացվել ձևերով։
Այս հաշվարկում հավասարման բոլոր լուծումները համարվում են տարբեր։ Այնուամենայնիվ, որոշ լուծումներ կարող են դիտվել որպես երկու քառակուսիների գումարի նույն ներկայացումը: Այսպիսով, եթե --- լուծումներ հավասարման, ապա կարող եք նշել ևս յոթ լուծում, որոնք որոշում են թվի նույն ներկայացումը, ինչպես երկու քառակուսիների գումարը.
Ակնհայտ է, որ մեկ ներկայացմանը համապատասխանող ութ լուծումներից կարող են մնալ միայն չորս տարբեր լուծումներ, եթե և միայն, եթե կամ, կամ: Նման պատկերացումները հնարավոր են, եթե լրիվ քառակուսի կամ կրկնապատկված լրիվ քառակուսի, և ավելին, կարող է լինել միայն մեկ նման ներկայացում.
Այսպիսով, մենք ունենք հետևյալ բանաձևերը.
Եթե ոչ բոլորն են հավասար և
Եթե բոլորը հավասար են:
Եզրակացություն.
Այս հոդվածում մենք ուսումնասիրեցինք Գաուսի ամբողջ թվերի օղակի բաժանելիության տեսությունը, ինչպես նաև Գաուսի պարզ թվերի բնույթը: Այս հարցերն ընդգրկված են առաջին երկու գլուխներում:
Երրորդ գլխում դիտարկվում է Գաուսի թվերի կիրառումը հայտնի դասական խնդիրների լուծման համար, ինչպիսիք են.
· Բնական թիվը երկու քառակուսիների գումար ներկայացնելու հնարավորության հարցը;
· Բնական թվի ներկայացումների թիվը երկու քառակուսիների գումարով գտնելու խնդիրը;
· Անորոշ Պյութագորասի հավասարման ընդհանուր լուծումներ գտնելը;
և նաև Դիաֆանտինի հավասարման լուծմանը։
Նշում եմ նաև, որ աշխատանքը կատարվել է առանց լրացուցիչ գրականության։
Նմանատիպ փաստաթղթեր
Ամբողջ թվերի բաժանելիության հատկությունները հանրահաշվում. Մնացորդներով բաժանման առանձնահատկությունները. Պարզ և կոմպոզիտային թվերի հիմնական հատկությունները. Թվերի շարքի վրա բաժանելիության նշաններ. Մեծագույն ընդհանուր բաժանարարը (GCD) և ամենափոքր ընդհանուր բազմապատիկը (LCM) հաշվարկելու հասկացություններ և մեթոդներ:
դասախոսություն, ավելացվել է 05/07/2013 թ
Գաուսի քառակուսի բանաձեւերի վերանայում, դրանց սահմանումը, ինտեգրալ կառուցվածքները, Գաուսի քառակուսիները հստակ նկարագրող օրինակներ։ Որոշ ալգորիթմների օգտագործման առանձնահատկությունները, որոնք թույլ են տալիս հետևել խնդիրների լուծման առաջընթացին, օգտագործելով Գաուսի քառակուսի բանաձևերը:
վերահսկողական աշխատանք, ավելացվել է 16.12.2015թ
P-adic ամբողջ թվերի գումարում և բազմապատկում, որը սահմանվում է որպես հաջորդականությունների ժամկետային գումարում և բազմապատկում: Ամբողջական p-adic թվերի օղակը, դրանց բաժանման հատկությունների ուսումնասիրությունը։ Այս թվերի բացատրությունը նոր մաթեմատիկական առարկաներ ներմուծելով:
կուրսային աշխատանք, ավելացվել է 22.06.2015թ
Մատրիցայի հայեցակարգը. Գաուսի մեթոդ. Մատրիցների տեսակները. Գծային համակարգերի լուծման Կրամերի մեթոդը. Գործողություններ մատրիցների վրա՝ գումարում, բազմապատկում: Գծային հավասարումների համակարգերի լուծում Գաուսի մեթոդով։ Համակարգերի տարրական փոխակերպումներ. Մաթեմատիկական փոխակերպումներ.
