թիրախային կոորդինատներ, միջոցների ռադար; ինքնաթիռի հարձակման անկյուն; բեռը էլեկտրական միացումում.

5. Պատահական գործընթացների տեսակները.

Մաթեմատիկայի մեջ կա պատահական ֆունկցիա հասկացությունը։

պատահական ֆունկցիա- այնպիսի գործառույթ, որը փորձի արդյունքում ստանում է այս կամ այն ​​կոնկրետ ձևը, և ​​նախապես հայտնի չէ, թե որն է։ Նման ֆունկցիայի փաստարկը պատահական չէ։ Եթե ​​արգումենտը ժամանակն է, ապա կանչվում է նման ֆունկցիա պատահական գործընթաց. Պատահական գործընթացների օրինակներ.

Պատահական ֆունկցիայի (գործընթացի) առանձնահատկությունն այն է, որ (t) փաստարկի ֆիքսված արժեքի դեպքում պատահական ֆունկցիան պատահական փոփոխական է, այսինքն. at t = t i Х (t ) = X (t i ) պատահական փոփոխական է:

Բրինձ. 2.1. Պատահական ֆունկցիայի գրաֆիկական ներկայացում

Ֆիքսված արգումենտով պատահական ֆունկցիայի արժեքները կոչվում են նրա բաժին: Որովհետեւ Պատահական ֆունկցիան կարող է ունենալ անսահման թվով բաժիններ, և յուրաքանչյուր բաժնում այն ​​պատահական փոփոխական է, այնուհետև պատահական ֆունկցիան կարելի է համարել որպես անսահման ծավալային պատահական վեկտոր.

Պատահական ֆունկցիաների տեսությունը հաճախ կոչվում է պատահականության տեսություն (ստոխաստիկ)

գործընթացները։

Պատահական գործընթացի յուրաքանչյուր հատվածի համար կարող եք նշել m x (t i), D x (t i), x (t i) և ընդհանուր դեպքում՝ x (t i):

Ժամանակի պատահական ֆունկցիաներից բացի երբեմն օգտագործվում են տարածության կետի կոորդինատների պատահական ֆունկցիաներ։ Այս ֆունկցիաները տարածության յուրաքանչյուր կետին վերագրում են ինչ-որ պատահական փոփոխական:

Տարածության կետի կոորդինատների պատահական ֆունկցիաների տեսությունը կոչվում է պատահական դաշտի տեսություն. Օրինակ՝ քամու արագության վեկտորը տուրբուլենտ մթնոլորտում:

Կախված ֆունկցիայի տեսակից և փաստարկի տեսակից՝ առանձնանում են պատահական գործընթացների 4 տեսակ։

Աղյուսակ 2.1 Պատահական գործընթացների տեսակները

ջրափոսի չափը (շարունակական միջակայք)

Բացի այդ, կան.

1. Ստացիոնար պատահական գործընթաց- որոնց հավանականական բնութագրերը կախված չեն ժամանակից, այսինքն. x (x 1, t 1) \u003d x (x 2, t 2) \u003d ... x (x n, t n) \u003d կոնստ.

2. Նորմալ ստոխաստիկ գործընթաց (Գաուսյան)խաչմերուկների համատեղ հավանականության խտությունն է t 1 … t n նորմալ է:

3. Մարկովի պատահական գործընթաց(գործընթաց առանց հետևանքների) այն վիճակը, որի ժամանակի յուրաքանչյուր պահի կախված է միայն նախորդ պահի վիճակից և կախված չէ նախորդ վիճակներից։ Մարկովյան նպատակը Մարկովյան պատահական գործընթացի հատվածների հաջորդականությունն է:

4. պատահական գործընթացի տեսակըսպիտակ աղմուկ - յուրաքանչյուր պահի վիճակը կախված չէ նախորդից:

Կան այլ պատահական գործընթացներ

Այն ֆունկցիան, որի արժեքը անկախ փոփոխականի յուրաքանչյուր արժեքի համար պատահական փոփոխական է, կոչվում է պատահական ֆունկցիա: Կանչվում են պատահական ֆունկցիաները, որոնց համար անկախ փոփոխականը ժամանակն է պատահական գործընթացներ կամ ստոխաստիկ գործընթացներ .

