Այս բաժինն իր արտասովոր տեսքին է պարտական ​​շատ ու շատ հեղինակների, ովքեր կարդալով նրանց ստեղծագործությունները՝ ես ցանկացա այս գործերը ներկայացնել հենց գրողների մեջ: Իրականում, ես նախատեսում էի այս թեման ամբողջությամբ ներկայացնել միայն վերջնականապես պատրաստ լինելուն պես, սակայն դրա շուրջ չափազանց շատ հարցերի պատճառով որոշ կետեր կներկայացնեմ հիմա։ Հետագայում նյութը կլրացվի և կընդլայնվի։ Սկսենք սահմանումներից։

$ \ sum \ limits_ (n = 1) ^ (\ infty) (- 1) ^ (n + 1) u_n $ ձևի մի շարք, որտեղ $ u_n> 0 $, կոչվում է փոփոխական։

Փոխարինվող շարքի անդամների նշանները խստորեն փոխարինվում են.

$$ \ գումար / սահմաններ_ (n = 1) ^ (\ infty) (- 1) ^ (n + 1) u_n = u_1-u_2 + u_3-u_4 + u_5-u_6 + u_7-u_8 + \ ldots $$

Օրինակ, $ 1- \ frac (1) (2) + \ frac (1) (3) - \ frac (1) (4) + \ ldots $-ը փոփոխական տող է: Պատահում է, որ նշանների խիստ փոփոխությունը չի սկսվում առաջին տարրից, սակայն կոնվերգենցիայի ուսումնասիրության համար դա էական չէ։

Ինչո՞ւ առաջին տարրից նիշերի փոփոխությունն աննշան չէ։ ցույց տալ \ թաքցնել

Փաստն այն է, որ թվային շարքերի հատկությունների շարքում կա մի հայտարարություն, որը թույլ է տալիս հրաժարվել շարքի «լրացուցիչ» անդամներին: Սա սեփականությունն է.

$ \ sum \ limits_ (n = 1) ^ (\ infty) u_n $-ը համընկնում է, եթե և միայն այն դեպքում, եթե նրա մնացորդներից որևէ մեկը համընկնում է $ r_n = \ sum \ limits_ (k = n + 1) ^ (\ infty) u_k $ . Այսպիսով, հետևում է, որ որոշակի շարքին վերջավոր թվով տերմիններ թողնելը կամ ավելացնելը չի ​​փոխում շարքի մերձեցումը:

Եկեք մեզ տրվի որոշակի փոփոխական շարք $ \ գումար / սահմաններ_ (n = 1) ^ (\ infty) (- 1) ^ (n + 1) u_n $, և թող Լայբնիցի չափանիշի առաջին պայմանը բավարարվի այս շարքի համար: , այսինքն $ \ lim_ (n \ մինչև (\ infty)) u_n = 0 $: Այնուամենայնիվ, երկրորդ պայմանը, այսինքն. $ u_n≥u_ (n + 1) $, կատարվում է սկսած ինչ-որ $ n_0 թվից \ (N) $-ում: Եթե ​​$ n_0 = 1 $, ապա մենք ստանում ենք Լայբնիցի չափանիշի երկրորդ պայմանի սովորական ձևակերպումը, հետևաբար, $ \ գումարի \ սահմանները_ (n = 1) ^ (\ infty) (- 1) ^ (n + 1) ) u_n $-ը կմիանա: Եթե ​​$ n_0> 1 $, ապա $ \ sum \ limits_ (n = 1) ^ (\ infty) (- 1) ^ (n + 1) u_n $ տողը բաժանում ենք երկու մասի։ Առաջին մասում ընտրեք բոլոր այն տարրերը, որոնց թվերը պակաս են $ n_0 $-ից.

$$ \ sum \ limits_ (n = 1) ^ (\ infty) (- 1) ^ (n + 1) u_n = \ sum \ limits_ (n = 1) ^ (n_0-1) (- 1) ^ (n +1) u_n + \ գումարը \ սահմաններ_ (n = n_0) ^ (\ infty) (- 1) ^ (n + 1) u_n $$

$ \ sum \ limits_ (n = n_0) ^ (\ infty) (- 1) ^ (n + 1) u_n $ շարքի համար Լայբնիցի չափանիշի երկու պայմաններն էլ բավարարված են, հետևաբար, շարքը $ \ գումար \ սահմաններ_ (n) = n_0) ^ (\ infty) (- 1) ^ (n + 1) u_n $ համընկնում է: Քանի որ մնացորդը համընկնում է, սկզբնական $ \ sum \ limits_ (n = 1) ^ (\ infty) (- 1) ^ (n + 1) u_n $-ը նույնպես կմիանա:

Այսպիսով, բացարձակապես կարևոր չէ, թե արդյոք Լայբնիցի չափանիշի երկրորդ պայմանը բավարարված է, սկսած առաջինից, թե՞ հազարերորդ տարրից, շարքը դեռ կմիանա։

Նշենք, որ Լայբնիցի թեստը բավարար, բայց ոչ անհրաժեշտ պայման է հերթափոխային շարքերի կոնվերգենցիայի համար։ Այլ կերպ ասած, Լայբնիցի չափանիշի պայմանների կատարումը երաշխավորում է շարքի մերձեցումը, սակայն այդ պայմանների չկատարումը չի երաշխավորում ոչ մերձեցում, ոչ էլ տարաձայնություն։ Իհարկե, առաջին պայմանի ձախողումը, այսինքն. դեպք $ \ lim_ (n \ մինչև (\ infty)) u_n \ neq (0) $, նշանակում է շարքի շեղում $ \ sum \ limits_ (n = n_0) ^ (\ infty) (- 1) ^ (n + 1) u_n $, այնուամենայնիվ, երկրորդ պայմանի ձախողումը կարող է տեղի ունենալ ինչպես համընկնող, այնպես էլ շեղվող շարքերի համար:

Քանի որ փոփոխական շարքերը հաճախ հանդիպում են ստանդարտ ստանդարտ հաշվարկներում, ես կազմել եմ մի սխեմա, որով դուք կարող եք ուսումնասիրել ստանդարտ փոփոխական շարքերը կոնվերգենցիայի համար:

Իհարկե, կարելի է ուղղակիորեն կիրառել Լայբնիցի թեստը՝ շրջանցելով մի շարք մոդուլների կոնվերգենցիայի ստուգումը։ Այնուամենայնիվ, ստանդարտ վերապատրաստման օրինակների համար անհրաժեշտ է մի շարք մոդուլների ստուգում, քանի որ ստանդարտ հաշվարկների հեղինակներից շատերը պահանջում են ոչ միայն պարզել, թե արդյոք սերիան համընկնում է, թե ոչ, այլ նաև որոշել կոնվերգենցիայի բնույթը (պայմանական կամ բացարձակ): Անցնենք օրինակներին։

Օրինակ # 1

Հետազոտեք $ \ sum \ limits_ (n = 1) ^ (\ infty) (- 1) ^ (n + 1) \ frac (4n-1) (n ^ 2 + 3n) $ շարքը կոնվերգենցիայի համար:

Սկսենք, եկեք պարզենք, թե արդյոք այս շարքը իսկապես փոփոխական է: Քանի որ $ n≥1 $, ապա $ 4n-1≥3> 0 $ և $ n ^ 2 + 3n≥4> 0 $, այսինքն. բոլոր $ n \-ի համար (N) $ մենք ունենք $ \ frac (4n-1) (n ^ 2 + 3n)> 0 $: Այսպիսով, տրված շարքն ունի $ \ գումար \ սահմաններ_ (n = 1) ^ (\ infty) (- 1) ^ (n + 1) u_n $, որտեղ $ u_n = \ frac (4n-1) (n ^) 2 + 3n)> 0 $, այսինքն. քննարկվող շարքը փոփոխական է։

Սովորաբար, նման ստուգումը կատարվում է բանավոր, բայց դա բաց թողնելը խիստ անցանկալի է. բնորոշ հաշվարկներում սխալները հազվադեպ չեն: Հաճախ է պատահում, որ տվյալ շարքի անդամների նշանները չեն սկսում հերթափոխվել շարքի առաջին անդամից։ Այս դեպքում դուք կարող եք հրաժարվել շարքի «միջամտող» տերմիններից և ուսումնասիրել մնացորդի կոնվերգենցիան (տե՛ս այս էջի սկզբի նշումը):

Այսպիսով, մեզ տրվում է հերթափոխային շարք: Մենք կհետևենք վերը նշվածին. Սկսելու համար, եկեք կազմենք այս շարքի անդամների մի շարք մոդուլներ.

$$ \ sum \ limits_ (n = 1) ^ (\ infty) \ ձախ | (-1) ^ (n + 1) \ frac (4n-1) (n ^ 2 + 3n) \ աջ | = \ գումար \ սահմաններ_ (n = 1) ^ (\ infty) \ ֆրակ (4n-1) (n ^ 2 + 3n) $$

Եկեք ստուգենք, թե արդյոք կազմված մոդուլների շարքը համընկնում է: Կիրառենք համեմատության նշանը։ Քանի որ բոլոր $ n \-ի համար (N) $ մենք ունենք $ 4n-1 = 3n + n-1≥3n $ և $ n ^ 2 + 3n≤n ^ 2 + 3n ^ 2 = 4n ^ 2 $, ապա.

$$ \ frac (4n-1) (n ^ 2 + 3n) ≥ \ frac (3n) (4n ^ 2) = \ frac (3) (4) \ cdot \ frac (1) (n) $$

Հարմոնիկ շարքը $ \ sum \ limits_ (n = 1) ^ (\ infty) \ frac (1) (n) $ շեղվում է, հետևաբար $ \ sum \ limits_ (n = 1) ^ (\ infty) \ մնացել է նաև շեղվել (\ frac (3) (4) \ cdot \ frac (1) (n) \ աջ) $: Հետևաբար, համեմատության չափանիշի համաձայն, $ \ sum \ limits_ (n = 1) ^ (\ infty) \ frac (4n-1) (n ^ 2 + 3n) $ շարքը տարբերվում է: Նշենք $ u_n = \ frac (4n-1) (n ^ 2 + 3n) $ և ստուգենք, թե արդյոք Լայբնիցի թեստի պայմանները բավարարված են նախնական փոփոխվող շարքի համար։ Գտեք $ \ lim_ (n \ մինչև (\ infty)) u_n $:

$$ \ lim_ (n \ մինչև (\ infty)) u_n = \ lim_ (n \ մինչև (\ infty)) \ frac (4n-1) (n ^ 2 + 3n) = \ lim_ (n \ մինչև (\ infty) )) \ frac (\ frac (4) (n) - \ frac (1) (n ^ 2)) (1+ \ frac (3) (n)) = 0: $$

Լայբնիցի չափանիշի առաջին պայմանը կատարվում է. Այժմ մենք պետք է պարզենք, թե արդյոք գործում է $ u_n≥u_ (n + 1) $ անհավասարությունը: Հեղինակների զգալի մասը նախընտրում է գրել շարքի առաջին մի քանի անդամներին, այնուհետև եզրակացնել, որ $ u_n≥u_ (n + 1) $ անհավասարությունը բավարարված է:

Այլ կերպ ասած, տվյալ շարքի այս «ապացույցը» կունենա հետևյալ ձևը՝ $ \ frac (2) (3) ≤ \ frac (5) (8) ≤ \ frac (8) (15) ≤ \ ldots $։ Առաջին մի քանի անդամները համեմատելուց հետո եզրակացություն է արվում՝ մնացած տերմինների համար անհավասարությունը կմնա, յուրաքանչյուր հաջորդը կլինի ոչ ավելի, քան նախորդը։ Որտեղի՞ց է այս «ապացույցի մեթոդը», չգիտեմ, բայց դա սխալ է։ Օրինակ՝ $ v_n = \ frac (10 ^ n) հաջորդականության համար (n$ получим такие первые члены: $v_1=10$, $v_2=50$, $v_3=\frac{500}{3}$, $v_4=\frac{1250}{3}$. Как видите, они возрастают, т.е., если ограничиться сравнением нескольких первых членов, то можно сделать вывод, что $v_{n+1}>v_n$ для всех $n\in{N}$. Однако такой вывод будет категорически неверным, так как начиная с $n=10$ элементы последовательности будут убывать.!}

Ինչպե՞ս ապացուցել $ u_n≥u_ (n + 1) $ անհավասարությունը: Ընդհանուր առմամբ, դա անելու մի քանի եղանակ կա: Մեր դեպքում ամենահեշտը $ u_n-u_ (n + 1) $ տարբերությունը դիտարկելն է և դրա նշանը պարզելը: Հաջորդ օրինակում մենք այլ կերպ կդիտարկենք՝ ապացուցելով համապատասխան ֆունկցիայի նվազումը։

$$ u_n-u_ (n + 1) = \ frac (4n-1) (n ^ 2 + 3n) - \ frac (4 (n + 1) -1) ((n + 1) ^ 2 + 3 (n +1)) = \ frac (4n-1) (n ^ 2 + 3n) - \ frac (4n + 3) (n ^ 2 + 5n + 4) = \\ = \ frac ((4n-1) \ cdot \ ձախ (n ^ 2 + 5n + 4 \ աջ) - \ ձախ (n ^ 2 + 3n \ աջ) \ cdot (4n + 3)) (\ ձախ (n ^ 2 + 3n \ աջ) \ cdot \ ձախ ( n ^ 2 + 5n + 4 \ աջ)) = \ frac (4n ^ 2 + 2n-4) (\ ձախ (n ^ 2 + 3n \ աջ) \ cdot \ ձախ (n ^ 2 + 5n + 4 \ աջ) ): $$

Քանի որ $ n≥1 $, ապա $ 4n ^ 2-4≥0 $, որտեղից մենք ունենք $ 4n ^ 2 + 2n-4> 0 $, այսինքն. $ u_n-u_ (n + 1)> 0 $, $ u_n> u_ (n + 1) $: Պատահում է, իհարկե, որ $ u_n≥u_ (n + 1) $ անհավասարությունը չի կատարվում շարքի առաջին անդամից, բայց դա աննշան է (տե՛ս էջի սկզբում)։

Այսպիսով, Լայբնիցի չափանիշի երկու պայմաններն էլ բավարարված են։ Քանի որ այս դեպքում շարքը $ \ sum \ limits_ (n = 1) ^ (\ infty) \ ձախ | (-1) ^ (n + 1) \ frac (4n-1) (n ^ 2 + 3n) \ աջ | $-ը շեղվում է, ապա $ \ sum \ limits_ (n = 1) ^ (\ infty) (- 1) ^ (n + 1) \ frac (4n-1) (n ^ 2 + 3n) $ շարքը պայմանականորեն համընկնում է:

ՊատասխանելՇարքը պայմանականորեն համընկնում է:

Օրինակ թիվ 2

Հետազոտեք $ \ sum \ limits_ (n = 1) ^ (\ infty) (- 1) ^ (n + 1) \ frac (5n-4) (\ sqrt (2n ^ 3-1)) $ շարքը կոնվերգենցիայի համար:

Նախ հաշվի առեք $ \ frac (5n-4) (\ sqrt (2n ^ 3-1)) $ արտահայտությունը։ Արժե մի փոքր ստուգել վիճակի ճիշտությունը։ Փաստն այն է, որ շատ հաճախ ստանդարտ տիպիկ հաշվարկների պայմաններում կարելի է հանդիպել սխալների, երբ արմատական ​​արտահայտությունը բացասական է, կամ $ n $ որոշ արժեքների համար հայտարարում հայտնվում է զրո:

Նման անախորժություններից խուսափելու համար կատարենք մի պարզ նախնական հետազոտություն։ Քանի որ $ n≥1 $-ի համար մենք ունենք $ 2n ^ 3≥2 $, ապա $ 2n ^ 3-1≥1 $, այսինքն. Արմատի տակ արտահայտությունը չի կարող լինել բացասական կամ հավասար զրոյի: Հետեւաբար, պայմանը միանգամայն ճիշտ է։ $ \ frac (5n-4) (\ sqrt (2n ^ 3-1)) $ արտահայտությունը սահմանվում է բոլոր $ n≥1 $-ի համար:

Ավելացնեմ, որ $ n≥1 $-ի համար $ \ frac (5n-4) (\ sqrt (2n ^ 3-1))> 0 $ անհավասարությունը ճշմարիտ է, այսինքն. մեզ տրվում է հերթափոխային շարք: Մենք դա կուսումնասիրենք վերը նշվածի համաձայն։ Սկսելու համար, եկեք կազմենք այս շարքի անդամների մի շարք մոդուլներ.

$$ \ sum \ limits_ (n = 1) ^ (\ infty) \ ձախ | (-1) ^ (n + 1) \ frac (5n-4) (\ sqrt (2n ^ 3-1)) \ աջ | = \ գումար / սահմաններ_ (n = 1) ^ (\ infty) \ frac (5n-4) (\ sqrt (2n ^ 3-1)) $$

Եկեք ստուգենք, թե արդյոք տվյալ շարքի անդամների մոդուլներից կազմված շարքը համընկնում է։ Կիրառենք համեմատության նշանը։ Նախորդ օրինակի լուծման ժամանակ մենք կիրառեցինք առաջին համեմատության չափանիշը. Այստեղ, զուտ բազմազանության համար, կկիրառենք համեմատության երկրորդ չափանիշը (համեմատության չափանիշը սահմանափակող ձևով): Համեմատեք $ \ sum \ limits_ (n = 1) ^ (\ infty) \ frac (5n-4) (\ sqrt (2n ^ 3-1)) $ շարքը $ \ sum \ limits_ (n = 1) տարբերվող շարքի հետ ) ^ (\ infty) \ frac (1) (\ sqrt (n)) $:

$$ \ lim_ (n \ to \ infty) \ frac (\ frac (5n-4) (\ sqrt (2n ^ 3-1))) (\ frac (1) (\ sqrt (n))) = \ lim_ (n \ to \ infty) \ frac (5n \ sqrt (n) -4 \ sqrt (n)) (\ sqrt (2n ^ 3-1)) = \ lim_ (n \ to \ infty) \ frac (\ frac (5n \ sqrt (n)) (n \ sqrt (n)) - \ frac (4 \ sqrt (n)) (n \ sqrt (n))) (\ sqrt (\ frac (2n ^ 3-1) ( n ^ 3))) \ lim_ (n \ to \ infty) \ frac (5- \ frac (4) (n)) (\ sqrt (2- \ frac (1) (n ^ 3))) = \ frac (5) (\ sqrt (2)). $$

Քանի որ $ \ frac (5) (\ sqrt (2)) \ neq (0) $ և $ \ frac (5) (\ sqrt (2)) \ neq \ infty $, այնուհետև $ \ sum \ limits_ շարքի հետ միաժամանակ (n = 1) ^ (\ infty) \ frac (1) (\ sqrt (n)) $-ը շեղվելու է, և $ \ գումարը \ սահմանները_ (n = 1) ^ (\ infty) \ frac (5n-4) ( \ sqrt (2n ^ 3-1)) $.

Այսպիսով, տրված հերթափոխային շարքը բացարձակ կոնվերգենցիա չունի։ Նշենք $ u_n = \ frac (5n-4) (\ sqrt (2n ^ 3-1)) $ և ստուգենք, թե արդյոք Լայբնիցի թեստի պայմանները բավարարված են։ Գտեք $ \ lim_ (n \ մինչև (\ infty)) u_n $:

$$ \ lim_ (n \ to (\ infty)) u_n = \ lim_ (n \ to (\ infty)) \ frac (5n-4) (\ sqrt (2n ^ 3-1)) = \ lim_ (n \ մինչև (\ infty)) \ frac (\ frac (5n) (n ^ (\ frac (3) (2))) - \ frac (4) (n ^ (\ frac (3) (2)))) ( \ sqrt (\ frac (2n ^ 3-1) (n ^ 3))) = \ lim_ (n \ to (\ infty)) \ frac (\ frac (5) (\ sqrt (n)) - \ frac ( 4) (n ^ (\ frac (3) (2)))) (\ sqrt (2- \ frac (1) (n ^ 3))) = 0: $$

Լայբնիցի չափանիշի առաջին պայմանը կատարվում է. Այժմ մենք պետք է պարզենք, թե արդյոք գործում է $ u_n≥u_ (n + 1) $ անհավասարությունը: Նախորդ օրինակում մենք դիտարկեցինք այս անհավասարությունն ապացուցելու եղանակներից մեկը՝ պարզելով $ u_n-u_ (n + 1) $ տարբերության նշանը։ Այս անգամ եկեք դիմենք մեկ այլ մեթոդի. $ u_n = \ frac (5n-4) (\ sqrt (2n ^ 3-1)) $ փոխարեն, հաշվի առեք $ y (x) = \ frac (5x-4) ֆունկցիան: ) (\ sqrt ( 2x ^ 3-1)) $ տրամադրված $ x≥1 $. Նշենք, որ այս ֆունկցիայի վարքագիծը $ x պայմանով<1$ нам совершенно безразлично.

Մեր նպատակն է ապացուցել $ y (x) $ ֆունկցիայի չաճող (կամ նվազող) լինելը։ Եթե ​​ապացուցենք, որ $ y (x) $ ֆունկցիան չի աճում, ապա $ x_2> x_1 $-ի բոլոր արժեքների համար մենք կունենանք $ y (x_1) ≥y (x_2) $: Սահմանելով $ x_1 = n $ և $ x_2 = n + 1 $, մենք ստանում ենք, որ $ n + 1> n $ անհավասարությունը ենթադրում է $ y (n) ≥y (n + 1) $ անհավասարության ճշմարտացիությունը: Քանի որ $ y (n) = u_n $, $ y (n) ≥y (n + 1) $ անհավասարությունը նույնն է, ինչ $ u_ (n) ≥u_ (n + 1) $:

Եթե ​​ցույց տանք, որ $ y (x) $-ը նվազող ֆունկցիա է, ապա $ n + 1> n $ անհավասարությունը ենթադրում է $ y (n)> y (n + 1) $ անհավասարության ճշմարտացիությունը, այսինքն. $ u_ (n)> u_ (n + 1) $:

Եկեք գտնենք $ y "(x) $ ածանցյալը և պարզենք դրա նշանը $ x $-ի համապատասխան արժեքների համար:

$$ y "(x) = \ frac ((5x-4)" \ cdot \ sqrt (2x ^ 3-1) - (5x-4) \ cdot \ ձախ (\ sqrt (2x ^ 3-1) \ աջ ) ") (\ ձախ (\ sqrt (2x ^ 3-1) \ աջ) ^ 2) = \ frac (5 \ cdot \ sqrt (2x ^ 3-1) - (5x-4) \ cdot \ frac (1 ) (2 \ sqrt (2x ^ 3-1)) \ cdot (6x ^ 2)) (2x ^ 3-1) = \\ = \ frac (5 \ cdot \ ձախ (2x ^ 3-1 \ աջ) - (5x-4) \ cdot (3x ^ 2)) (\ ձախ (2x ^ 3-1 \ աջ) ^ (\ frac (3) (2))) = \ frac (-5x ^ 3 + 12x ^ 2- 5) (\ ձախ (2x ^ 3-1 \ աջ) ^ (\ ֆրակ (3) (2))) $$

Ենթադրում եմ, որ ակնհայտ է, որ $ x≥1 $ բավականաչափ մեծ դրական արժեքների դեպքում հայտարարում բազմանդամը զրոյից փոքր կլինի, այսինքն. $ -5x ^ 3 + 12x ^ 2-5<0$. Эту "очевидность" несложно обосновать формально - если вспомнить курс алгебры. Дело в том, что согласно лемме о модуле старшего члена, при достаточно больших значениях $|x|$ знак многочлена совпадает с знаком его старшего члена. Адаптируясь к нашей задаче получаем, что существует такое число $c≥1$, то для всех $x≥c$ будет верным неравенство $-5x^3+12x^2-5<0$. В принципе, существования такого числа $c$ уже вполне достаточно для дальнейшего решения задачи.

Սակայն հարցին մոտենանք ավելի քիչ ֆորմալ։ Որպեսզի հանրահաշիվից ավելորդ լեմաներ չներառվեն, պարզապես մոտավորապես գնահատեք $ -5x ^ 3 + 12x ^ 2-5 $ արտահայտության արժեքը: Հաշվի առնենք $ -5x ^ 3 + 12x ^ 2-5 = x ^ 2 (-5x + 12) -5 $։ $ x≥3 $-ի համար մենք ունենք $ -5x + 12<0$, посему $x^2(-5x+12)-5<0$.

Այսպիսով, $ x≥3 $-ի համար մենք ունենք $ y «(x)<0$, т.е. функция $y(x)$ убывает. А это, в свою очередь, означает, что при $n≥3$ верно неравенство $u_n>u_ (n + 1) $, այսինքն. Լայբնիցի չափանիշի երկրորդ պայմանը բավարարված է. Իհարկե, մենք ցույց տվեցինք, որ երկրորդ պայմանը բավարարվում է ոչ թե $ n = 1 $, այլ $ n = 3 $, բայց դա անկարևոր է (տե՛ս էջի սկզբում):

Այսպիսով, Լայբնիցի չափանիշի երկու պայմաններն էլ բավարարված են։ Քանի որ այս դեպքում շարքը $ \ sum \ limits_ (n = 1) ^ (\ infty) \ ձախ | (-1) ^ (n + 1) \ frac (5n-4) (\ sqrt (2n ^ 3-1) ) ) \ աջ | $-ը շեղվում է, այնուհետև $ \ գումարը \ սահմանները_ (n = 1) ^ (\ infty) (- 1) ^ (n + 1) \ frac (4n-1) (n ^ 2 + 3n) $-ը պայմանականորեն համընկնում է:

ՊատասխանելՇարքը պայմանականորեն համընկնում է:

Օրինակ թիվ 3

Հետազոտեք $ \ գումարը \ սահմանները_ (n = 1) ^ (\ infty) (- 1) ^ (n + 1) \ frac (3n + 4) (2 ^ n) $ սերիան կոնվերգենցիայի համար:

Այս օրինակը մեծ հետաքրքրություն չի ներկայացնում, ուստի ես այն համառոտ նկարագրեմ: Մեզ տրվում է հերթափոխային շարք, որը մենք կրկին կուսումնասիրենք: Եկեք կազմենք այս շարքի անդամների մի շարք մոդուլներ.

$$ \ գումար \ սահմաններ_ (n = 1) ^ (\ infty) \ ձախ | (-1) ^ (n + 1) \ ֆրակ (3n + 4) (2 ^ n) \ աջ | = \ գումար \ սահմաններ_ (n = 1) ^ (\ infty) \ ֆրակ (3n + 4) (2 ^ n) $$

Եկեք կիրառենք Alamber նշանը D: Նշելով $ u_n = \ frac (3n + 4) (2 ^ n) $, մենք ստանում ենք $ u_ (n + 1) = \ frac (3n + 7) (2 ^ (n + 1): )) $...

$$ \ lim_ (n \ մինչև \ infty) \ frac (u_ (n + 1)) (u_ (n)) = \ lim_ (n \ մինչև \ infty) \ frac (\ frac (3n + 7) (2 ^ (n + 1))) (\ frac (3n + 4) (2 ^ n)) = \ frac (1) (2) \ lim_ (n \ to \ infty) \ frac (3n + 7) (3n + 4 ) = \ frac (1) (2) \ lim_ (n \ մինչև \ infty) \ frac (3+ \ frac (7) (n)) (3+ \ frac (4) (n)) = \ frac (1) ) (2) \ cdot (1) = \ ֆրակ (1) (2). $$

Քանի որ $ \ ֆրակ (1) (2)<1$, то согласно признаку Д"Аламбера ряд $\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{3n+4}{2^n}$ сходится. Из сходимости ряда $\sum\limits_{n=1}^{\infty}\left|(-1)^{n+1}\frac{3n+4}{2^n}\right|$, что ряд $\sum\limits_{n=1}^{\infty}(-1)^{n+1}\frac{3n+4}{2^n}$ сходится, причём сходится абсолютно.

Նկատենք, որ բերված օրինակը լուծելու համար մեզ պետք չէր Լայբնիցի չափանիշը։ Այդ իսկ պատճառով հարմար է նախ ստուգել մի շարք մոդուլների կոնվերգենցիան, այնուհետև, անհրաժեշտության դեպքում, ուսումնասիրել սկզբնական հերթափոխային շարքի կոնվերգենցիան։

ՊատասխանելՇարքը բացարձակապես համընկնում է:

Անսահման թվով դրական և անվերջ թվով բացասական անդամներ պարունակող թվային շարքը կոչվում է փոփոխական:

Բացարձակ և պայմանական կոնվերգենցիա

Շարքը կոչվում է բացարձակ կոնվերգենտ, եթե շարքը նույնպես համընկնում է:

Եթե ​​շարքը բացարձակապես համընկնում է, ապա այն կոնվերգենտ է (սովորական իմաստով): Հակառակը ճիշտ չէ։

Շարքը կոչվում է պայմանականորեն կոնվերգենտ, եթե այն ինքնին համընկնում է, իսկ իր անդամների մոդուլներից կազմված շարքը շեղվում է:

Ուսումնասիրեք շարքի մերձեցումը .

Եկեք կիրառենք բավարար Լայբնիցի չափանիշը փոփոխվող շարքերի համար: Մենք ստանում ենք

այնքանով, որքանով . Հետևաբար, այս շարքը համընկնում է:

38. Փոխարինվող շարքեր. Լայբնիցի նշանը.

Փոփոխական շարքի հատուկ դեպքը փոխարինող շարքն է, այսինքն՝ այն շարքը, որի հաջորդական անդամներն ունեն հակադիր նշաններ։

Լայբնիցի նշանը

Լայբնից կոնվերգենցիայի բավարար չափանիշը վավեր է փոփոխվող նշանների համար:

Թող (an) թվային հաջորդականություն լինի այնպես, որ

1.an + 1< an для всех n;

Այնուհետև սկսվում են հերթափոխով տողերը:

39. Ֆունկցիոնալ շարք. Power շարք. Կոնվերգենցիայի շառավիղը. Կոնվերգենցիայի միջակայքը.

Ֆունկցիոնալ շարքի և ուժային շարքի հայեցակարգը

Սովորական թվերի շարքը, հիշեք, բաղկացած է թվերից.

Շարքի բոլոր անդամները ԹԻՎ են:

Ֆունկցիոնալ տիրույթը բաղկացած է ՖՈՒՆԿՑԻԱՆԵՐԻՑ.

Բացի բազմանդամներից, ֆակտորիաներից և այլ նվերներից, ընդհանուր տերմինը ներառում է «X» տառը: Օրինակ, այն ունի հետևյալ տեսքը.

Ինչպես թվային շարքը, ցանկացած ֆունկցիոնալ շարք կարելի է նկարագրել ընդլայնված ձևով.

Ինչպես տեսնում եք, ֆունկցիաների շարքի բոլոր անդամները ֆունկցիաներ են։

Ֆունկցիոնալ տիրույթի ամենատարածված տեսակն է հզորության շարք.

Սահմանում:

Հզորության շարքը մի շարք է, որի ընդհանուր տերմինը ներառում է անկախ փոփոխականի դրական ամբողջ թվային հզորությունները:

Պարզեցված ձևով, շատ դասագրքերում հզորության շարքը գրված է հետևյալ կերպ. որտե՞ղ է թվային շարքերի հին ծանոթ «լցոնումը» (բազմանդամներ, աստիճաններ, ֆակտորիաներ՝ կախված միայն «en»-ից): Ամենապարզ օրինակը.

Եկեք նայենք այս ընդլայնմանը և ևս մեկ անգամ հասկանանք սահմանումը. հզորության շարքի անդամները պարունակում են «xes» դրական ամբողջ թվով (բնական) հզորություններով:

Շատ հաճախ հզորության շարքը կարելի է գտնել հետևյալ «փոփոխություններում» կամ որտեղ a-ն հաստատուն է: Օրինակ:

Խստորեն ասած, հզորության շարքի պարզեցված նշում, կամ ամբողջովին ճիշտ չէ: Ցուցանիշում «en» միայնակ տառի փոխարեն կարելի է ավելի բարդ արտահայտություն գտնել, օրինակ.

Կամ նման հզորության շարք.

Եթե ​​միայն «xAx» ունեցող ցուցանիշները բնական լինեին:

Հզորության շարքի կոնվերգենցիան.

Կոնվերգենցիայի միջակայքը, կոնվերգենցիայի շառավիղը և կոնվերգենցիայի շրջանը

Տերմինների նման առատությունից վախեցնել պետք չէ, դրանք գնում են «կողքից» և առանձնապես դժվար չէ հասկանալ։ Ավելի լավ է ընտրել մի քանի պարզ փորձնական շարք և անմիջապես սկսել հասկանալ:

Ես խնդրում եմ ձեզ սիրել և հավանել ուժային շարքը: Փոփոխականը կարող է ցանկացած իրական արժեք վերցնել «մինուս անսահմանությունից» մինչև «գումարած անսահմանություն»: Շարքի ընդհանուր տերմինում փոխարինենք «x»-ի մի քանի կամայական արժեքներ.

Եթե ​​x = 1, ապա

Եթե ​​x = -1, ապա

Եթե ​​x = 3, ապա

Եթե ​​x = -0.2, ապա

Ակնհայտ է, որ «x»-ը փոխարինելով այս կամ այն ​​արժեքով՝ ստանում ենք տարբեր թվային շարքեր։ Որոշ թվային շարքեր կմիավորվեն, իսկ որոշները կտարվեն: Եվ մեր խնդիրն է գտնել «x»-ի արժեքների բազմությունը, որի վրա կհամընկնի հզորության շարքը: Նման բազմությունը կոչվում է շարքի կոնվերգենցիայի շրջան։

Ցանկացած ուժային շարքի համար (ժամանակավորապես շեղվելով կոնկրետ օրինակից) հնարավոր է երեք դեպք.

1) Հզորության շարքը բացարձակապես համընկնում է ինչ-որ ընդմիջման վրա: Այլ կերպ ասած, եթե միջակայքից ընտրենք «x»-ի որևէ արժեք և այն փոխարինենք հզորության շարքի ընդհանուր անդամով, ապա կստանանք բացարձակապես կոնվերգենտ թվային շարք։ Այս միջակայքը կոչվում է հզորության շարքի կոնվերգենցիայի միջակայք։

Կոնվերգենցիայի շառավիղը, եթե շատ պարզ է, հավասար է կոնվերգենցիայի միջակայքի երկարության կեսին.

Երկրաչափական առումով իրավիճակը հետևյալն է.

Այս դեպքում շարքի կոնվերգենցիայի միջակայքը շարքի կոնվերգենցիայի շառավիղն է.

Սահմանում 1

Թվային շարքը $ \ գումարը \ սահմանները _ (n = 1) ^ (\ infty) u_ (n) $, որի անդամներն ունեն կամայական նշաններ (+), (?), կոչվում է փոփոխական շարք։

Վերևում դիտարկված փոփոխական շարքերը փոփոխական շարքերի հատուկ դեպք են. պարզ է, որ ոչ բոլոր հերթափոխային շարքերն են փոփոխական: Օրինակ՝ $ 1- \ ֆրակ (1) (2) - \ ֆրակ (1) (3) + \ ֆրակ (1) (4) + \ ֆրակ (1) (5) - \ ֆրակ (1) ( 6) - \ frac (1) (7) + \ ldots - $ փոփոխական, բայց ոչ փոփոխական շարք:

Նկատի ունեցեք, որ տերմինների փոփոխվող շարքում և՛ (+), և՛ (-) նշաններով անսահման շատ են: Եթե ​​դա այդպես չէ, օրինակ, շարքը պարունակում է վերջավոր թվով բացասական անդամներ, ապա դրանք կարելի է հեռացնել և դիտարկել միայն դրական անդամներից կազմված շարքը և հակառակը։

Սահմանում 2

Եթե ​​թվերի շարքը $ \ sum \ սահմանում է _ (n = 1) ^ (\ infty) u_ (n) $-ը համընկնում է, և դրա գումարը S է, իսկ մասնակի գումարը $ S_n $ է, ապա $ r_ (n) = S- S_ (n) $-ը կոչվում է շարքի մնացորդ, իսկ $ \ mathop (\ lim) \ limits_ (n \ մինչև \ infty) r_ (n) = \ mathop (\ lim) \ limits_ (n \ մինչև \ infty) (S-S_ (n )) = SS = 0 $, այսինքն. համընկնող շարքի մնացած մասը ձգտում է 0-ի:

Սահմանում 3

$ \ գումար / սահմաններ _ (n = 1) ^ (\ infty) u_ (n) $ շարքը կոչվում է բացարձակ կոնվերգենտ, եթե մի շարք, որը բաղկացած է իր անդամների բացարձակ արժեքներից $ \ գումարը \ սահմանները _ (n = 1): ) ^ (\ infty) \ ձախ | u_ (n) \ աջ | $.

Սահմանում 4

Եթե ​​թվերի շարքը $ \ գումարը \ սահմանում է _ (n = 1) ^ (\ infty) u_ (n) $ համընկնում է, իսկ $ \ գումարը \ սահմանները _ (n = 1) ^ (\ infty) \ ձախ | u_ (n ) \ ճիշտ | $, որը կազմված է իր անդամների բացարձակ արժեքներից, շեղվում է, ապա սկզբնական շարքը կոչվում է պայմանականորեն (ոչ բացարձակապես) կոնվերգենտ:

Թեորեմ 1 (փոխարինվող շարքերի կոնվերգենցիայի բավարար չափանիշ)

Փոխարինվող շարքը $ \ գումար / սահմաններ _ (n = 1) ^ (\ infty) u_ (n) $ համընկնում է, և բացարձակապես, եթե համընկնում է մի շարք, որը բաղկացած է իր անդամների բացարձակ արժեքներից $ \ գումարը \ սահմանները _ (n) = 1) ^ (\ infty) \ ձախ | u_ (n) \ աջ | $.

Մեկնաբանություն

Թեորեմ 1-ը տալիս է միայն բավարար պայման փոփոխական շարքերի կոնվերգենցիայի համար: Հակադարձ թեորեմը ճիշտ չէ, այսինքն. եթե փոփոխվող $ \ գումարը \ սահմանները _ (n = 1) ^ (\ infty) u_ (n) $ համընկնում է, ապա անհրաժեշտ չէ, որ մոդուլներից կազմված շարքը $ \ sum \ սահմաններ _ (n = 1) ^ ( \ infty) \ ձախ | u_ (n) \ աջ | $ (դա կարող է լինել կամ համընկնող կամ շեղվող): Օրինակ $ 1- \ ֆրակ (1) (2) + \ ֆրակ (1) (3) - \ ֆրակ (1) (4) + ... = \ գումար \ սահմաններ _ (n = 1) ^ (\ infty ) \ frac ((- 1) ^ (n-1)) (n) $-ը համընկնում է Լայբնիցի նշանի համաձայն, և շարքը կազմված է իր անդամների բացարձակ արժեքներից $ \ գումարը \ սահմանները _ (n): = 1) ^ (\ infty) \, \ frac (1) (n) $ (ներդաշնակ շարք) շեղվում է:

Գույք 1

Եթե ​​$ \ գումարը \ սահմանում է _ (n = 1) ^ (\ infty) u_ (n) $-ը բացարձակ կոնվերգենտ է, ապա այն բացարձակապես զուգամիտվում է իր անդամների ցանկացած փոփոխության համար, մինչդեռ շարքի գումարը կախված չէ անդամների կարգը։ Եթե ​​$ S "$-ը նրա բոլոր դրական անդամների գումարն է, իսկ $ S" "$-ը բացասական տերմինների բոլոր բացարձակ արժեքների գումարն է, ապա շարքի գումարը $ \ գումարի \ սահմանների _ (n = 1) ^ (\ infty) u_ (n) $-ը հավասար է $ S = S "-S" "$.

Գույք 2

Եթե ​​$ \ sum \ սահմանները _ (n = 1) ^ (\ infty) u_ (n) $ բացարձակապես համընկնում է և $ C = (\ rm const) $, ապա $ \ գումարը \ սահմանները _ (n = 1) ) ^ (\ infty) C \ cdot u_ (n) $-ը նույնպես բացարձակ կոնվերգենտ է։

Գույք 3

Եթե ​​$ \ sum \ սահմանները _ (n = 1) ^ (\ infty) u_ (n) $ և $ \ sum \ սահմանները _ (n = 1) ^ (\ infty) v_ (n) $ բացարձակապես միանում են, ապա շարքը $ \ գումարը \ սահմանները _ (n = 1) ^ (\ infty) (u_ (n) \ pm v_ (n)) $ նույնպես բացարձակապես համընկնում են:

Հատկություն 4 (Ռիմանի թեորեմ)

Եթե ​​շարքը պայմանականորեն համընկնում է, ապա ինչ A թիվ էլ վերցնենք, մենք կարող ենք վերադասավորել այս շարքի պայմաններն այնպես, որ դրա գումարը ճիշտ հավասար լինի A-ին. Ավելին, կարելի է վերադասավորել պայմանականորեն համընկնող շարքի պայմաններն այնպես, որ դրանից հետո այն շեղվի։

Օրինակ 1

Հետազոտեք շարքը պայմանական և բացարձակ կոնվերգենցիայի համար

\ [\ գումարը \ սահմանները _ (n = 1) ^ (\ infty) \ frac ((- 1) ^ (n) \ cdot 9 ^ (n)) (n .\] !}

Լուծում. Այս շարքը փոփոխական է, որի ընդհանուր տերմինը նշում ենք՝ $ \ frac ((- 1) ^ (n) \ cdot 9 ^ (n)) (n) =u_{n} $. Составим ряд из абсолютных величин $\sum \limits _{n=1}^{\infty }\left|u_{n} \right| =\sum \limits _{n=1}^{\infty }\frac{9^{n} }{n!} $ и применим к нему признак Даламбера. Составим предел $\mathop{\lim }\limits_{n\to \infty } \frac{a_{n+1} }{a_{n} } $, где $a_{n} =\frac{9^{n} }{n!} $, $a_{n+1} =\frac{9^{n+1} }{(n+1)!} $. Проведя преобразования, получаем $\mathop{\lim }\limits_{n\to \infty } \frac{a_{n+1} }{a_{n} } =\mathop{\lim }\limits_{n\to \infty } \frac{9^{n+1} \cdot n!}{(n+1)!\cdot 9^{n} } =\mathop{\lim }\limits_{n\to \infty } \frac{9^{n} \cdot 9\cdot n!}{n!\cdot (n+1)\cdot 9^{n} } =\mathop{\lim }\limits_{n\to \infty } \frac{9}{n+1} =0$. Таким образом, ряд $\sum \limits _{n=1}^{\infty }\left|u_{n} \right| =\sum \limits _{n=1}^{\infty }\frac{9^{n} }{n!} $ сходится, а значит, исходный знакопеременный ряд сходится абсолютно.Ответ: ряд $\sum \limits _{n=1}^{\infty }\frac{(-1)^{n} \cdot 9^{n} }{n!} $ абсолютно сходится.!}

Օրինակ 2

Հետազոտեք $ \ գումարի \ սահմանները _ (n = 1) ^ (\ infty) \ frac ((- 1) ^ (n) \ cdot \ sqrt (n)) (n + 1) $ բացարձակ և պայմանական կոնվերգենցիայի համար:

1. Եկեք ուսումնասիրենք շարքը բացարձակ կոնվերգենցիայի համար: Նշեք $ \ frac ((- 1) ^ (n) \ cdot \ sqrt (n)) (n + 1) = u_ (n) $ և կազմեք բացարձակ արժեքների շարք $ a_ (n) = \ ձախ | u_ (n ) \ աջ | = \ frac (\ sqrt (n)) (n + 1) $: Մենք ստանում ենք $ \ գումար \ սահմանները _ (n = 1) ^ (\ infty) \ ձախ | u_ (n) \ աջ | = \ sum \ limits _ (n = 1) ^ (\ infty) \, \ frac (\ sqrt (n)) (n + 1) $ դրական տերմիններով, որոնց նկատմամբ կիրառում ենք շարքերի համեմատության սահմանային չափանիշը։ Համեմատության համար $ \ գումարի \ սահմանների _ (n = 1) ^ (\ infty) a_ (n) = \ գումարի \ սահմանների _ (n = 1) ^ (\ infty) \, \ frac (\ sqrt (n) ) ) (n + 1) $ դիտարկենք մի շարք, որը նման է $ \ գումարի \ սահմանների _ (n = 1) ^ (\ infty) \, b_ (n) = \ գումարի \ սահմանները _ (n = 1) ^ (\ infty ) \, \ frac (1) (\ sqrt (n)) \, $. Այս շարքը Դիրիխլեի շարք է՝ $ p = \ frac (1) (2) ցուցիչով։
2. Հաջորդը, մենք ուսումնասիրում ենք նախնական շարքը $ \ գումարը \ սահմանները _ (n = 1) ^ (\ infty) \ frac ((- 1) ^ (n) \ cdot \ sqrt (n)) (n + 1) $ պայմանականի համար կոնվերգենցիա։ Դա անելու համար ստուգեք Լայբնիցի չափանիշի պայմանների կատարումը: Պայման 1). $ u_ (n) = (- 1) ^ (n) \ cdot a_ (n) $, որտեղ $ a_ (n) = \ frac (\ sqrt (n)) (n + 1)> 0 $ , այսինքն այս շարքը հերթափոխ է: Շարքի տերմինների միապաղաղ նվազման 2) պայմանը ստուգելու համար մենք օգտագործում ենք հետևյալ մեթոդը. Դիտարկենք օժանդակ ֆունկցիան $ f (x) = \ frac (\ sqrt (x)) (x + 1) $, որը սահմանված է $ x \ in)