դասախոսություն, ավելացվել է 06/02/2008 թ
Թվերի քանակի պահպանման օրենքը Թվերի բնական շարքերում միացյալ շարքերը՝ որպես թվերի հետադարձ կապի սկզբունք մաթեմատիկայի մեջ։ Թվերի բնական շարքի կառուցվածքը. Զույգ և կենտ թվերի շարքերի իզոմորֆ հատկությունները. Պարզ թվերի բաշխման ֆրակտալ բնույթը:
մենագրություն, ավելացվել է 28.03.2012թ
Յոհան Կարլ Ֆրիդրիխ Գաուսը բոլոր ժամանակների մեծագույն մաթեմատիկոսն է։ Գաուսի ինտերպոլացիայի բանաձևեր, որոնք ինտերպոլացիայի միջոցով տալիս են y=f(x) ֆունկցիայի մոտավոր արտահայտություն։ Գաուսի բանաձևերի կիրառման ոլորտները. Նյուտոնի ինտերպոլացիայի բանաձևերի հիմնական թերությունները.
թեստ, ավելացվել է 12/06/2014
Ընդլայնված Էվկլիդեսի ալգորիթմը, դրա օգտագործումը բաժանման մնացորդների միջոցով բնական թվերի ամենամեծ ընդհանուր բաժանարարը գտնելու համար։ Մաթեմատիկական օրացույցի խնդիր. Էվկլիդյան օղակներ՝ բազմանդամների օղակում Ֆիբոնաչիի թվերի անալոգները, դրանց հատկությունները։
վերացական, ավելացվել է 25.09.2009 թ
Բնական թվերի Vivchennya հզորությունները. Պարզ թվերի բազմապատկիչի անսահմանությունը: Էրատոսթենեսի մաղ. Թվաբանության հիմնական թեորեմի հետևում. Պարզ թվերի ստորաբաժանման ասիմպտոտիկ օրենքը. Ալգորիթմի բնութագրում ըստ պարզ թվերի մեկ ընդմիջումի:
կուրսային աշխատանք, ավելացվել է 27.07.2015թ
Կոմպլեքս թվերի արժեքների հաշվարկ հանրահաշվական, եռանկյունաչափական և էքսպոնենցիալ ձևերով: Բարդ հարթության կետերի միջև հեռավորության որոշում: Կոմպլեքս թվերի բազմության հավասարման լուծում. Կրամերի, հակադարձ մատրիցայի և Գաուսի մեթոդները:
վերահսկողական աշխատանք, ավելացվել է 12.11.2012թ
Թվային-տեսական հիմք RNS-ի կառուցման համար. Բաժանման թեորեմ մնացորդով. Էվկլիդեսի ալգորիթմը. Չինական մնացորդի թեորեմը և նրա դերը RNS-ում թվերը ներկայացնելու գործում: Մոդուլային ներկայացման և տեղեկատվության զուգահեռ մշակման մոդելներ: մոդուլային գործողություններ.
Ծրագրավորման դասընթացից հայտնի է, որ համակարգչի հիշողության մեջ ամբողջ թիվը կարող է ներկայացվել տարբեր ձևերով, մասնավորապես, այս ներկայացումը կախված է նրանից, թե ինչպես է այն նկարագրվում՝ որպես ամբողջ թվի տիպի արժեք, թե իրական, թե տող: Միևնույն ժամանակ, ծրագրավորման լեզուների մեծ մասում ամբողջ թվերը հասկացվում են որպես թվեր շատ սահմանափակ միջակայքից. բնորոշ դեպք է -2 15 = -32768-ից մինչև 2 15 - 1 = 32767: Համակարգեր համակարգչային հանրահաշիվգործ ունենալ մեծ ամբողջ թվերի հետ, մասնավորապես, ցանկացած նման համակարգ կարող է հաշվարկել և ցուցադրել 1000-ի նման թվեր տասնորդական նշումով: (ավելի քան հազար նիշ):
Այս դասընթացում մենք կքննարկենք ամբողջ թվերի ներկայացումը սիմվոլիկ ձևով և չմանրամասնենք, թե որքան հիշողություն է հատկացվել մեկ նիշ (բիթ, բայթ կամ այլ) գրելու համար: Ամենատարածվածը ամբողջ թվերի ներկայացումն է դիրքային թվային համակարգեր. Նման համակարգը որոշվում է թվի հիմքի ընտրությամբ, օրինակ՝ 10։ Տասնորդական ամբողջ թվերի բազմությունը սովորաբար նկարագրվում է հետևյալ կերպ.
Ամբողջ թվերի գրավոր սահմանումը տալիս է յուրաքանչյուր այդպիսի թվի ներկայացման եզակիությունը, և նմանատիպ սահմանում (միայն, գուցե տարբեր հիմքերով) օգտագործվում է համակարգերի մեծ մասում։ համակարգչային հանրահաշիվ. Օգտագործելով այս ներկայացումը, հարմար է թվաբանական գործողություններ իրականացնել ամբողջ թվերի վրա: Միևնույն ժամանակ գումարումն ու հանումը համեմատաբար «էժան» գործողություններ են, մինչդեռ բազմապատկումն ու բաժանումը «թանկ» են։ Թվաբանական գործողությունների բարդությունը գնահատելիս պետք է հաշվի առնել և՛ տարրական գործողության արժեքը (մեկ բիթ), և՛ մեկ բիթանոց գործողությունների քանակը՝ բազմանիշ թվերի վրա ցանկացած գործողություն կատարելու համար։ Բազմապատկման և բաժանման բարդությունը պայմանավորված է, առաջին հերթին, նրանով, որ թվի երկարության աճով (նրա նշումը ցանկացած թվային համակարգում) տարրական գործողությունների թիվը մեծանում է ըստ քառակուսի օրենքի, ի տարբերություն. գծայինը՝ գումարման և հանման համար։ Բացի այդ, այն, ինչ մենք սովորաբար անվանում ենք բազմանիշ բաժանման ալգորիթմ, իրականում հիմնված է գործակիցի հնարավոր հաջորդ թվանշանի թվարկման (հաճախ շատ նշանակալի) վրա, և բավարար չէ միայն միանիշ թվերի բաժանման կանոնների օգտագործումը: Թվային համակարգի մեծ բազայի դեպքում (հաճախ այն կարող է լինել 2 30 կարգի), այս մեթոդն անարդյունավետ է:
Թող լինի բնական թիվ (գրված տասնորդական համակարգով): Նրա ռեկորդը ստանալու համար 
-ary թվային համակարգում կարող եք օգտագործել հետևյալ ալգորիթմը (նշում է թվի ամբողջական մասը).
Տրված է՝ A-բնական թիվ տասնորդական նշումով k > 1-բնական թիվ Անհրաժեշտ է՝ A թվի գրանցում k-տասնորդական նշումով Սկիզբ i:= 0 ցիկլ, մինչդեռ A > 0 bi:= A (mod k) A:= i := i + 1 ցիկլի ավարտ dA:= i - 1 վերջ
Հետևյալ ալգորիթմը օգտագործվում է տասնորդական թիվը վերականգնելու համար իր k-ary նշումների հաջորդականությունից.
Տրված է՝ k > 1- թվանշանների բնական թվային հաջորդականություն, որը ներկայացնում է k-արյան համակարգում A թիվը Պահանջվում է՝ A թվի գրանցում տասնորդական նշումով Սկսել A:= 0 ցիկլը մինչև հաջորդականության ավարտը b:= հաջորդ տարրը: հաջորդականության A:= A * k + b վերջի հանգույց Վերջ
1.2. ՎԱՐԺՈՒԹՅՈՒՆ. Բացատրեք, թե ինչու է բաժանումն օգտագործվում տասնորդական համակարգից թիվը k թվի փոխարկելու համար, իսկ բազմապատկումը՝ k թվից տասնորդականի:
Տասնորդական թվային համակարգում երկու երկնիշ թվեր «սյունակով» բազմապատկելով՝ կատարում ենք հետևյալ գործողությունները.