Պատահական գործընթացը որոշակի կոր չէ, դա սահմանված կորերի մի շարք է, որտեղ , ստացվել է անհատական ​​փորձերի արդյունքում (նկ. 1.9): Այս հավաքածուի յուրաքանչյուր կորը կոչվում է պատահական գործընթացի իրականացում . Թե կոնկրետ որ իրականացմանը կհետեւի գործընթացը, նախապես հնարավոր չէ ասել։

Ժամանակի ցանկացած ֆիքսված կետի համար, օրինակ, պատահական գործընթացի իրականացումը որոշակի արժեք է, մինչդեռ պատահական ֆունկցիայի արժեքը պատահական փոփոխական է, որը կոչվում է. Բաժին ժամանակին պատահական գործընթաց . Հետևաբար, չի կարելի պնդել, որ պատահական պրոցեսը տվյալ պահին ունի այսքան դետերմինիստական ​​արժեք, մենք կարող ենք խոսել միայն այն հավանականության մասին, որ տվյալ պահին պատահական գործընթացի արժեքը որպես պատահական փոփոխական կլինի. որոշակի սահմաններում։

Բրինձ. 1.9. Պատահական գործընթացի իրականացում

Վիճակագրական մեթոդները չեն ուսումնասիրում բազմությունը կազմող իրականացումներից յուրաքանչյուրը, այլ ամբողջ բազմության հատկությունները որպես ամբողջություն՝ միջինացնելով դրանում ներառված իրագործումների հատկությունները: Հետևաբար, հսկիչ օբյեկտը ուսումնասիրելիս նրա վարքագիծը գնահատվում է ոչ թե ժամանակի տվյալ գործառույթը ներկայացնող որևէ հատուկ ազդեցության, այլ ազդեցությունների ամբողջության առնչությամբ:

Ինչպես հայտնի է, պատահական փոփոխականի վիճակագրական հատկությունները որոշվում է ինտեգրալի հավանականության բաշխման ֆունկցիայով և դիֆերենցիալ .

Պատահական գործընթացի համար ներկայացվում են նաև բաշխման ֆունկցիայի և հավանականության խտության հայեցակարգը, որոնք կախված են դիտարկման ժամանակի ֆիքսված պահից և որոշ ընտրված մակարդակից, դրանք. երկու փոփոխականների ֆունկցիաներ են և.

Դիտարկենք պատահական փոփոխական , այսինքն. ժամանակին պատահական գործընթացի խաչմերուկ: Միակողմանի բաշխման ֆունկցիա պատահական գործընթացն այն հավանականությունն է, որ պատահական գործընթացի ընթացիկ արժեքը միաժամանակ չի գերազանցում որոշակի մակարդակը (թիվը) , այսինքն.

Եթե ​​ֆունկցիան ունի մասնակի ածանցյալ՝ կապված, այսինքն.

ապա ֆունկցիան կանչվում է միաչափ հավանականության խտություն պատահական գործընթաց. Արժեք

-ից մինչև ժամանակային միջակայքում գտնվելու հավանականությունն է։

Ժամանակի յուրաքանչյուր պահի դիտելի պատահական փոփոխականներ (պատահական գործընթացի հատվածներ) կունենան իրենց սեփական, ընդհանուր առմամբ տարբեր, միաչափ բաշխման ֆունկցիաները և հավանականության խտությունները:

Ֆունկցիաները պատահական գործընթացի ամենապարզ վիճակագրական բնութագրերն են: Նրանք բնութագրում են պատահական գործընթացը մեկուսացված իր առանձին բաժիններում, առանց բացահայտելու պատահական գործընթացի բաժինների միջև փոխադարձ կապը, այսինքն. ժամանակի տարբեր կետերում պատահական գործընթացի հնարավոր արժեքների միջև:

Այս գործառույթների իմացությունը դեռևս բավարար չէ ընդհանուր դեպքում պատահական գործընթաց նկարագրելու համար: Անհրաժեշտ է նաև բնութագրել պատահական փոփոխականների փոխադարձ կապը ժամանակի տարբեր կամայական կետերում:

Այժմ դիտարկենք պատահական փոփոխականները, որոնք կապված են ժամանակի երկու տարբեր պահերի և պատահական գործընթացի դիտարկման հետ:

Հավանականությունը, որ պատահական գործընթաց կլինի առավելագույնը և առավելագույնը ժամը, դրանք.

կանչեց երկփոփոխական բաշխման ֆունկցիա . Եթե ​​ֆունկցիան ունի poi մասնակի ածանցյալներ, այսինքն.

, (1.47)

ապա ֆունկցիան կանչվում է 2D հավանականության խտություն .

Արժեք

հավասար է հավանականությանը, որ ժամանումը կլինի մինչև և երբ միջակայքում -ից մինչև միջակայքում:

Նմանապես, կարելի է ներկայացնել հայեցակարգը n-չափային բաշխման ֆունկցիա և n-չափային հավանականության խտություն .

Որքան բարձր է կարգը, այնքան ավելի ամբողջական են նկարագրված պատահական գործընթացի վիճակագրական հատկությունները: Իմանալով ծավալային բաշխման ֆունկցիան՝ նրանից կարելի է գտնել ավելի ցածր կարգի միաչափ, երկչափ և այլ [մինչև դ] բաշխման ֆունկցիաներ։ Այնուամենայնիվ, պատահական պրոցեսների բաշխման բազմաչափ օրենքները համեմատաբար ծանր բնութագրեր են, և դրանց հետ գործարկելը գործնականում չափազանց դժվար է: Հետևաբար, պատահական գործընթացներն ուսումնասիրելիս հաճախ սահմանափակվում է այն դեպքերով, երբ պատահական գործընթացը նկարագրելու համար բավական է իմանալ միայն դրա միաչափ կամ երկչափ բաշխման օրենքը:

Պատահական գործընթացի օրինակ որը լիովին բնութագրվում է միաչափ հավանականության խտությամբ,է այսպես կոչված զուտ պատահական գործընթաց, կամ Սպիտակ աղմուկ . Այս գործընթացի արժեքները, որոնք վերցված են ժամանակի տարբեր կետերում, լիովին անկախ են միմյանցից, անկախ նրանից, թե որքան սերտորեն ընտրված են ժամանակի այս կետերը: Սա նշանակում է, որ սպիտակ աղմուկի կորը պարունակում է պայթյուններ, որոնք քայքայվում են անսահման փոքր ժամանակային ընդմիջումներով: Քանի որ արժեքները, օրինակ, երբեմն և անկախ են, ապա իրադարձությունների համընկնման հավանականությունը, որը բաղկացած է լինելու միջև և ժամանակին, և ժամանակի միջև, հավասար է այս իրադարձություններից յուրաքանչյուրի հավանականությունների արտադրյալին, հետևաբար.

և ընդհանրապես սպիտակ աղմուկի համար

այսինքն՝ սպիտակ աղմուկի հավանականության բոլոր խտությունները որոշվում են միաչափ հավանականության խտությունից:

Ընդհանուր ձևի պատահական գործընթացների համար, եթե հայտնի է, թե տվյալ պահին ինչ արժեքներ է վերցրել, ապա մենք ունենք որոշակի տեղեկատվություն, թե որտեղից, քանի որ քանակները և, ընդհանուր առմամբ, կախված են: Եթե ​​բացի տեղյակ լինելուց, ապա ինֆորմացիան էլ ավելի է ավելանում։ Այսպիսով, գործընթացի վարքագծի վերաբերյալ մեր գիտելիքները մինչև որոշակի կետ ավելացնելը հանգեցնում է դրա մասին տեղեկատվության ավելացմանը:

Այնուամենայնիվ, կա պատահական գործընթացների հատուկ դաս, որն առաջին անգամ ուսումնասիրել է հայտնի մաթեմատիկոս Ա. Ա. Մարկովը և կոչվել. Մարկովյան պատահական գործընթացներ , որի համար տվյալ պահին գործընթացի արժեքի իմացությունն արդեն պարունակում է գործընթացի հետագա ընթացքի մասին ողջ տեղեկատվությունը, որը կարելի է քաղել միայն գործընթացի վարքագծից մինչև այս պահը։ Մարկովյան պատահական գործընթացի դեպքում, ժամանակի մի կետում գործընթացի հավանականական բնութագրերը որոշելու համար բավական է իմանալ հավանականական բնութագրերը ժամանակի ցանկացած նախորդ կետի համար, օրինակ՝ անմիջապես նախորդող կետի համար: Նախորդ այլ ժամանակների գործընթացի հավանականական բնութագրերի իմացությունը, օրինակ, չի ավելացնում գտնելու համար անհրաժեշտ տեղեկատվությունը:

Մարկովյան գործընթացի համար ճշմարիտ է հետևյալ հարաբերությունը.

, (1.51)

այսինքն, Մարկովյան գործընթացի բոլոր հավանականության խտությունները որոշվում են հավանականության երկչափ խտությունից: Այլ կերպ ասած, Մարկովյան պատահական գործընթացները լիովին բնութագրվում են երկչափ հավանականության խտությամբ։

Պատահական գործընթացի բաշխման ֆունկցիայի և հավանականության խտության հայեցակարգը սովորաբար օգտագործվում է տեսական կոնստրուկցիաներում և սահմանումներում։ Հետազոտության պրակտիկայում լայն տարածում են գտել պատահական գործընթացների համեմատաբար ավելի պարզ, թեև պակաս ամբողջական բնութագրերը, որոնք նման են պատահական փոփոխականների թվային բնութագրերին: Նման բնութագրերի օրինակներ են մաթեմատիկական ակնկալիքը, շեղումը, պատահական գործընթացի քառակուսու միջին արժեքը, հարաբերակցության ֆունկցիան, սպեկտրային խտությունը և այլն։

մաթեմատիկական ակնկալիք Պատահական գործընթացի (միջին արժեքը) կոչվում է արժեք

(1.52)

որտեղ - պատահական գործընթացի միաչափ հավանականության խտություն .

Պատահական գործընթացի մաթեմատիկական ակնկալիքը ժամանակի որոշակի ոչ պատահական (կանոնավոր) ֆունկցիա է, որի շուրջ խմբավորված են տվյալ պատահական գործընթացի բոլոր իրագործումները և որոնց նկատմամբ դրանք տատանվում են (նկ. 1.10):

Պատահական գործընթացի մաթեմատիկական ակնկալիքը ժամանակի յուրաքանչյուր ֆիքսված պահին հավասար է պատահական գործընթացի համապատասխան հատվածի մաթեմատիկական ակնկալիքին: Մաթեմատիկական ակնկալիքը կոչվում է պատահական գործընթացի միջին արժեքը հավաքածուի վրա (համույթի միջին, վիճակագրական միջին), քանի որ դա պատահական գործընթացի իրագործումների անսահման բազմության հավանականության միջինացված արժեքն է։

Բրինձ. 1.10. Պատահական գործընթացների թվային բնութագրերը

Հաճախ հաշվի են առնվում կենտրոնացած պատահական գործընթաց

Այնուհետև պատահական գործընթացը կարելի է համարել որպես երկու բաղադրիչի գումար՝ կանոնավոր բաղադրիչ, որը հավասար է մաթեմատիկական ակնկալիքին և կենտրոնացված պատահական բաղադրիչ, այսինքն.

Պատահական գործընթացի իրականացման ցրվածության աստիճանը միջին արժեքի նկատմամբ հաշվի առնելու համար ներկայացվում է հայեցակարգը. ցրվածություն պատահական գործընթաց, որը հավասար է կենտրոնացված պատահական գործընթացի քառակուսու մաթեմատիկական ակնկալիքին.

. (1.55)

Պատահական գործընթացի շեղումը ժամանակի ոչ պատահական (կանոնավոր) ֆունկցիա է, որի արժեքը ժամանակի յուրաքանչյուր պահին հավասար է. հավասար է պատահական գործընթացի համապատասխան հատվածի շեղմանը:

Ստանդարտ շեղում պատահական գործընթաց է

Նախքան պատահական գործընթացի սահմանումը տալը, եկեք հիշենք պատահական փոփոխականների տեսության հիմնական հասկացությունները: Ինչպես գիտեք, պատահական փոփոխականը այն մեծությունն է, որը փորձի արդյունքում կարող է ընդունել այս կամ այն ​​արժեքները, որոնք նախապես հայտնի չեն: Կան դիսկրետ և շարունակական պատահական փոփոխականներ: Պատահական փոփոխականի հիմնական բնութագիրը բաշխման օրենքն է, որը կարող է տրվել գրաֆիկի կամ վերլուծական տեսքով։ Համաձայն ինտեգրալ բաշխման օրենքի՝ բաշխման ֆունկցիան, որտեղ է հավանականությունը, որ պատահական փոփոխականի ընթացիկ արժեքը փոքր է որոշ արժեքից: Դիֆերենցիալ բաշխման օրենքով օգտագործվում է հավանականության խտությունը: Պատահական փոփոխականների թվային բնութագրերը այսպես կոչված պահերն են, որոնցից ամենատարածված պահը առաջին կարգն է՝ պատահական փոփոխականի միջին արժեքը (ակնկալիքը) և երկրորդ կարգի կենտրոնական պահը՝ շեղումը։ Եթե ​​կան մի քանի պատահական փոփոխականներ (պատահական փոփոխականների համակարգ), ներմուծվում է հարաբերակցության պահ հասկացությունը։

Պատահական փոփոխականի հայեցակարգի ընդհանրացումը հայեցակարգն է պատահական ֆունկցիա, այսինքն. գործառույթ, որը փորձի արդյունքում կարող է այս կամ այն ​​ձևն ընդունել՝ նախապես անհայտ։ Եթե ​​ֆունկցիայի փաստարկը ժամանակն է տ,հետո նրան կանչում են պատահականկամ ստոխաստիկ գործընթաց.

Փորձի արդյունքում ստացված պատահական գործընթացի կոնկրետ տեսակը կոչվում է իրականացումպատահական գործընթաց և սովորական ոչ պատահական (դետերմինիստական) ֆունկցիա է։ Մյուս կողմից, ժամանակի որոշակի կետում մենք ունենք պատահական գործընթացի այսպես կոչված խաչմերուկ՝ պատահական փոփոխականի տեսքով:

Պատահական գործընթացները նկարագրելու համար պատահական փոփոխականների տեսության հասկացությունները ընդհանրացվում են բնական ճանապարհով։ Ժամանակի որոշ ֆիքսված պահի համար պատահական գործընթացը վերածվում է պատահական փոփոխականի, որի համար կարելի է ներկայացնել մի ֆունկցիա, որը կոչվում է. միաչափ բաշխման օրենքըպատահական գործընթաց. Միաչափ բաշխման օրենքը պատահական գործընթացի սպառիչ բնութագիր չէ: Օրինակ, այն չի բնութագրում պատահական գործընթացի առանձին հատվածների հարաբերակցությունը (կապը): Եթե ​​վերցնենք ժամանակի երկու տարբեր պահեր և , կարող ենք ներկայացնել երկչափ բաշխման օրենք և այլն։ Մեր հետագա քննարկման շրջանակներում մենք կսահմանափակվենք հիմնականում միաչափ և երկչափ օրենքներով:

Դիտարկենք պատահական գործընթացի ամենապարզ բնութագրերը, որոնք նման են պատահական փոփոխականի թվային բնութագրերին: Ակնկալվող արժեքըկամ սահմանել միջինը

և ցրվածություն

Մաթեմատիկական ակնկալիքը որոշակի միջին կոր է, որի շուրջ խմբավորվում են պատահական գործընթացի առանձին իրացումները, և շեղումը բնութագրում է հնարավոր իրացումների տարածումը ժամանակի յուրաքանչյուր պահին: Երբեմն օգտագործվում է ստանդարտ շեղումը:

Պատահական գործընթացի ներքին կառուցվածքը բնութագրելու համար ներկայացվում է հայեցակարգը հարաբերակցությունը (ավտոկոռելացիա) գործառույթներ

Մաթեմատիկական ակնկալիքի հետ մեկտեղ (միջին հավաքածուից) (3.1) ներկայացվում է պատահական գործընթացի ևս մեկ հատկանիշ. նշանակում էպատահական գործընթաց առանձին իրականացման համար (միջին ժամանակի ընթացքում)

Երկու պատահական գործընթացների համար կարելի է նաև ներկայացնել խաչաձև հարաբերակցության ֆունկցիայի հայեցակարգը անալոգիայի միջոցով (3.3):

Գործնականում լայնորեն կիրառվող պատահական գործընթացի հատուկ դեպքերից է անշարժ պատահական գործընթացպատահական գործընթաց է, որի հավանականական բնութագրերը կախված չեն ժամանակից։ Այսպիսով, անշարժ պատահական գործընթացի համար, և հարաբերակցության ֆունկցիան կախված է տարբերությունից, այսինքն. մեկ փաստարկի ֆունկցիա է:

Ստացիոնար պատահական գործընթացը որոշ չափով նման է կառավարման համակարգերում սովորական կամ կայուն գործընթացներին:

Ստացիոնար պատահական գործընթացներն ունեն հետաքրքիր հատկություն, որը կոչվում է էրգոդիկ վարկած. Անշարժ պատահական գործընթացի համար հավաքածուի նկատմամբ ցանկացած միջին հավասար է ժամանակի միջինին: Մասնավորապես, օրինակ, Այս հատկությունը հաճախ հնարավորություն է տալիս պարզեցնել համակարգերի ֆիզիկական և մաթեմատիկական մոդելավորումը պատահական ազդեցության տակ:

Ինչպես հայտնի է, դետերմինիստական ​​ազդանշանների վերլուծության ժամանակ լայնորեն կիրառվում են դրանց սպեկտրալ բնութագրերը՝ հիմնված Ֆուրիեի շարքի կամ ինտեգրալի վրա։ Նմանատիպ հայեցակարգ կարող է ներդրվել պատահական ստացիոնար գործընթացների համար: Տարբերությունն այն կլինի, որ պատահական գործընթացի համար ներդաշնակ բաղադրիչների ամպլիտուդները պատահական կլինեն, իսկ ստատիկ պատահական պրոցեսի սպեկտրը կնկարագրի դիսպերսիաների բաշխումը տարբեր հաճախականությունների վրա:

Սպեկտրային խտությունանշարժ պատահական գործընթացի հարաբերակցությունը կապված է Ֆուրիեի փոխակերպումների միջոցով.

որտեղ հարաբերակցության ֆունկցիան կմեկնաբանվի որպես բնօրինակ, իսկ - որպես պատկեր:

Կան աղյուսակներ, որոնք կապում են բնօրինակները և պատկերները: Օրինակ, եթե, ապա.

Նկատենք սպեկտրային խտության և հարաբերակցության ֆունկցիայի կապը դիսպերսիայի հետ Դ

Գրականություն՝ [L.1], էջ 155-161

[L.2], էջ 406-416, 42-426

[L.3], էջ 80-81

Պատահական ազդանշանների և աղմուկի մաթեմատիկական մոդելները պատահական գործընթացներ են: Պատահական գործընթաց (SP) պատահական փոփոխականի փոփոխությունն է ժամանակի ընթացքում. Պատահական գործընթացները ներառում են ռադիոտեխնիկական սարքերում տեղի ունեցող գործընթացների մեծ մասը, ինչպես նաև միջամտությունը, որն ուղեկցում է ազդանշանների փոխանցումը կապի ալիքներով: Պատահական գործընթացները կարող են լինել շարունակական(NSP), կամ դիսկրետ(DSP) կախված նրանից, թե որ պատահական փոփոխականը, շարունակականը կամ դիսկրետը, կփոխվի ժամանակի ընթացքում: Հետագայում հիմնական շեշտը դրվելու է ԱԱՊ-ի վրա:

Նախքան պատահական գործընթացների ուսումնասիրությանը անցնելը, անհրաժեշտ է որոշել դրանց ներկայացման ուղիները։ Մենք կնշանակենք պատահական պրոցեսը -ով, իսկ դրա կոնկրետ իրականացումը -ով: Պատահական գործընթացը կարող է ներկայացվել կամ իրականացումների հավաքածու (անսամբլներ)., կամ մեկ, բայց ավելի շուտ երկարաձգվել է ժամանակի իրականացման մեջ. Եթե ​​պատահական պրոցեսի մի քանի օսցիլոգրամներ նկարենք և լուսանկարները տեղադրենք մեկը մյուսի տակ, ապա այս լուսանկարների ամբողջությունը կներկայացնի իրագործումների համույթ (նկ. 5.3):

Այստեղ՝ գործընթացի առաջին, երկրորդ, ..., կ-րդ իրականացումը։ Եթե, այնուամենայնիվ, պատահական փոփոխականի փոփոխությունը ցուցադրվում է ձայնագրիչ ժապավենի վրա բավական մեծ ժամանակային T միջակայքում, ապա գործընթացը կներկայացվի մեկ իրականացմամբ (նկ. 5.3):

Պատահական փոփոխականների նման, պատահական գործընթացները նկարագրվում են բաշխման օրենքներով և հավանականական (թվային) բնութագրերով: Հավանական բնութագրերը կարելի է ձեռք բերել և՛ պատահական գործընթացի արժեքները միջինացնելով իրականացումների համույթի վրա, և՛ միջինացնելով մեկ իրականացում:

Թող պատահական գործընթացը ներկայացվի իրագործումների համույթով (նկ. 5.3): Եթե ​​մենք ընտրում ենք ժամանակի կամայական կետ և ֆիքսում ենք ժամանակի այս պահին իրականացումների կողմից ընդունված արժեքները, ապա այս արժեքների ամբողջությունը կազմում է SP-ի միաչափ հատված:

և պատահական փոփոխական է: Ինչպես արդեն նշվեց վերևում, պատահական փոփոխականի սպառիչ բնութագիրը բաշխման ֆունկցիան է կամ հավանականության միաչափ խտությունը:

.

Բնականաբար, և՛ , և՛ ,-ն ունեն վերը քննարկված բաշխման ֆունկցիայի և հավանականության բաշխման խտության բոլոր հատկությունները:

Բաժնում թվային բնութագրերը որոշվում են (5.20), (5.22), (5.24) և (5.26) արտահայտություններին համապատասխան: Այսպիսով, մասնավորապես, խաչմերուկում համատեղ ձեռնարկության մաթեմատիկական ակնկալիքը որոշվում է արտահայտությամբ

իսկ շեղումը արտահայտությունն է

Այնուամենայնիվ, բաշխման օրենքները և թվային բնութագրերը միայն բաժնում բավարար չեն ժամանակի ընթացքում զարգացող պատահական գործընթաց նկարագրելու համար: Ուստի անհրաժեշտ է դիտարկել երկրորդ հատվածը (նկ. 5.3): Այս դեպքում SP-ն արդեն կնկարագրվի երկու պատահական փոփոխականներով և միմյանցից կտարածվի ժամանակային ընդմիջումով: և բնութագրվում է երկչափ բաշխման ֆունկցիայով և երկչափ խտությունը , որտեղ , . Ակնհայտ է, որ եթե ներմուծենք երրորդը, չորրորդը և այլն։ բաժինը, կարելի է հասնել բազմաչափ (N-չափ) բաշխման ֆունկցիայի և, համապատասխանաբար, բազմաչափ բաշխման խտության:

Պատահական գործընթացի ամենակարևոր հատկանիշն է ավտոկոռելյացիայի գործառույթ(AKF)

որը սահմանում է վիճակագրական կապի աստիճանը SP-ի արժեքների միջև ժամանակային կետերում և

SP-ն որպես իրագործումների համույթ ներկայացնելը հանգեցնում է գործընթացի կայունության հայեցակարգին։ Պատահական գործընթացն է ստացիոնար, եթե բոլոր սկզբնական և կենտրոնական պահերը կախված չեն ժամանակից, այսինքն.

, .

Սրանք խիստ պայմաններ են, հետևաբար, երբ դրանք բավարարվում են, քննարկվում է համատեղ ձեռնարկությունը հիվանդանոց՝ նեղ իմաստով.

Գործնականում օգտագործվում է կայունության հայեցակարգը լայն իմաստով. Պատահական գործընթացը անշարժ է լայն իմաստով, եթե դրա մաթեմատիկական ակնկալիքը և շեղումը կախված չեն ժամանակից, այսինքն.

իսկ ավտոկոռելյացիայի ֆունկցիան որոշվում է միայն միջակայքով և կախված չէ ժամանակի առանցքի ընտրությունից

Հետևյալում կդիտարկվեն միայն պատահական գործընթացները, որոնք անշարժ են լայն իմաստով:

Վերևում նշվեց, որ պատահական գործընթացը, ի լրումն իրականացումների անսամբլի կողմից ներկայացված լինելուց, կարող է ներկայացվել մեկ իրականացումով T ժամանակային միջակայքում: Ակնհայտ է, որ գործընթացի բոլոր բնութագրերը կարելի է ստանալ՝ միջինացնելով արժեքները: գործընթացը ժամանակի ընթացքում:

SP-ի մաթեմատիկական ակնկալիքը, երբ միջինացված է ժամանակի ընթացքում, որոշվում է հետևյալ կերպ.

. (5.46)

Սա ենթադրում է ֆիզիկական իմաստ. մաթեմատիկական ակնկալիքը գործընթացի միջին արժեքն է (հաստատուն բաղադրիչ):

SP դիսպերսիան որոշվում է արտահայտությամբ

և ունի գործընթացի փոփոխական բաղադրիչի միջին հզորության ֆիզիկական նշանակություն:

Ավտոկոռելացիոն ֆունկցիա, երբ միջինացված է ժամանակի ընթացքում

Պատահական գործընթացը կոչվում է էրգոդիկ, եթե դրա հավանականական բնութագրերը, որոնք ստացվել են անսամբլի վրա միջինացնելու միջոցով, համընկնում են հավանականական բնութագրերի հետ, որոնք ստացվել են ժամանակի ընթացքում այս համույթից մեկ կատարումը միջինացնելու արդյունքում: Էրգոդիկ պրոցեսները ստացիոնար են:

(5.46), (5.47) և (5.48) արտահայտությունների օգտագործումը, խստորեն ասած, պահանջում է մեծ (տեսականորեն անսահման) ծավալի պատահական գործընթացի իրականացում: Գործնական խնդիրներ լուծելիս ժամանակային միջակայքը սահմանափակ է։ Այս դեպքում գործընթացների մեծ մասը համարվում է մոտավորապես էրգոդիկ, և հավանականական բնութագրերը որոշվում են արտահայտություններին համապատասխան:

; (5.49)

;

Պատահական գործընթացները, որոնք չունեն մաթեմատիկական ակնկալիքներ, կոչվում են կենտրոնացած. Հետևյալում և կնշանակի կենտրոնացված ստոխաստիկ գործընթացների արժեքները: Այնուհետև տրիանսների և ավտոկոռելյացիայի ֆունկցիայի արտահայտությունները ձև են ստանում

; (5.50)

Մենք նշում ենք էրգոդիկ պատահական գործընթացների ACF-ի հատկությունները.

- ավտոկոռելացիոն ֆունկցիան փաստարկի իրական ֆունկցիան է,

– ավտոկոռելացիոն ֆունկցիան հավասարաչափ ֆունկցիա է, այսինքն. ,

– աճող ACF-ը նվազում է (պարտադիր չէ, որ միապաղաղ կերպով) և ձգտում է զրոյի

- ACF արժեքը գործընթացի հավասար ցրվածությամբ (միջին հզորությամբ):

.

Գործնականում հաճախ պետք է գործ ունենալ երկու կամ ավելի համատեղ ձեռնարկությունների հետ: Օրինակ, պատահական ազդանշանի և միջամտության խառնուրդը միաժամանակ ընդունվում է ռադիոընդունիչի մուտքի մոտ: Երկու պատահական գործընթացների միջև կապը հաստատվում է խաչաձև հարաբերակցության ֆունկցիա(VKF): Եթե ​​և երկու պատահական գործընթացներ են, որոնք բնութագրվում են իրականացումներով և , ապա խաչաձև հարաբերակցության ֆունկցիան որոշվում է արտահայտությամբ.

Եթե ​​ինչ-որ փոփոխական X կախված է սկալյար փաստարկից տիսկ վերջինիս յուրաքանչյուր ֆիքսված արժեքի համար պատահական փոփոխական է, այնուհետև փոփոխականը x(t)կոչվում է պատահական ֆունկցիա:

Եթե ​​փաստարկը տփոփոխական x(t)ժամանակն է, ապա այդպիսի պատահական ֆունկցիան կոչվում է պատահական գործընթաց։ Օրինակ, փոթորկալից մթնոլորտում շարժվող ինքնաթիռի թեքության անկյունը պատահական գործընթաց է:

Եթե X-վեկտոր, ապա կախվածություն x(t)- վեկտորային պատահական գործընթաց: Օրինակ, ինքնաթիռի զանգվածի կենտրոնի շարժումը հետագծի երկայնքով բնութագրվում է վեցաչափ վեկտորով. x(t) = (x, y, z, V x, V y, V z):Եթե ​​ապարատի շարժումը տեղի է ունենում պատահական գործոնների ազդեցության ներքո, ապա x(t)- վեկտորային պատահական գործընթաց:

Որոշ փորձերում նկատվում են իրացումներ x i (t), i-1, 2, ... պատահական գործընթաց x (t); ես- իրականացման համարը.

Պատահական գործընթացի վիճակագրական նկարագրություն x(t)իրականացվում է՝ դիտարկելով պատահական փոփոխականների մի շարք x 1 \u003d x (t 1),..., x i = x (t i),տարբեր ժամանակների համապատասխան տ,վերցված դրա փոփոխության դիտարկված միջակայքով: Ենթադրվում է, որ կամայական պատահական գործընթաց է x(t)ամբողջությամբ նկարագրված է, եթե նշված է հավանականության խտությունների հաջորդականության կառուցման մեթոդ p (x, t); p(x 1 , տ; x2, t2);...; p (x 1, t 1; ...; x n, t n)ժամը, որտեղ .

1D խտություն p(x, t)թույլ է տալիս որոշել պատահական փոփոխականին հարվածելու հավանականությունը x(t)ընդմիջումով.

Երկչափ հոդերի խտության օգնությամբ որոշվում է, թե ինչ հավանականությամբ երկու պատահական փոփոխականներ. x 1և x 2ընկնում են ինտերվալների մեջ և համապատասխան պահերին t1և t2:

և այլն ցանկացած մեկի համար Պ.

Պայմանական հավանականության բաշխման խտությունները կարող են օգտագործվել նաև պատահական գործընթացները նկարագրելու համար: Պայմանական հավանականության խտությունը բնութագրում է պատահական փոփոխականի հավանականության բաշխումը , որոնց իրականացումներն այս պահին անցել են կետով . Նմանապես, պայմանական խտությունը պատահական փոփոխականի հավանականության բաշխման խտությունն է x n = x(t n),որոնց իրագործումները նախորդ պահերին ստացել են ֆիքսված արժեքներ . Հաշվի առնելով (1.7) բանաձևը, վավեր են համատեղ անվերապահ և պայմանական բաշխումների հետևյալ հարաբերությունները.

Տեղի են ունենում անվերապահ և պայմանական բաշխումների հետևյալ սահմանափակող հատկությունները.

որտեղ է դելտա ֆունկցիան կետում X 1.

Մեկ այլ սահմանափակող դեպքում

Պատահական գործընթացների դասակարգումն իրականացվում է կախված այն հատկություններից, որոնք ունեն դրանց համատեղ անվերապահ և պայմանական բաշխումները։

Լիովին պատահական գործընթաց.Գործընթացը x(t)կոչվում է բացարձակ պատահական, եթե պատահական փոփոխականները անկախ են կամայականորեն փոքրի համար . Հաշվի առնելով (1.10), նման գործընթացի համար մենք ստանում ենք, որ համատեղ n-չափական բաշխումը ցանկացած Պ.որոշվում է հարաբերակցությամբ

այսինքն՝ բացարձակապես պատահական գործընթացն ամբողջությամբ նկարագրվում է իր միաչափ բաշխմամբ p (x, I),բոլորին հայտնի տ.

Մարկովյան գործընթացը.Սահմանել փաստարկի հնարավոր փոփոխության միջակայքը տպատահական գործընթաց x(t)ժամանակային շարքեր. պատահական գործընթաց x(t)կոչվում է մարկովյան, եթե այն բավարարում է որևէ մեկի հարաբերությունը .

Մարկովյան գործընթացի համար պատահական փոփոխականի պայմանական հավանականության խտությունը կախված է միայն նրանից, թե ինչ արժեք է ունեցել պատահական փոփոխականը և ոչ մի կերպ կախված չէ նրանից, թե ինչպիսին է եղել այս գործընթացի իրականացումը նախորդ պահերին: . Խտություն կոչվում է նաև Մարկովյան գործընթացի անցումային հավանականության խտություն x(t).Մարկովյան գործընթացի համար x (t),հաշվի առնելով (1.34) և (1.40), մենք որոշվում է նախորդ արժեքով և այս միջակայքի աճով, անկախ նախորդ միջակայքերի ավելացումներից:

Գաուսի պատահական գործընթաց.պատահական գործընթաց x (t),որն ունի համատեղ n-չափ հավանականության խտություն ցանկացածի համար Պիսկ Գաուսի ցանկացածը կոչվում է Գաուսի պատահական գործընթաց: