Ծրագրավորման դասընթացից հայտնի է, որ ամբողջ թիվը համակարգչային հիշողության մեջ կարող է ներկայացվել տարբեր ձևերով, մասնավորապես, այս ներկայացումը կախված է նրանից, թե ինչպես է այն նկարագրվում՝ որպես ամբողջ թվի տիպի արժեք, թե իրական, թե տող: Միևնույն ժամանակ, ծրագրավորման լեզուների մեծ մասում ամբողջ թվերը հասկացվում են որպես թվեր շատ սահմանափակ միջակայքից. բնորոշ դեպք է -2 15 = -32768-ից մինչև 2 15 - 1 = 32767: Համակարգեր համակարգչային հանրահաշիվգործ ունենալ մեծ ամբողջ թվերի հետ, մասնավորապես, ցանկացած նման համակարգ կարող է հաշվարկել և ցուցադրել 1000-ի նման թվեր տասնորդական նշումով: (ավելի քան հազար նիշ):

Այս դասընթացում մենք կքննարկենք ամբողջ թվերի ներկայացումը խորհրդանշական ձևով և չմանրամասնենք, թե որքան հիշողություն է հատկացվել մեկ նիշ (բիթ, բայթ կամ այլ) գրելու համար: Ամենատարածվածը ամբողջ թվերի ներկայացումն է դիրքային թվային համակարգեր. Նման համակարգը որոշվում է թվի հիմքի ընտրությամբ, օրինակ՝ 10։ Տասնորդական ամբողջ թվերի բազմությունը սովորաբար նկարագրվում է հետևյալ կերպ.

Ամբողջ թվերի գրավոր սահմանումը տալիս է յուրաքանչյուր այդպիսի թվի ներկայացման եզակիությունը, և նմանատիպ սահմանում (միայն, գուցե տարբեր հիմքերով) օգտագործվում է համակարգերի մեծ մասում։ համակարգչային հանրահաշիվ. Օգտագործելով այս ներկայացումը, հարմար է թվաբանական գործողություններ իրականացնել ամբողջ թվերի վրա: Միևնույն ժամանակ գումարումն ու հանումը համեմատաբար «էժան» գործողություններ են, մինչդեռ բազմապատկումն ու բաժանումը «թանկ» են։ Թվաբանական գործողությունների բարդությունը գնահատելիս պետք է հաշվի առնել և՛ տարրական գործողության արժեքը (մեկ բիթ), և՛ մեկ բիթանոց գործողությունների քանակը՝ բազմանիշ թվերի վրա ցանկացած գործողություն կատարելու համար։ Բազմապատկման և բաժանման բարդությունը պայմանավորված է, առաջին հերթին, նրանով, որ թվի երկարության աճով (նրա նշումը ցանկացած թվային համակարգում) տարրական գործողությունների թիվը մեծանում է ըստ քառակուսի օրենքի, ի տարբերություն. գծայինը՝ գումարման և հանման համար: Բացի այդ, այն, ինչ մենք սովորաբար անվանում ենք բազմանիշ բաժանման ալգորիթմ, իրականում հիմնված է գործակիցի հնարավոր հաջորդ թվանշանի թվարկման (հաճախ շատ նշանակալի) վրա, և բավարար չէ միայն միանիշ թվերի բաժանման կանոնների օգտագործումը: Թվային համակարգի մեծ բազայի դեպքում (հաճախ այն կարող է լինել 2 30 կարգի), այս մեթոդն անարդյունավետ է:

Թող լինի բնական թիվ (գրված տասնորդական համակարգով): Նրա ռեկորդը ստանալու համար -ary թվային համակարգում կարող եք օգտագործել հետևյալ ալգորիթմը (նշում է թվի ամբողջական մասը).

Տրված է՝ A-բնական թիվ տասնորդական թվային համակարգում k > 1-բնական թիվ Անհրաժեշտ է՝ A թվի գրառում k-արային թվային համակարգում Սկսել i:= 0 ցիկլ, մինչդեռ A > 0 bi:= A (mod k) A: = i:= i + 1 ցիկլի ավարտ dA:= i - 1 վերջ

Հետևյալ ալգորիթմն օգտագործվում է տասնորդական թիվը վերականգնելու համար իր k-ary նշումների հաջորդականությունից.

Տրված է՝ k > 1-բնական թիվ K-արային համակարգում A թիվը ներկայացնող թվանշանների հաջորդականություն Անհրաժեշտ է՝ A թվի գրանցում տասնորդական նշումով Սկսել A:= 0 ցիկլ մինչև հաջորդականության ավարտը b:= հաջորդը: A:= A * k + b հաջորդականության տարրը Վերջ

1.2. ՎԱՐԺՈՒԹՅՈՒՆԸ. Բացատրեք, թե ինչու է բաժանումն օգտագործվում տասնորդական համակարգից թիվը k թվի փոխարկելու համար, իսկ բազմապատկումը՝ k թվից տասնորդականի փոխարկելու համար:

Տասնորդական թվային համակարգում երկու երկնիշ թվեր «սյունակով» բազմապատկելով՝ կատարում ենք հետևյալ գործողությունները.

(10a + b) (10c + d) = 100ac + 10 (ad + bc) + bd,

այսինքն՝ միանիշ թվերի բազմապատկման 4, գումարման 3 և թվային բազայի հզորությամբ բազմապատկման 2 գործողություն, որոնք կրճատվում են հերթափոխի։ Բարդությունը գնահատելիս կարելի է հաշվի առնել բոլոր տարրական գործողությունները՝ առանց դրանք կշիռներով բաժանելու (այս օրինակում ունենք 9 տարրական գործողություն)։ Ալգորիթմի օպտիմալացման խնդիրը այս մոտեցմամբ կրճատվում է տարրական գործողությունների ընդհանուր թիվը նվազագույնի հասցնելու համար: Կարելի է, սակայն, համարել, որ բազմապատկումն ավելի «թանկ» գործողություն է, քան գումարումը, որն իր հերթին «ավելի թանկ» է, քան հերթափոխը։ Հաշվի առնելով միայն ամենաթանկ վիրահատությունները՝ մենք ստանում ենք դա բազմապատկիչԵրկնիշ թվերը «սյունակով» բազմապատկելու բարդությունը 4 է։

Բաժին 5-ում դիտարկվում են ամենամեծ ընդհանուր բաժանարարների հաշվարկման ալգորիթմները և գնահատում դրանց բարդությունը:

Դիտարկված ներկայացումը ամբողջ թվերի միակ կանոնական ներկայացումը չէ։ Ինչպես արդեն նշվեց, կանոնական ներկայացում ընտրելու համար կարելի է օգտագործել բնական թվի գործակցման եզակիությունը պարզ գործոնների: Ամբողջ թվի նման ներկայացումը կարող է օգտագործվել այն խնդիրներում, որտեղ օգտագործվում են միայն բազմապատկման և բաժանման գործողություններ, քանի որ դրանք շատ «էժան» են դառնում, սակայն գումարման և հանման գործողությունների արժեքը անհամաչափ մեծանում է, ինչը խանգարում է նման ներկայացման կիրառմանը: Որոշ խնդիրների դեպքում կանոնական ներկայացման մերժումը արագության զգալի ձեռքբերում է տալիս, մասնավորապես, կարելի է օգտագործել թվի մասնակի ֆակտորիզացիա։ Նմանատիպ մեթոդը հատկապես օգտակար է ոչ թե թվերի, այլ բազմանդամների հետ աշխատելիս։

Եթե ​​հայտնի է, որ ծրագրի գործարկման ընթացքում հաշվարկներում հանդիպող բոլոր ամբողջ թվերը բացարձակ արժեքով սահմանափակվում են որոշակի հաստատունով, ապա այդպիսի թվեր սահմանելու համար դրանց մնացորդների համակարգը որոշ համապարփակ թվերի մոդուլում, որոնց արտադրյալը գերազանցում է. նշված հաստատուն, կարող է օգտագործվել։ Մնացորդային դասերի հետ հաշվարկները սովորաբար ավելի արագ են, քան բազմակի ճշգրիտ թվաբանությունը: Եվ այս մոտեցման դեպքում բազմակի ճշգրիտ թվաբանությունը պետք է օգտագործվի միայն տեղեկատվություն մուտքագրելու կամ ելքի ժամանակ:

Նշենք, որ համակարգերում կանոնական ներկայացումների հետ մեկտեղ համակարգչային հանրահաշիվօգտագործվում են նաև այլ ներկայացումներ: Մասնավորապես, ցանկալի է, որ ամբողջ թվի դիմաց «+» նշանի առկայությունը կամ բացակայությունը չազդի այն համակարգչի ընկալման վրա։ Այսպիսով, դրական թվերի համար ստացվում է երկիմաստ ներկայացում, թեև բացասական թվերի ձևը եզակիորեն սահմանված է։

Մյուս պահանջն այն է, որ թվի ընկալման վրա չպետք է ազդի առաջին նշանակալի թվանշանից առաջ զրոների առկայությունը:

1.3. ՎԱՐԺՈՒԹՅՈՒՆՆԵՐ.

1. Գնահատե՛ք միանիշ բազմապատկումների թիվը, որոնք օգտագործվում են m-նիշ թիվը n-նիշ թվով սյունակով բազմապատկելիս:
2. Ցույց տվեք, որ երկու երկնիշ թվերը կարելի է բազմապատկել՝ օգտագործելով միայն 3 միանիշ բազմապատկում և ավելացնելով գումարումների քանակը:
3. Գտեք երկար թվերի բաժանման ալգորիթմ, որը շատ թվարկում չի պահանջում գործակիցի առաջին թվանշանը գտնելու համար:
4. Նկարագրե՛ք բնական թվերը m-արային թվային համակարգից n-արին փոխարկելու ալգորիթմը:
5. Վ Հռոմեական համարակալումԹվեր գրելու համար օգտագործվում են հետևյալ նշանները՝ I - մեկ, V - հինգ, X - տասը, L - հիսուն, C - հարյուր, D - հինգ հարյուր, M - հազար: Խորհրդանիշը համարվում է բացասական, եթե աջ կողմում կա ավելի մեծ թվի նշան, իսկ հակառակ դեպքում՝ դրական: Օրինակ, այս համակարգում 1948 թիվը կգրվի այսպես՝ MCMXLVIII: Ձևակերպեք թիվը հռոմեականից տասնորդականի և հակառակը փոխարկելու ալգորիթմ: Իրականացրեք ստացված ալգորիթմը ալգորիթմական լեզուներից մեկում (օրինակ, C): Նախնական տվյալների սահմանափակումներ՝ 1<= N < 3700 , в записи результата ни один символ не должен появляться больше 3 раз.
6. Ձևակերպեք ալգորիթմ և գրեք ծրագիր հռոմեական թվերում բնական թվեր գումարելու համար:
7. Մենք կասենք, որ գործ ունենք թվային համակարգի հետ խառը կամ վեկտորի վրա հիմնված, եթե մեզ տրվի n բնական թվերի վեկտոր M = (m 1 , . . . ,m n) (հիմք), իսկ K = (k 0 , k 1 , . . , k n) նշումը նշանակում է թիվը։ k = k 0 +m 1 (k 1 +m 2 (k 2 + · · +m n ·k n) ..)). Գրեք ծրագիր, որը, հաշվի առնելով տվյալները (շաբաթվա օր, ժամ, րոպե, վայրկյան), կորոշի, թե քանի վայրկյան է անցել շաբաթվա սկզբից։ (երկուշաբթի, 0, 0, 0) = 0, և կատարում է հակադարձ փոխակերպումը։

Օրինակներ

a + b i (\displaystyle a+bi)որտեղ a (\displaystyle a)և b (\displaystyle b)ռացիոնալ թվեր, i (\displaystyle i)երևակայական միավորն է։ Նման արտահայտությունները կարելի է ավելացնել և բազմապատկել բարդ թվերի հետ գործառնությունների սովորական կանոնների համաձայն, և յուրաքանչյուր ոչ զրոյական տարր ունի հակադարձ, ինչպես երևում է հավասարությունից. (a + bi) (aa 2 + b 2 − ba 2 + b 2 i) = (a + bi) (a − bi) a 2 + b 2 = 1. (\ցուցադրման ոճ (a+bi)\ձախ(( \frac (a)(a^(2)+b^(2)))-(\frac (b)(a^(2)+b^(2)))i\right)=(\frac (( a+bi)(a-bi))(a^(2)+b^(2)))=1.)Այստեղից հետևում է, որ ռացիոնալ Գաուսի թվերը կազմում են մի դաշտ, որը երկչափ տարածություն է (այսինքն՝ քառակուսի դաշտ):

• Ավելի ընդհանուր՝ ցանկացած քառակուսի ազատ ամբողջ թվի համար d (\displaystyle d) Q (d) (\displaystyle \mathbb (Q) ((\sqrt (d))))կլինի քառակուսի դաշտի ընդլայնում Q (\displaystyle \mathbb (Q)).
• շրջանաձև դաշտ Q (ζ n) (\displaystyle \mathbb (Q) (\zeta _(n)))ստացվել է ավելացնելով Q (\displaystyle \mathbb (Q))պարզունակ արմատ nմիասնության ուժը. Դաշտը պետք է պարունակի նաև իր բոլոր ուժերը (այսինքն՝ բոլոր արմատները nմիասնության ուժը), դրա չափն ավարտված է Q (\displaystyle \mathbb (Q))հավասար է Էյլերի ֆունկցիային φ (n) (\displaystyle \varphi (n)).
• Իրական և կոմպլեքս թվերն անսահման ուժ ունեն ռացիոնալ թվերի նկատմամբ, ուստի դրանք թվային դաշտեր չեն։ Սա հետևում է անհաշվելիությունից. ցանկացած թվային դաշտ հաշվելի է:
• Բոլոր հանրահաշվական թվերի դաշտը A (\displaystyle \mathbb (A))թվային չէ. Չնայած երկարաձգումը A ⊃ Q (\displaystyle \mathbb (A) \supset \mathbb (Q))հանրահաշվորեն այն վերջավոր չէ:

Ամբողջ թվերի օղակ՝ թվային դաշտ

Քանի որ թվային դաշտը դաշտի հանրահաշվական ընդլայնումն է Q (\displaystyle \mathbb (Q)), նրա ցանկացած տարր ռացիոնալ գործակիցներով ինչ-որ բազմանդամի արմատ է (այսինքն՝ հանրահաշվական է)։ Ավելին, յուրաքանչյուր տարր ամբողջ թվային գործակիցներով բազմանդամի արմատ է, քանի որ հնարավոր է բոլոր ռացիոնալ գործակիցները բազմապատկել հայտարարների արտադրյալով: Եթե ​​տրված տարրը ամբողջ թվային գործակիցներով ինչ-որ միավոր բազմանդամի արմատ է, այն կոչվում է ամբողջ թվային տարր (կամ հանրահաշվական ամբողջ թիվ): Թվերի դաշտի ոչ բոլոր տարրերն են ամբողջ թվեր. օրինակ, հեշտ է ցույց տալ, որ միակ ամբողջ թվային տարրերը. Q (\displaystyle \mathbb (Q))կանոնավոր ամբողջ թվեր են:

Կարելի է ապացուցել, որ երկու հանրահաշվական ամբողջ թվերի գումարը և արտադրյալը դարձյալ հանրահաշվական ամբողջ թիվ են, ուստի ամբողջ թվային տարրերը կազմում են թվային դաշտի ենթաշրջան։ K (\displaystyle K)կանչեց ամբողջ մատանինդաշտերը K (\displaystyle K)և նշվում է . Դաշտը չի պարունակում զրո բաժանարարներ, և այս հատկությունը ժառանգվում է ենթաշրջանին անցնելիս, ուստի ամբողջ թվերի օղակն ինտեգրալ է. անձնական մատանի տուփ O K (\displaystyle (\mathcal (O))_(K))հենց ոլորտն է K (\displaystyle K). Ցանկացած թվային դաշտի ամբողջ թվերի օղակն ունի հետևյալ երեք հատկությունները՝ այն ինտեգրալ փակ է, նոեթերական և միաչափ։ Այս հատկություններով փոխադարձ օղակը կոչվում է Դեդեկինդ՝ Ռիչարդ Դեդեկինդի անունով:

Տարրալուծումը պարզ թվերի և դասերի խմբի

Դեդեկինդի կամայական օղակում կա ոչ զրոյական իդեալների յուրահատուկ տարրալուծում պարզ իդեալների արտադրյալի: Այնուամենայնիվ, ամբողջ թվերի ոչ բոլոր օղակները բավարարում են գործոնային հատկությունը. արդեն ամբողջ թվերի օղակի համար քառակուսի դաշտ է: OQ (− 5) = Z [ − 5 ] (\displaystyle (\mathcal (O))_(\mathbb (Q) ((\sqrt (-5))))=\mathbb (Z) [(\sqrt ( -5))])տարրալուծումը եզակի չէ.

6 = 2 ⋅ 3 = (1 + − 5) (1 − − 5) (\displaystyle 6=2\cdot 3=(1+(\sqrt (-5)))(1-(\sqrt (-5) )))

Այս օղակի վրա նորմ մտցնելով՝ մենք կարող ենք ցույց տալ, որ այդ ընդարձակումները իսկապես տարբեր են, այսինքն՝ մեկը մյուսից չի կարելի ստանալ՝ բազմապատկելով անշրջելի տարրով։

Գործոնային հատկության խախտման աստիճանը չափվում է իդեալական դասի խմբի միջոցով, ամբողջ թվերի օղակի համար այս խումբը միշտ վերջավոր է, և դրա կարգը կոչվում է դասերի քանակ:

Թվային դաշտերի հիմքերը

ամբողջ հիմքը

ամբողջ հիմքըհամարի դաշտ Ֆաստիճան n- դա հավաքածու է

Բ = {բ 1 , …, b n}

-ից nամբողջ թվերի դաշտերի օղակի տարրեր Ֆ, այնպիսին, որ ամբողջ թվերի օղակի ցանկացած տարր Օ Ֆդաշտերը Ֆկարելի է գրել միայն որպես Զ- տարրերի գծային համադրություն Բ; այսինքն՝ ցանկացածի համար x-ից Օ Ֆկա յուրահատուկ տարրալուծում

x = մ 1 բ 1 + … + m n b n,

որտեղ m iկանոնավոր ամբողջ թվեր են: Այս դեպքում ցանկացած տարր Ֆկարելի է գրել որպես

մ 1 բ 1 + … + m n b n,

որտեղ m iռացիոնալ թվեր են։ Դրանից հետո ամբողջ տարրերը Ֆառանձնանում են այն հատկությամբ, որ սրանք հենց այն տարրերն են, որոնց համար բոլոր m iամբողջ.

Օգտագործելով այնպիսի գործիքներ, ինչպիսիք են տեղայնացումը և Ֆրոբենիուսի էնդոմորֆիզմը, կարելի է նման հիմք ստեղծել ցանկացած թվային դաշտի համար: Դրա կառուցումը ներկառուցված հատկություն է համակարգչային հանրահաշվի շատ համակարգերում:

Հզորության հիմքը

Թող Ֆ- թվային աստիճանի դաշտ n. Բոլոր հնարավոր հիմքերի շարքում Ֆ(ինչպես Ք-վեկտորային տարածություն), կան ուժային հիմքեր, այսինքն՝ ձևի հիմքեր

B x = {1, x, x 2 , …, x n−1 }

ոմանց համար x ∈ Ֆ. Ըստ պարզունակ տարրի թեորեմի՝ այդպիսին xմիշտ գոյություն ունի, այն կոչվում է պարզունակ տարրայս ընդլայնումը.

Նորմ և հետք

Հանրահաշվական թվային դաշտը վերջավոր չափերով վեկտորային տարածություն է Q (\displaystyle \mathbb (Q))(մենք նշում ենք դրա չափը որպես n (\displaystyle n)), իսկ դաշտի կամայական տարրով բազմապատկումը այս տարածության գծային փոխակերպումն է։ Թող e 1, e 2, … e n (\displaystyle e_(1),e_(2),\ldots e_(n))- ցանկացած հիմք Ֆ, ապա փոխակերպումը x ↦ α x (\displaystyle x\mapsto \alpha x)համապատասխան մատրիցա A = (a i j) (\displaystyle A=(a_(ij))), պայմանով որոշված

α e i = ∑ j = 1 n a i j e j, a i j ∈ Q. (\displaystyle \alpha e_(i)=\sum _(j=1)^(n)a_(ij)e_(j),\quad a_(ij)\in \mathbf (Q) .)

Այս մատրիցայի տարրերը կախված են հիմքի ընտրությունից, սակայն մատրիցային բոլոր ինվարիանտները, ինչպիսիք են որոշիչը և հետքը, կախված չեն դրանից: Հանրահաշվական ընդլայնումների համատեքստում տարրի բազմապատկման մատրիցայի որոշիչը կոչվում է. նորմըայս տարրը (նշված է N (x) (\displaystyle N(x))); մատրիցային հետք - հետքի տարր(նշվում է Tr (x) (\displaystyle (\text(Tr))(x))).

Տարրի հետքը գծային ֆունկցիոնալ է Ֆ:

Tr (x + y) = Tr (x) + Tr (y) (\ցուցադրման ոճ (\text(Tr))(x+y)=(\text(Tr))(x)+(\text(Tr)) (y))և Tr (λ x) = λ Tr (x) , λ ∈ Q (\displaystyle (\text(Tr))(\lambda x)=\lambda (\text(Tr))(x),\lambda \in \mathbb (Q)).

Նորմը բազմապատկիչ և միատարր ֆունկցիա է.

N (x y) = N (x) ⋅ N (y) (\displaystyle N(xy)=N(x)\cdot N(y))և N (λ x) = λ n N (x) , λ ∈ Q (\displaystyle N(\lambda x)=\lambda ^(n)N(x),\lambda \in \mathbb (Q) ).

Որպես սկզբնական հիմք, դուք կարող եք ընտրել ամբողջ թվի հիմքը, բազմապատկումը ամբողջ հանրահաշվական թվով (այսինքն, ամբողջ թվերի օղակի տարրով) այս հիմքում կհամապատասխանի ամբողջ թվային տարրերով մատրիցային: Հետևաբար, ամբողջ թվերի օղակի ցանկացած տարրի հետքը և նորմը ամբողջ թվերն են:

Նորմ օգտագործելու օրինակ

Թող d (\displaystyle d)- - ամբողջ թվային տարր, քանի որ այն կրճատված բազմանդամի արմատն է x 2 − d (\ցուցադրման ոճ x^(2)-d)): Այս հիմքում բազմապատկվում է a + b d (\displaystyle a+b(\sqrt (d)))համապատասխան մատրիցա

(a d b b a) (\displaystyle (\begin(pmatrix)a&db\\b&a\ end(pmatrix)))

Հետևաբար, N (a + b d) = a 2 − d b 2 (\displaystyle N(a+b(\sqrt (d)))=a^(2)-db^(2)). Օղակի տարրերի վրա այս նորմը վերցնում է ամբողջ արժեքներ: Նորմը բազմապատկվող խմբի հոմոմորֆիզմ է Z [ d ] (\displaystyle \mathbb (Z) [(\sqrt (d))])մեկ բազմապատկվող խմբի համար Z (\displaystyle \mathbb (Z)), ուստի օղակի շրջելի տարրերի նորմը կարող է հավասարվել միայն 1 (\displaystyle 1)կամ − 1 (\displaystyle -1). Պելլի հավասարումը լուծելու համար a 2 − d b 2 = 1 (\displaystyle a^(2)-db^(2)=1)Բավական է գտնել ամբողջ թվերի օղակի բոլոր անշրջելի տարրերը (նաև կոչվում են. օղակաձեւ միավորներ) և դրանցից ընտրել նորմ ունեցողներին 1 (\displaystyle 1). Դիրիխլեի միավորի թեորեմի համաձայն՝ տրված օղակի բոլոր շրջելի տարրերը մեկ տարրի ուժեր են (մինչև բազմապատկվելը − 1 (\displaystyle -1)Հետևաբար, Pell-ի հավասարման բոլոր լուծումները գտնելու համար բավական է գտնել մեկ հիմնարար լուծում:

տես նաեւ

գրականություն

• Հ.Քոչ.Հանրահաշվական թվերի տեսություն. - M.: VINITI, 1990. - T. 62. - 301 p. - (Գիտության և տեխնիկայի արդյունքներ. Մաթեմատիկայի ժամանակակից խնդիրներ. Հիմնարար ուղղություններ» շարքը):
• Չեբոտարև Ն.Գ.Գալուայի տեսության հիմունքները. Մաս 2. - Մ.: Խմբագրական URSS, 2004 թ.
• Վեյլ Գ.Հանրահաշվական թվերի տեսություն. Պեր. անգլերենից - M.: Editorial URSS, 2011:
• Սերժ Լանգ, Հանրահաշվական թվերի տեսություն, երկրորդ հրատարակություն, Springer, 2000 թ

Մենք տեսանք, որ բազմանդամների վրա կատարվող գործողությունները կրճատվում են նրանց գործակիցների վրա կատարվող գործողությունների: Միևնույն ժամանակ, բազմանդամների գումարման, հանման և բազմապատկման համար բավարար են թվաբանական երեք գործողությունները՝ թվերի բաժանումը պարտադիր չէր։ Քանի որ երկու իրական թվերի գումարը, տարբերությունը և արտադրյալը կրկին իրական թվեր են, ապա իրական գործակիցներով բազմանդամները գումարելով, հանելով և բազմապատկելով, ստացվում են իրական գործակիցներով բազմանդամներ:

Այնուամենայնիվ, միշտ չէ, որ պետք է գործ ունենալ իրական գործակից ունեցող բազմանդամների հետ: Լինում են դեպքեր, երբ, ըստ էության, գործակիցները պետք է ունենան միայն ամբողջ կամ միայն ռացիոնալ արժեքներ։ Կախված նրանից, թե գործակիցների որ արժեքներն են համարվում ընդունելի, փոխվում են բազմանդամների հատկությունները։ Օրինակ, եթե դիտարկենք բազմանդամներ ցանկացած իրական գործակիցներով, ապա կարող ենք ֆակտորիզացնել.

Եթե ​​սահմանափակվենք ամբողջ թվով գործակիցներով բազմանդամներով, ապա (1) ընդլայնումն իմաստ չունի և պետք է բազմանդամը համարենք անբաժանելի գործոնների մեջ։

Սա ցույց է տալիս, որ բազմանդամների տեսությունը էապես կախված է նրանից, թե որ գործակիցներն են համարվում ընդունելի։ Գործակիցների ցանկացած շարքից հեռու կարելի է ընդունելի համարել: Օրինակ, դիտարկենք բոլոր այն բազմանդամները, որոնց գործակիցները կենտ ամբողջ թվեր են: Հասկանալի է, որ երկու նման բազմանդամների գումարն այլևս չի լինի նույն տեսակի բազմանդամ. չէ՞ որ կենտ թվերի գումարը զույգ թիվ է։

Եկեք հարց տանք. որո՞նք են գործակիցների «լավ» բազմությունները: Ե՞րբ է տվյալ տեսակի գործակից ունեցող բազմանդամների գումարը, տարբերությունը, արտադրյալը նույն տեսակի գործակիցներ ունենում: Այս հարցին պատասխանելու համար ներկայացնում ենք թվային օղակ հասկացությունը։

Սահմանում. Թվերի ոչ դատարկ բազմությունը կոչվում է թվային օղակ, եթե ցանկացած երկու a և 2 թվերի հետ միասին պարունակում է դրանց գումարը, տարբերությունը և արտադրյալը: Սա արտահայտվում է նաև ավելի հակիրճ ասելով, որ թվային օղակը փակվում է գումարման, հանման և բազմապատկման գործողություններով։

1) Ամբողջ թվերի բազմությունը թվային օղակ է՝ ամբողջ թվերի գումարը, տարբերությունը և արտադրյալը ամբողջ թվեր են։ Բնական թվերի բազմությունը թվային օղակ չէ, քանի որ բնական թվերի տարբերությունը կարող է բացասական լինել։

2) Բոլոր ռացիոնալ թվերի բազմությունը թվային օղակ է, քանի որ ռացիոնալ թվերի գումարը, տարբերությունը և արտադրյալը ռացիոնալ են:

3) Կազմում է թվային օղակ և բոլոր իրական թվերի բազմությունը:

4) a ձևի թվերը, որտեղ a-ն և ամբողջ թվերը կազմում են թվային օղակ: Հարաբերություններից սա հետևում է.

5) Կենտ թվերի բազմությունը թվային օղակ չէ, քանի որ կենտ թվերի գումարը զույգ է: Զույգ թվերի բազմությունը թվային օղակ է։

Այն օղակը, որում ներմուծված է «զրոյից մեծ» կապը (նշվում է > 0-ով), կոչվում է. տեղակայված մատանին, եթե այս օղակի որևէ տարրի համար երկու պայման է բավարարվում.

1) պայմաններից մեկը և միայն մեկը ճիշտ է

a > 0 \/ –a >0 \/ a = 0

2) a > 0 /\ b > 0 => a + b > 0 /\ ab > 0:

Բազմությունը, որում ներմուծվում է որոշակի կարգի հարաբերություն՝ ոչ խիստ (ռեֆլեքսիվ, հակասիմետրիկ և անցողիկ) կամ խիստ (հակառեֆլեքսիվ և անցողիկ) կոչվում է. կարգուկանոն. Եթե ​​տրիխոտոմիայի օրենքը բավարարված է, ապա բազմությունը կոչվում է գծայինկարգուկանոն. Եթե ​​դիտարկենք ոչ թե կամայական բազմություն, այլ հանրահաշվական ինչ-որ համակարգ, օրինակ՝ օղակ կամ դաշտ, ապա նման համակարգի դասավորության համար միապաղաղության պահանջներ են ներկայացվում նաև այս համակարգում ներդրված գործողությունների նկատմամբ (հանրահաշվական կառուցվածք): Այսպիսով պատվիրված օղակ/դաշտոչ զրոյական օղակ/դաշտ է, որտեղ ներկայացվում է գծային կարգի հարաբերություն (a > b), որը բավարարում է երկու պայման.

1) a > b => a + c > b + c;

2) a > b, c > 0 => a c > b c;

Թեորեմ 1.Ցանկացած տեղակայված օղակ պատվիրված համակարգ է (մատանի):

Իսկապես, եթե ռինգում մտցվի «0-ից մեծ» հարաբերությունը, ապա հնարավոր է նաև ավելի մեծ հարաբերություն ներմուծել երկու կամայական տարրերի համար, եթե ենթադրենք, որ.

a > b  a - b > 0.

Նման հարաբերությունը խիստ, գծային կարգի հարաբերություն է։

Այս «ավելի քան» կապը հակառեֆլեքսիվ է, քանի որ a > a պայմանը համարժեք է a - a > 0 պայմանին, վերջինս հակասում է այն փաստին, որ a - a = 0 (ըստ տեղակայված օղակի առաջին պայմանի, տարրը չի կարող լինել և՛ 0-ից մեծ, և՛ 0-ի հավասար): Այսպիսով, a > a պնդումը սխալ է ցանկացած a տարրի համար, ուստի հարաբերությունը հակառեֆլեքսային է:

Եկեք ապացուցենք անցողիկությունը. եթե a > b և b > c, ապա a > c: Ըստ սահմանման, թեորեմի պայմաններից հետևում է, որ a - b > 0 և b - c > 0: Այս երկու տարրերը ավելացնելով զրոյից մեծ, մենք կրկին ստանում ենք զրոյից մեծ տարր (ըստ տեղակայված օղակի երկրորդ պայմանի. ):

a - b + b - c \u003d a - c\u003e 0.

Վերջինս նշանակում է, որ a > c. Այսպիսով, ներդրված հարաբերությունը խիստ կարգի հարաբերություն է։ Ընդ որում, այս հարաբերությունը գծային կարգի հարաբերություն է, այսինքն՝ բնական թվերի բազմության համար, տրիխոտոմիայի թեորեմ:

Ցանկացած երկու բնական թվերի համար ճշմարիտ է հետևյալ երեք պնդումներից մեկը և միայն մեկը.

Իրոք (տեղակայված օղակի առաջին պայմանի պատճառով) a - b թվի համար պայմաններից մեկն է ճիշտ.

1) a - b > 0 => a > b

2) - (ա - բ) = բ - ա > 0 => բ > ա

3) a - b = 0 => a = b.

Միապաղաղության հատկությունները նույնպես պահպանվում են տեղակայված ցանկացած օղակի համար: Իսկապես

1) a > b => a - b > 0 => a + c - c - b > 0 => a + c > b + c;

2) a > b / \ c > 0 => a - b > 0 => (ըստ տեղակայված օղակի երկրորդ պայմանի) (a - b) c > 0 => ac - bc > 0 => ac > bc. .

Այսպիսով, մենք ապացուցեցինք, որ տեղակայված ցանկացած օղակ պատվիրված օղակ է (պատվիրված համակարգ):

Ցանկացած տեղադրված օղակի համար ճշմարիտ կլինեն նաև հետևյալ հատկությունները.

ա) a + c > b + c => a > b;

բ) a > b /\ c > d => a + c > b + d;

գ) a > b / \ c< 0=>ագ< bc;

Նույն հատկությունները վերաբերում են այլ նշաններին:<, , .

Փաստենք, օրինակ, հատկությունը (գ): Ըստ սահմանման a > b պայմանից հետևում է, որ a - b > 0, իսկ c պայմանից< 0 (0 >գ) հետևում է, որ 0 - c > 0, և այստեղից - c > 0 թիվը, մենք բազմապատկում ենք երկու դրական թիվ (a - b) (-c): Արդյունքը դրական կլինի նաև տեղակայված օղակի երկրորդ պայմանով, այսինքն.

(a - b)  (-c) > 0 => -ac + bc > 0 => bc - ac > 0 => bc > ac => ac< bc,

Ք.Ե.Դ.

դ) aa = a 2  0;

ԱպացույցՀամաձայն տեղակայված օղակի առաջին պայմանի, կա՛մ a > 0, կա՛մ –a > 0, կա՛մ a = 0: Դիտարկենք այս դեպքերն առանձին.

1) a > 0 => aa > 0 (ըստ տեղակայված օղակի երկրորդ պայմանի) => a 2 > 0:

2) –a > 0 => (–a)(–a) > 0, բայց օղակի հատկությամբ (–a)(–a) = aa = a 2 > 0։

3) a \u003d 0 => aa \u003d a 2 \u003d 0:

Այսպիսով, բոլոր երեք դեպքերում 2-ը կա՛մ զրոյից մեծ է, կա՛մ հավասար է 0-ի, ինչը պարզապես նշանակում է, որ 2 ≥ 0 և հատկությունն ապացուցված են (նկատի ունեցեք, որ մենք նաև ապացուցեցինք, որ Տեղակայված օղակի տարրի քառակուսին 0 է, եթե և միայն այն դեպքում, եթե տարրն ինքնին 0 է).

ե) ab = 0  a = 0 \/ b = 0:

ԱպացույցԵնթադրենք հակառակը (ab =0, բայց ոչ a-ն, ոչ b-ը հավասար չեն զրոյի): Այնուհետև a-ի համար հնարավոր է միայն երկու տարբերակ, կամ a > 0 կամ – a > 0 (a = 0 տարբերակը բացառված է մեր ենթադրությամբ): Այս երկու դեպքերից յուրաքանչյուրը բաժանվում է ևս երկու դեպքերի՝ կախված b-ից (կամ b > 0 կամ – b > 0): Այնուհետև հնարավոր է 4 տարբերակ.

a > 0, b > 0 => ab > 0;

– a > 0, b > 0 => ab< 0;

a > 0, – b > 0 => ab< 0;

– a > 0 – b > 0 => ab > 0:

Ինչպես տեսնում ենք, այս դեպքերից յուրաքանչյուրը հակասում է ab = 0 պայմանին: Հատկությունն ապացուցված է:

Վերջին հատկությունը նշանակում է, որ տեղակայված օղակը ամբողջականության տարածք է, որը նաև պատվիրված համակարգերի պարտադիր սեփականություն է:

Թեորեմ 1-ը ցույց է տալիս, որ տեղակայված ցանկացած օղակ դասավորված համակարգ է: Ճիշտ է նաև հակառակը՝ ցանկացած պատվիրված օղակ գտնվում է: Իսկապես, եթե օղակում կա a > b հարաբերություն, և օղակի ցանկացած երկու տարր համեմատելի են միմյանց հետ, ապա 0-ը նույնպես համեմատելի է ցանկացած a տարրի հետ, այսինքն՝ կամ a > 0 կամ a.< 0, либо а = 0, что почти точно совпадает с первым условием расположенного кольца, требуется только доказать, что условие а < 0 равносильно в упорядоченном кольце условию –a >0. Վերջինս ապացուցելու համար կիրառում ենք դասավորված համակարգերի միապաղաղության հատկությունը՝ անհավասարության աջ և ձախ կողմերում a.< 0 прибавим –а, в результате чего получим требуемое.

Տեղակայված օղակի երկրորդ պայմանը բխում է միապաղաղության և անցողիկության հատկություններից.

a > 0, b > 0 => a + b > 0 + b = b > 0 => a + b > 0,

a > 0, b > 0 => ab > 0b = 0 => ab > 0:

Թեորեմ 2.Ամբողջ թվերի օղակը դասավորված օղակ է (կարգավորված համակարգ):

Ապացույց:Եկեք օգտագործենք ամբողջ թվերի օղակի 2 սահմանումը (տես 2.1): Համաձայն այս սահմանման, ցանկացած ամբողջ թիվ կամ բնական թիվ է (n թիվը տրվում է որպես [ ] կամ բնականի հակառակը (– n-ը համապատասխանում է [ դասին<1, n / >] կամ 0 (դաս [<1, 1>]): Ներկայացնենք «զրոյից մեծ» սահմանումը ամբողջ թվերի համար՝ ըստ կանոնի.

a > 0  a  Ն

Այնուհետև ամբողջ թվերի համար ավտոմատ կերպով բավարարվում է տեղակայված օղակի առաջին պայմանը. եթե a-ն բնական է, ապա այն մեծ է 0-ից, եթե a-ն բնականի հակառակն է, ապա –a-ն բնական է, այսինքն՝ այն նույնպես մեծ է 0-ից։ Հնարավոր է նաև a = 0 տարբերակը, որը նույնպես իրական տարանջատում է կատարում տեղակայված օղակի առաջին վիճակում: Տեղակայված օղակի երկրորդ պայմանի վավերականությունը բխում է նրանից, որ երկու բնական թվերի գումարը և արտադրյալը (զրոյից մեծ ամբողջ թվեր) կրկին բնական թիվ է, հետևաբար՝ զրոյից մեծ։

Այսպիսով, դասավորված օղակների բոլոր հատկությունները ավտոմատ կերպով փոխանցվում են բոլոր ամբողջ թվերին: Բացի այդ, ամբողջ թվերի համար (բայց ոչ կամայական դասավորված օղակների համար) դիսկրետության թեորեմը գործում է.

Դիսկրետության թեորեմ.Ոչ մի ամբողջ թիվ չի կարող տեղադրվել երկու հարակից ամբողջ թվերի միջև.

( a, x  Զ) .

Ապացույցդիտարկել բոլոր հնարավոր դեպքերը a-ի համար և ենթադրել հակառակը, այսինքն՝ կա x այնպիսին, որ

ա< x < a +1.

1) եթե a-ն բնական թիվ է, ապա a + 1-ը նույնպես բնական թիվ է: Այնուհետև, բնական թվերի դիսկրետության թեորեմով, x բնական թիվ չի կարող զետեղվել a-ի և a / = a + 1-ի միջև, այսինքն՝ x-ը, ամեն դեպքում, չի կարող բնական լինել: Եթե ​​ենթադրենք, որ x = 0, ապա մեր ենթադրությունն այն է

ա< x < a +1

մեզ կհանգեցնի վիճակի ա< 0 < a + 1 (здесь мы просто подставили х = 0), откуда видим, что а < 0, что противоречит тому, что а – натуральное. Если х не натуральное и не 0, но х – целое, значит –х – натуральное, тогда х < 0. При этом, согласно нашему предположению, а < x, что по свойству транзитивности опять приводит к тому, что а < 0, что невозможно, так как а – натуральное. Таким образом, для натуральных а утверждение а < x < a +1 всегда ложно, и теорема справедлива.

2) a = 0. Ապա a + 1 = 1. Եթե պայմանը ա< x < a + 1, то мы получим 0 < x < 1, то есть с одной стороны х – натуральное (целое, большее нуля), а с другой стороны х меньше 1, что невозможно для натуральных чисел. Таким образом, для нуля наша теорема справедлива.

3) a-ն բացասական է (–a > 0), ապա a + 1  0. Եթե a + 1< 0, то умножая условие а < x < a + 1 на –1 получим:

–a–1< – x < –a,

այսինքն՝ գալիս ենք առաջին դեպքում դիտարկված իրավիճակին (քանի որ և՛ -a-1, և՛ -a բնական են), որտեղից - x-ը չի կարող ամբողջ թիվ լինել, հետևաբար x-ը չի կարող լինել ամբողջ թիվ։ Իրավիճակը, երբ a + 1 = 0 նշանակում է, որ a = -1, այսինքն.

–1 < x < 0.

Այս անհավասարությունը բազմապատկելով (–1-ով)՝ հասնում ենք 2-րդ դեպքին: Այսպիսով, թեորեմը վավեր է բոլոր իրավիճակներում:

Արքիմեդի Տերեմ.Ցանկացած ամբողջ a և ամբողջ b > 0 համար գոյություն ունի դրական ամբողջ թիվ n այնպիսին, որ a.< bn.

Բնական a-ի համար թեորեմն արդեն ապացուցված է, քանի որ b > 0 պայմանը նշանակում է, որ b թիվը բնական է:  0-ի համար թեորեմը նույնպես ակնհայտ է, քանի որ bn-ի աջ կողմը բնական թիվ է, այսինքն՝ այն նույնպես մեծ է զրոյից:

Ամբողջ թվերի օղակում (ինչպես ցանկացած տեղակայված օղակում), մենք կարող ենք ներկայացնել մոդուլի հայեցակարգը.

|ա| = .

Վավեր մոդուլի հատկություններ.

1) |ա + բ|  |ա| + |բ|;

2) |ա – բ|  |ա| – |բ|;

3) |a  բ| = |ա|  |բ|.

Ապացույց: 1) Նկատենք, որ սահմանումից ակնհայտ է, որ |ա| արժեք է, որը միշտ ոչ բացասական է (առաջին դեպքում |a| = a ≥ 0, երկրորդ դեպքում |a| = –a, բայց a.< 0, откуда –а >0): Անհավասարությունները |ա| ≥ a, |a| ≥ –a (մոդուլը հավասար է համապատասխան արտահայտությանը, եթե այն ոչ բացասական է, և ավելի մեծ, քան բացասական է): Նման անհավասարություններ են պահպանվում b-ի համար՝ |b| ≥ բ, |բ| ≥ -բ. Գումարելով համապատասխան անհավասարությունները և կիրառելով դասավորված օղակների (բ) հատկությունը՝ ստանում ենք

|ա| + |բ| ≥ a + b |a| + |բ| ≥ – a – b.

Մոդուլի սահմանման համաձայն

|ա+բ| =
,

բայց հավասարության աջ կողմի երկու արտահայտություններն էլ, ինչպես ցույց է տրված վերևում, չեն գերազանցում |ա|-ն + |b|, որն ապացուցում է մոդուլների առաջին հատկությունը:

2) Առաջին հատկությունում a-ն փոխարինենք a - b-ով. Մենք ստանում ենք.

|ա – բ + բ| ≤ |ա – բ| + |բ|

|ա| ≤ |ա – բ| + |բ|

Տեղափոխել |բ| աջ կողմից դեպի ձախ հակառակ նշանով

|ա| – | բ| ≤ |ա – բ| =>|ա-բ|  |ա| – |բ|.

3 սեփականության ապացույցը թողնված է ընթերցողին։

Առաջադրանք.Լուծե՛ք հավասարումը ամբողջ թվերով

2y 2 + 3xy - 2x 2 + x - 2y \u003d 5.

ԼուծումՖակտորիզացնել ձախ կողմը: Դա անելու համար մենք ներկայացնում ենք 3xy = – xy + 4xy տերմինը

2y 2 + 3xy - 2x 2 + x - 2y \u003d 2y 2 - xy + 4xy - 2x 2 + x - 2y \u003d

Y (2y - x) + 2x (2y - x) - (2y - x) \u003d (y + 2x - 1) (2y - x):

Այսպիսով, մեր հավասարումը կարող է վերաշարադրվել որպես

(y + 2x - 1) (2y - x) = 5:

Քանի որ մենք պետք է այն լուծենք ամբողջ թվերով, x-ը և y-ը պետք է լինեն ամբողջ թվեր, ինչը նշանակում է, որ մեր հավասարման ձախ կողմի գործոնները նույնպես ամբողջ թվեր են: Մեր հավասարման աջ կողմում գտնվող 5 թիվը կարող է ներկայացվել որպես ամբողջ թվային գործակիցների արտադրյալ միայն 4 եղանակով.

5 = 51 = 15 = –5(–1) = –1(–5): Հետևաբար, հնարավոր են հետևյալ տարբերակները.

1)
2)
3)
4)

Թվարկված համակարգերից միայն (4)-ն ունի ամբողջական լուծում.

x = 1, y = -2:

Անկախ լուծման առաջադրանքներ

Թիվ 2.4. Կամայական տեղակայված օղակի a, b, c, d տարրերի համար ապացուցեք հատկությունները.

ա) a + c > b + c => a > b; բ) a > b / \ c > d => a + c > b + d.

Թիվ 2.5. Լուծե՛ք հավասարումները ամբողջ թվերով.

ա) y 2 - 2xy - 2x = 6; բ) 2x 2 - 11xy + 12y 2 = 17; գ) 35xy + 5x - 7y = 1; դ) x 2 - 3xy + 2y 2 = 3; ե) ;

զ) xy + 3x - 5y + 3 = 0; է) 2xy - 3y 2 - 4y + 2x \u003d 2; ը) xy 2 + x = 48; i) 1! +2! + 3! + … + n! = y 2; ժ) x 3 - 2y 3 - 4z 3 \u003d 0

Թիվ 2.6. Գտե՛ք քառանիշ թիվ, որը ճշգրիտ քառակուսի է և այնպես, որ նրա առաջին երկու թվանշանները հավասար լինեն միմյանց, իսկ վերջին երկու թվանշանները հավասար լինեն միմյանց:

Թիվ 2.7. Գտե՛ք երկնիշ թիվ, որը հավասար է նրա տասնյակների և քառակուսուների գումարին:

Թիվ 2.8. Գտե՛ք երկնիշ թիվ, որը հավասար է նրա թվանշանների արտադրյալի կրկնապատիկին:

Թիվ 2.9. Ապացուցեք, որ եռանիշ թվի և հակառակ հերթականությամբ նույն թվանշաններով գրված թվի տարբերությունը չի կարող լինել բնական թվի քառակուսի։

Թիվ 2.10. Գտե՛ք 91-ով վերջացող բոլոր բնական թվերը, որոնք այս թվանշանները ջնջելուց հետո ամբողջ թվով անգամ նվազում են։

Թիվ 2.11. Գտե՛ք երկնիշ թիվ, որը հավասար է նրա միավորների քառակուսուն գումարած նրա տասնյակների խորանարդը:

Թիվ 2.12. Գտե՛ք 2 թվով սկսվող վեցանիշ թիվ, որն ավելանում է 3 անգամ՝ վերադասավորելով այս թիվը մինչև թվի վերջը։

Թիվ 2.13. Գրատախտակին գրված են 40-ից ավելի, բայց 48-ից պակաս ամբողջ թվեր: Այս բոլոր թվերի միջին թվաբանականը 3 է, դրականներինը՝ 4, իսկ բացասականներինը՝ 8։ Քանի՞ թիվ է գրված գրատախտակին։ Ո՞ր թիվն է ավելի մեծ՝ դրական, թե բացասական: Ո՞րն է դրական թվերի առավելագույն հնարավոր թիվը:

Թիվ 2.14. Եռանիշ թվի քանորդը և նրա թվանշանների գումարը կարո՞ղ են լինել 89: Կարո՞ղ է այս գործակիցը հավասար լինել 86-ի: Ո՞րն է այս գործակիցի առավելագույն հնարավոր արժեքը:

Կրթության դաշնային գործակալություն

Բարձրագույն մասնագիտական ​​կրթության պետական ​​ուսումնական հաստատություն

Վյատկայի պետական ​​հումանիտար համալսարան

Մաթեմատիկայի ֆակուլտետ

Մաթեմատիկական անալիզի և մեթոդների բաժին
մաթեմատիկայի դասավանդում

Վերջնական որակավորման աշխատանք

թեմայի շուրջ՝ Գաուսի ամբողջ թվերի օղակ։

Ավարտված:

5-րդ կուրսի ուսանող

Մաթեմատիկայի ֆակուլտետ

Գնուսով Վ.Վ.

___________________________

Գիտական ​​խորհրդատու.

ամբիոնի ավագ դասախոս

հանրահաշիվ և երկրաչափություն

Սեմենով Ա.Ն.

___________________________

Գրախոս.

ֆիզիկամաթեմատիկական գիտությունների թեկնածու գիտություններ, դոց

Հանրահաշվի և երկրաչափության բաժին

Կովյազինա Է.Մ.

___________________________

Ընդունվել է ՊԱԿ-ում պաշտպանության

Գլուխ Բաժին ________________ Վեչտոմով Է.Մ.

« »________________

Ֆակուլտետի դեկան ___________________ Վարանկինա Վ.Ի.

Ներածություն.

Ամբողջ թվերի բարդ թվերի օղակ

հայտնաբերվել է Կարլ Գաուսի կողմից և նրա անունով կոչվել Գաուսյան։

Կ.Գաուսը եկել է երկրորդ աստիճանի համեմատությունների լուծման ալգորիթմների որոնման հետ կապված ամբողջ թվի հայեցակարգի ընդլայնման հնարավորության և անհրաժեշտության գաղափարին: Նա ամբողջ թվի հասկացությունը փոխանցեց ձևի թվերին

, որտեղ կան կամայական ամբողջ թվեր և հավասարման արմատն է Այս բազմության վրա Կ. Գաուսն առաջինն էր, ով կառուցեց բաժանելիության տեսությունը, որը նման է ամբողջ թվերի բաժանելիության տեսությանը: Նա հիմնավորեց բաժանելիության հիմնական հատկությունների վավերականությունը. ցույց տվեց, որ կոմպլեքս թվերի օղակում կա ընդամենը չորս անշրջելի տարր. ապացուցեց մնացորդով բաժանման թեորեմի վավերականությունը, պարզ գործոնների տարրալուծման եզակիության թեորեմը. ցույց տվեց, թե որ պարզ բնական թվերը կմնան պարզ օղակում. բացահայտեց պարզ ամբողջ թվային բարդ թվերի բնույթը.

Կ.Գաուսի մշակած տեսությունը, որը նկարագրված է նրա «Թվաբանական հետազոտություններ» աշխատության մեջ, հիմնարար հայտնագործություն էր թվերի տեսության և հանրահաշվի համար։

Թեզի համար դրվել են հետևյալ նպատակները.

1. Մշակել Գաուսի թվերի օղակի բաժանելիության տեսությունը։

2. Պարզի՛ր պարզ Գաուսական թվերի բնույթը:

3. Ցույց տալ Գաուսական թվերի կիրառությունը սովորական Դիոֆանտին խնդիրների լուծման ժամանակ:

ԳԼՈՒԽ 1. ԲԱԺԱՆԵԼԻՈՒԹՅՈՒՆԸ ԳԱՈՒՍԻ ԹՎԵՐԻ ՕՂԱԿՈՒՄ.

Դիտարկենք բարդ թվերի բազմությունը: Իրական թվերի բազմության հետ անալոգիայով նրանում կարելի է առանձնացնել ամբողջ թվերի ենթաբազմություն։ Ձևի թվերի հավաքածու

, որտեղ կկոչվեն բարդ ամբողջ թվեր կամ Գաուսի թվեր։ Հեշտ է ստուգել, ​​որ օղակի աքսիոմները համապատասխանում են այս հավաքածուին: Այսպիսով, կոմպլեքս թվերի այս բազմությունը օղակ է և կոչվում է Գաուսի ամբողջ թվերի օղակ . Նշենք այն որպես , քանի որ այն օղակի երկարացումն է տարրով՝ .

Քանի որ Գաուսի թվերի օղակը կոմպլեքս թվերի ենթաբազմություն է, ապա դրա համար վավեր են կոմպլեքս թվերի որոշ սահմանումներ և հատկություններ։ Օրինակ՝ Գաուսի յուրաքանչյուր թվի համար

համապատասխանում է կետից սկսվող և վերջացող վեկտորի: Հետևաբար, մոդուլ Գաուսի թվերն են. Նկատի ունեցեք, որ դիտարկվող բազմությունում ենթամոդուլի արտահայտությունը միշտ ոչ բացասական ամբողջ թիվ է։ Հետեւաբար, որոշ դեպքերում այն ​​ավելի հարմար է օգտագործել նորմը , այսինքն՝ մոդուլի քառակուսին։ Այս կերպ . Կարող ենք առանձնացնել նորմայի հետևյալ հատկությունները. Գաուսի ցանկացած թվի համար ճշմարիտ է հետևյալը. (1) (2) (3) (4) (5) - բնական թվերի բազմություն, այսինքն՝ դրական ամբողջ թվեր։

Այս հատկությունների վավերականությունը մանրակրկիտ ստուգվում է մոդուլի միջոցով: Ընթացքում մենք նշում ենք, որ (2), (3), (5) վավեր են նաև ցանկացած բարդ թվերի համար:

Գաուսի թվերի օղակը կոմուտատիվ օղակ է առանց 0 բաժանարարների, քանի որ այն կոմպլեքս թվերի դաշտի ենթաշրջան է։ Սա ենթադրում է օղակի բազմապատկվող կծկվողություն

, այսինքն (6)

1.1 ՀԵՏԱԴԱՐՁԵԼԻ ԵՎ ՀԱՄԱՁԳՈՒՅԴ ՏԱՐՐԵՐ:

Տեսնենք, թե Գաուսի որ թվերը կլինեն շրջելի։ Բազմապատկումը չեզոք է

. Եթե ​​գաուսյան թիվ շրջելի , ապա, ըստ սահմանման, գոյություն ունի այնպիսին, որ . Անցնելով նորմերին, ըստ սեփականության 3-ի, մենք ստանում ենք . Բայց այդ նորմերը բնական են, հետևաբար։ Այսպիսով, ըստ սեփականության 4, . Ընդհակառակը, այս հավաքածուի բոլոր տարրերը հակադարձելի են, քանի որ . Ուստի մեկին հավասար նորմ ունեցող թվերը շրջելի կլինեն, այսինքն՝ , .

Ինչպես տեսնում եք, ոչ բոլոր Գաուսի թվերն են շրջելի: Ուստի հետաքրքիր է դիտարկել բաժանելիության հարցը։ Ինչպես միշտ, մենք դա ասում ենք

բաժանված է եթե կա այդպիսին, որ Գաուսի ցանկացած թվի, ինչպես նաև շրջելիների համար հատկությունները ճշմարիտ են: (7) (8) (9) (10) , որտեղ (11) (12)

(8), (9), (11), (12) հեշտությամբ ստուգվում են: Վավերականությունը (7) բխում է (2-ից), իսկ (10) բխում է (6-ից): Սեփականության (9) շնորհիվ հավաքածուի տարրերը