(10a + b) (10c + d) = 100ac + 10 (ad + bc) + bd,
այսինքն՝ միանիշ թվերի բազմապատկման 4, գումարման 3 և թվային բազայի հզորությամբ բազմապատկման 2 գործողություն, որոնք կրճատվում են հերթափոխի։ Բարդությունը գնահատելիս կարելի է հաշվի առնել բոլոր տարրական գործողությունները՝ առանց դրանք կշիռներով բաժանելու (այս օրինակում ունենք 9 տարրական գործողություն)։ Ալգորիթմի օպտիմալացման խնդիրը այս մոտեցմամբ կրճատվում է տարրական գործողությունների ընդհանուր թիվը նվազագույնի հասցնելու համար: Կարելի է, սակայն, համարել, որ բազմապատկումն ավելի «թանկ» գործողություն է, քան գումարումը, որն իր հերթին «ավելի թանկ» է, քան հերթափոխը։ Հաշվի առնելով միայն ամենաթանկ վիրահատությունները՝ մենք ստանում ենք դա բազմապատկիչԵրկնիշ թվերը «սյունակով» բազմապատկելու բարդությունը 4 է։
Բաժին 5-ում դիտարկվում են ամենամեծ ընդհանուր բաժանարարները հաշվարկելու ալգորիթմները և գնահատում դրանց բարդությունը:
Դիտարկված ներկայացումը ամբողջ թվերի միակ կանոնական ներկայացումը չէ։ Ինչպես արդեն նշվեց, կանոնական ներկայացում ընտրելու համար կարելի է օգտագործել բնական թվի գործոնացման եզակիությունը պարզ գործոնների: Ամբողջ թվի նման ներկայացումը կարող է օգտագործվել այն խնդիրներում, որտեղ օգտագործվում են միայն բազմապատկման և բաժանման գործողություններ, քանի որ դրանք դառնում են շատ «էժան», սակայն գումարման և հանման գործողությունների արժեքը մեծանում է անհամաչափ, ինչը թույլ չի տալիս օգտագործել նման ներկայացում: Որոշ խնդիրներում կանոնական ներկայացման մերժումը տալիս է կատարողականի զգալի ձեռքբերում, մասնավորապես, կարելի է օգտագործել թվի մասնակի ֆակտորիզացիա։ Նմանատիպ մեթոդը հատկապես օգտակար է ոչ թե թվերի, այլ բազմանդամների հետ աշխատելիս։
Եթե հայտնի է, որ ծրագրի գործարկման ժամանակ հաշվարկներում հանդիպող բոլոր ամբողջ թվերը բացարձակ արժեքով սահմանափակվում են որոշակի հաստատունով, ապա կարող եք օգտագործել այդպիսի թվեր սահմանելու համար դրանց մնացորդների համակարգը որոշ համապարփակ թվերի մոդուլում, արտադրյալ որը գերազանցում է նշված հաստատունը։ Մնացորդային դասերի հետ հաշվարկներն ընդհանուր առմամբ ավելի արագ են, քան բազմակի ճշգրիտ թվաբանությունը: Եվ այս մոտեցման դեպքում բազմակի ճշգրիտ թվաբանությունը պետք է օգտագործվի միայն տեղեկատվություն մուտքագրելու կամ ելքի ժամանակ:
Նշենք, որ համակարգերում կանոնական ներկայացումների հետ մեկտեղ համակարգչային հանրահաշիվօգտագործվում են նաև այլ ներկայացումներ: Մասնավորապես, ցանկալի է, որ ամբողջ թվի դիմաց «+» նշանի առկայությունը կամ բացակայությունը չազդի այն համակարգչի ընկալման վրա։ Այսպիսով, դրական թվերի համար ստացվում է երկիմաստ ներկայացում, թեև բացասական թվերի ձևը եզակիորեն որոշված է։
Մյուս պահանջն այն է, որ թվի ընկալման վրա չպետք է ազդի առաջին նշանակալի թվանշանից առաջ զրոների առկայությունը:
1.3. ՎԱՐԺՈՒԹՅՈՒՆՆԵՐ.
- Գնահատե՛ք միանիշ բազմապատկումների քանակը, որոնք օգտագործվում են m-նիշ թիվը n-անիշ թվով սյունակով բազմապատկելիս:
- Ցույց տվեք, որ երկու երկնիշ թվերը կարելի է բազմապատկել՝ օգտագործելով միայն 3 միանիշ բազմապատկում և ավելացնելով գումարումների քանակը:
- Գտեք երկար թվերի բաժանման ալգորիթմ, որը շատ թվարկում չի պահանջում գործակիցի առաջին թվանշանը գտնելու համար:
- Նկարագրե՛ք բնական թվերը m-արային թվային համակարգից n-ի փոխարկելու ալգորիթմը:
- AT Հռոմեական համարակալումԹվեր գրելու համար օգտագործվում են հետևյալ նշանները՝ I - մեկ, V - հինգ, X - տասը, L - հիսուն, C - հարյուր, D - հինգ հարյուր, M - հազար: Խորհրդանիշը համարվում է բացասական, եթե աջ կողմում կա ավելի մեծ թվի խորհրդանիշ, իսկ հակառակ դեպքում՝ դրական: Օրինակ՝ այս համակարգում 1948 թիվը գրվելու է այսպես՝ MCMXLVIII։ Ձևակերպեք թիվը հռոմեականից տասնորդականի և հակառակը փոխարկելու ալգորիթմ: Իրականացրեք ստացված ալգորիթմը ալգորիթմական լեզուներից մեկում (օրինակ, C): Նախնական տվյալների սահմանափակումներ. 1<= N < 3700 , в записи результата ни один символ не должен появляться больше 3 раз.
- Ձևակերպեք ալգորիթմ և գրեք ծրագիր հռոմեական համարներում բնական թվեր գումարելու համար:
- Մենք կասենք, որ գործ ունենք թվային համակարգի հետ խառը կամ վեկտորի վրա հիմնված, եթե մեզ տրվի n բնական թվերի վեկտոր M = (m 1 , . . . ,m n) (հիմք), իսկ K = (k 0 , k 1 , . . . , k n) նշումը նշանակում է թիվը։ k = k 0 +m 1 (k 1 +m 2 (k 2 + · · +m n ·k n) . .)). Գրեք ծրագիր, որը, հաշվի առնելով տվյալները (շաբաթվա օր, ժամ, րոպե, վայրկյան), կորոշի, թե քանի վայրկյան է անցել շաբաթվա սկզբից։ (երկուշաբթի, 0, 0, 0) = 0, և կատարում է հակադարձ փոխակերպումը։
Մենք տեսանք, որ բազմանդամների վրա կատարվող գործողությունները կրճատվում են նրանց գործակիցների վրա կատարվող գործողությունների: Միևնույն ժամանակ, բազմանդամների գումարման, հանման և բազմապատկման համար բավարար են երեք թվաբանական գործողություններ՝ թվերի բաժանում չի պահանջվում։ Քանի որ երկու իրական թվերի գումարը, տարբերությունը և արտադրյալը կրկին իրական թվեր են, իրական գործակիցներով բազմանդամները գումարելով, հանելով և բազմապատկելով, ստացվում են իրական գործակիցներով բազմանդամներ:
Այնուամենայնիվ, միշտ չէ, որ պետք է գործ ունենալ իրական գործակից ունեցող բազմանդամների հետ: Լինում են դեպքեր, երբ, ըստ էության, գործակիցները պետք է ունենան միայն ամբողջ կամ միայն ռացիոնալ արժեքներ։ Կախված նրանից, թե գործակիցների որ արժեքներն են համարվում թույլատրելի, բազմանդամների հատկությունները փոխվում են։ Օրինակ, եթե դիտարկենք բազմանդամները ցանկացած իրական գործակիցներով, ապա կարող ենք ֆակտորիզացնել.
Եթե սահմանափակվենք ամբողջ թվով գործակիցներով բազմանդամներով, ապա (1) ընդլայնումն իմաստ չունի և պետք է բազմանդամը համարենք անբաժանելի գործոնների մեջ։
Սա ցույց է տալիս, որ բազմանդամների տեսությունը էապես կախված է նրանից, թե որ գործակիցներն են համարվում ընդունելի։ Գործակիցների ցանկացած շարքից հեռու կարելի է ընդունելի համարել: Օրինակ, դիտարկենք բոլոր այն բազմանդամները, որոնց գործակիցները կենտ ամբողջ թվեր են: Հասկանալի է, որ երկու նման բազմանդամների գումարն այլևս չի լինի նույն տիպի բազմանդամ. չէ՞ որ կենտ թվերի գումարը զույգ թիվ է։
Եկեք հարց տանք. որո՞նք են գործակիցների «լավ» բազմությունները: Ե՞րբ է տրված տիպի գործակիցներով բազմանդամների գումարը, տարբերությունը, արտադրյալը նույն տեսակի գործակիցներ ունենում: Այս հարցին պատասխանելու համար ներկայացնում ենք թվային օղակ հասկացությունը։
Սահմանում. Թվերի ոչ դատարկ բազմությունը կոչվում է թվային օղակ, եթե ցանկացած երկու a և 2 թվերի հետ միասին պարունակում է դրանց գումարը, տարբերությունը և արտադրյալը: Դա արտահայտվում է նաև ավելի հակիրճ ասելով, որ թվային օղակը փակվում է գումարման, հանման և բազմապատկման գործողությունների ներքո։
1) Ամբողջ թվերի բազմությունը թվային օղակ է՝ ամբողջ թվերի գումարը, տարբերությունը և արտադրյալը ամբողջ թվեր են։ Բնական թվերի բազմությունը թվային օղակ չէ, քանի որ բնական թվերի տարբերությունը կարող է բացասական լինել։
2) Բոլոր ռացիոնալ թվերի բազմությունը թվային օղակ է, քանի որ ռացիոնալ թվերի գումարը, տարբերությունը և արտադրյալը ռացիոնալ են:
3) Կազմում է թվային օղակ և բոլոր իրական թվերի բազմությունը:
4) a ձևի թվերը, որտեղ a-ն և ամբողջ թվերը կազմում են թվային օղակ: Սա հետևում է հարաբերություններից.
5) Կենտ թվերի բազմությունը թվային օղակ չէ, քանի որ կենտ թվերի գումարը զույգ է: Զույգ թվերի բազմությունը թվային օղակ է։
Կրթության դաշնային գործակալություն
Բարձրագույն մասնագիտական կրթության պետական ուսումնական հաստատություն
Վյատկայի պետական հումանիտար համալսարան
Մաթեմատիկայի ֆակուլտետ
Մաթեմատիկական անալիզի և մեթոդների բաժին
մաթեմատիկայի դասավանդում
Վերջնական որակավորման աշխատանք
թեմայի շուրջ՝ Գաուսի ամբողջ թվերի օղակ։
Ավարտված:
5-րդ կուրսի ուսանող
Մաթեմատիկայի ֆակուլտետ
Գնուսով Վ.Վ.
___________________________
Գիտական խորհրդատու.
ամբիոնի ավագ դասախոս
հանրահաշիվ և երկրաչափություն
Սեմենով Ա.Ն.
___________________________
Գրախոս.
ֆիզիկամաթեմատիկական գիտությունների թեկնածու գիտություններ, դոց
Հանրահաշվի և երկրաչափության բաժին
Կովյազինա Է.Մ.
___________________________
Ընդունվել է ՊԱԿ-ում պաշտպանության
Գլուխ Բաժին ________________ Վեչտոմով Է.Մ.
« »________________
Ֆակուլտետի դեկան ___________________ Վարանկինա Վ.Ի.
Ներածություն.
Ամբողջ թվերի բարդ թվերի օղակ
հայտնաբերվել է Կարլ Գաուսի կողմից և նրա անունով կոչվել Գաուսյան։Կ.Գաուսը եկել է երկրորդ աստիճանի համեմատությունների լուծման ալգորիթմների որոնման հետ կապված ամբողջ թվի հայեցակարգի ընդլայնման հնարավորության և անհրաժեշտության գաղափարին: Նա ամբողջ թվի հասկացությունը փոխանցեց ձևի թվերին
, որտեղ կան կամայական ամբողջ թվեր, և հավասարման արմատն է Այս բազմության վրա Կ. Գաուսն առաջինն էր, ով կառուցեց բաժանելիության տեսությունը, որը նման է ամբողջ թվերի բաժանելիության տեսությանը: Նա հիմնավորեց բաժանելիության հիմնական հատկությունների վավերականությունը. ցույց տվեց, որ կոմպլեքս թվերի օղակում կա ընդամենը չորս անշրջելի տարր. ապացուցեց մնացորդով բաժանման թեորեմի վավերականությունը, պարզ գործոնների տարրալուծման եզակիության թեորեմը. ցույց տվեց, թե որ պարզ բնական թվերը կմնան պարզ օղակում. բացահայտեց պարզ ամբողջ թվային բարդ թվերի բնույթը.Կ.Գաուսի մշակած տեսությունը, որը նկարագրված է նրա «Թվաբանական հետազոտություններ» աշխատության մեջ, հիմնարար հայտնագործություն էր թվերի տեսության և հանրահաշվի համար։
Թեզի համար դրվել են հետևյալ նպատակները.
1. Մշակել Գաուսի թվերի օղակի բաժանելիության տեսությունը։
2. Պարզի՛ր պարզ Գաուսական թվերի բնույթը:
3. Ցույց տուր Գաուսական թվերի կիրառությունը սովորական Դիոֆանտին խնդիրների լուծման ժամանակ:
ԳԼՈՒԽ 1. ԲԱԺԱՆԵԼԻՈՒԹՅՈՒՆԸ ԳԱՈՒՍԻ ԹՎԵՐԻ ՕՂԱԿՈՒՄ.
Դիտարկենք բարդ թվերի բազմությունը: Իրական թվերի բազմության հետ անալոգիայով նրանում կարելի է առանձնացնել ամբողջ թվերի ենթաբազմություն։ Ձևի թվերի հավաքածու
, որտեղ կկոչվեն բարդ ամբողջ թվեր կամ Գաուսի թվեր։ Հեշտ է ստուգել, որ օղակի աքսիոմները համապատասխանում են այս հավաքածուին: Այսպիսով, կոմպլեքս թվերի այս բազմությունը օղակ է և կոչվում է Գաուսի ամբողջ թվերի օղակ . Նշենք այն որպես , քանի որ այն օղակի երկարացումն է տարրով՝ .Քանի որ Գաուսի թվերի օղակը կոմպլեքս թվերի ենթաբազմություն է, ապա դրա համար վավեր են կոմպլեքս թվերի որոշ սահմանումներ և հատկություններ։ Օրինակ՝ Գաուսի յուրաքանչյուր թվի համար
համապատասխանում է կետից սկսվող և վերջացող վեկտորի: հետևաբար, մոդուլ Գաուսի թվերն են. Նկատի ունեցեք, որ դիտարկվող բազմությունում ենթամոդուլի արտահայտությունը միշտ ոչ բացասական ամբողջ թիվ է։ Հետեւաբար, որոշ դեպքերում այն ավելի հարմար է օգտագործել նորմը , այսինքն՝ մոդուլի քառակուսին։ Այս կերպ . Կարող ենք առանձնացնել նորմայի հետևյալ հատկությունները. Գաուսի ցանկացած թվի համար ճշմարիտ է հետևյալը. (1) (2) (3) (4) (5) - բնական թվերի բազմություն, այսինքն՝ դրական ամբողջ թվեր։Այս հատկությունների վավերականությունը մանրակրկիտ ստուգվում է մոդուլի միջոցով: Ընթացքում մենք նշում ենք, որ (2), (3), (5) վավեր են նաև ցանկացած բարդ թվերի համար:
Գաուսի թվերի օղակը կոմուտատիվ օղակ է առանց 0-ի բաժանարարների, քանի որ այն բարդ թվերի դաշտի ենթաշրջան է։ Սա ենթադրում է օղակի բազմապատկվող կծկվողություն
, այսինքն (6)1.1 ՀԵՏԱԴԱՐՁԵԼԻ ԵՎ ՀԱՄԱՁԳՈՒՅԴ ՏԱՐՐԵՐ:
Տեսնենք, թե Գաուսի որ թվերը կլինեն շրջելի։ Բազմապատկումը չեզոք է
. Եթե գաուսյան թիվ շրջելի , ապա, ըստ սահմանման, գոյություն ունի այնպիսին, որ . Անցնելով նորմերին, ըստ սեփականության 3-ի, մենք ստանում ենք . Բայց այդ նորմերը բնական են, հետևաբար։ Այսպիսով, ըստ սեփականության 4, . Ընդհակառակը, այս հավաքածուի բոլոր տարրերը հակադարձելի են, քանի որ . Հետևաբար, մեկին հավասար նորմ ունեցող թվերը շրջելի կլինեն, այսինքն՝ , .Ինչպես տեսնում եք, ոչ բոլոր Գաուսի թվերն են շրջելի: Ուստի հետաքրքիր է դիտարկել բաժանելիության հարցը։ Ինչպես միշտ, մենք դա ասում ենք
բաժանված է եթե կա այդպիսին, որ Գաուսի ցանկացած թվի, ինչպես նաև շրջելիների համար հատկությունները ճշմարիտ են: (7) (8) (9) (10) , որտեղ (11) (12)(8), (9), (11), (12) հեշտությամբ ստուգվում են: Վավերականությունը (7) բխում է (2-ից), իսկ (10) բխում է (6-ից): Սեփականության (9) շնորհիվ հավաքածուի տարրերը
Մաթեմատիկայի տարբեր ճյուղերում, ինչպես նաև տեխնոլոգիայի մեջ մաթեմատիկայի կիրառման մեջ հաճախ հանդիպում է մի իրավիճակ, երբ հանրահաշվական գործողություններ կատարվում են ոչ թե թվերի, այլ այլ բնույթի առարկաների վրա։ Օրինակ՝ մատրիցային գումարում, մատրիցային բազմապատկում, վեկտորի գումարում, գործողություններ բազմանդամների վրա, գործողություններ գծային փոխակերպումների վրա և այլն։
Սահմանում 1. Օղակը մաթեմատիկական առարկաների մի ամբողջություն է, որում սահմանվում են երկու գործողություն՝ «գումարում» և «բազմապատկում», որոնք համեմատում են դասավորված զույգ տարրերը իրենց «գումարին» և «արտադրանքին», որոնք նույն բազմության տարրերն են։ Այս գործողությունները համապատասխանում են հետևյալ պահանջներին.
1.ա+բ=բ+ա(ավելացման փոխադարձություն):
2.(ա+բ)+գ=ա+(բ+գ)(ավելացման ասոցիատիվություն):
3. Կա զրո տարր 0 այնպիսին, որ ա+0=ա, ցանկացածի համար ա.
4. Ցանկացածի համար ակա հակառակ տարր − աայնպիսին է, որ ա+(−ա)=0.
5. (a+b)c=ac+bc(ձախ բաշխում):
5".c(a+b)=ca+cb(ճիշտ բաշխում):
2, 3, 4 պահանջները նշանակում են, որ մաթեմատիկական օբյեկտների բազմությունը կազմում է խումբ, իսկ 1-ին կետի հետ գործ ունենք գումարման նկատմամբ կոմուտատիվ (աբելյան) խմբի հետ։
Ինչպես երևում է սահմանումից, օղակի ընդհանուր սահմանման մեջ բազմապատկումների վրա սահմանափակումներ չեն դրվում, բացառությամբ բաշխման՝ գումարումով։ Այնուամենայնիվ, տարբեր իրավիճակներում անհրաժեշտ է դառնում դիտարկել լրացուցիչ պահանջներով օղակներ:
6. (ab)c=a(bc)(բազմապատկման ասոցիատիվություն):
7.ab=ba(բազմապատկման փոխադարձություն):
8. Ինքնության տարրի 1-ի առկայությունը, այսինքն. այդպիսին ա 1=1 a=a, ցանկացած տարրի համար ա.
9. Տարրի ցանկացած տարրի համար ակա հակադարձ տարր ա−1 այնպիսին, որ աա −1 =ա −1 ա= 1.
Տարբեր օղակներում 6, 7, 8, 9 կարելի է կատարել ինչպես առանձին, այնպես էլ տարբեր համակցություններով։
Օղակը կոչվում է ասոցիատիվ, եթե 6-րդ պայմանը բավարարված է, կոմուտատիվ, եթե 7-րդ պայմանը բավարարված է, կոմուտատիվ և ասոցիատիվ, եթե 6-րդ և 7-րդ պայմանները բավարարված են, Օղակը կոչվում է միավոր օղակ, եթե 8-րդ պայմանը բավարարված է:
Օղակների օրինակներ.
1. Քառակուսի մատրիցների հավաքածու:
Իսկապես։ 1-5, 5-րդ կետերի կատարումն ակնհայտ է: Զրոյական տարրը զրոյական մատրիցն է: Բացի այդ, կատարվում են 6-րդ կետը (բազմապատկման ասոցիատիվություն), 8-րդ կետը (միավոր տարրը նույնականացման մատրիցն է): 7-րդ և 9-րդ կետերը. չեն կատարվում, քանի որ ընդհանուր դեպքում քառակուսի մատրիցների բազմապատկումը ոչ կոմուտատիվ է, ինչպես նաև միշտ չէ, որ քառակուսի մատրիցին հակադարձ է լինում:
2. Բոլոր կոմպլեքս թվերի բազմությունը:
3. Բոլոր իրական թվերի բազմությունը:
4. Բոլոր ռացիոնալ թվերի բազմությունը:
5. Բոլոր ամբողջ թվերի բազմությունը:
Սահմանում 2. Թվերի ցանկացած համակարգ, որը պարունակում է իր ցանկացած երկու թվերի գումարը, տարբերությունը և արտադրյալը կոչվում է. համարի մատանին.
2-5-րդ օրինակները թվային օղակներ են: Թվային օղակները նաև բոլոր զույգ թվերն են, ինչպես նաև բոլոր այն ամբողջ թվերը, որոնք առանց մնացորդի բաժանվում են n բնական թվի վրա։ Նկատի ունեցեք, որ կենտ թվերի բազմությունը օղակ չէ երկու կենտ թվերի գումարը զույգ թիվ է:
