Հարաբերությունների հատկությունները հավաքածուի վրա հաղորդակցականության օրինակներ են: Հարաբերությունների հատկությունները հավաքածուի վրա. Կրկնակի հարաբերությունների տեսակները

Սահմանումներ

1. RAB, RAA դեկարտյան արտադրյալի ցանկացած ենթաբազմություն կոչվում է երկուական կապ A և B բազմությունների տարրերի միջև։
2. Եթե A = B, ապա R-ն երկուական հարաբերություն է A-ի վրա:
3. Նշանակում՝ (x, y) R xRy:
4. R երկուական հարաբերության սահմանման տիրույթը R = բազմությունն է (x: կա y այնպիսին, որ (x, y) R):
5. R երկուական հարաբերությունների արժեքների միջակայքը R = բազմությունն է (y. կա x այնպիսին, որ (x, y) R):
6. A և B տարրերի միջև R երկուական կապի լրացումը R = (AB) R բազմությունն է:
7. R երկուական հարաբերության հակադարձ կապը R1 = ((y, x): (x, y) R բազմությունն է):
8. R1AB և R2BC հարաբերությունների արտադրյալը R1 R2 = ((x, y) հարաբերությունն է. գոյություն ունի zB այնպես, որ (x, z) R1 և (z, y) R2):
9. F հարաբերակցությունը կոչվում է A-ից B ֆունկցիա, եթե բավարարված է երկու պայման.
- ա) f = A, f B
- բ) բոլոր x, y1, y2-ի համար այն փաստը, որ (x, y1) f և (x, y2) f նշանակում է y1 = y2:
10. F հարաբերակցությունը կոչվում է A-ից B ֆունկցիա, եթե առաջին պարբերությունում f = A, f = B:
11. Նշանակում՝ (x, y) f y = f (x):
12. Նույնականացման գործառույթը iA: AA սահմանվում է հետևյալ կերպ. iA (x) = x:
13. F ֆունկցիան կոչվում է 1-1 ֆունկցիա, եթե ցանկացած x1, x2, y-ի համար այն փաստը, որ y = f (x1) և y = f (x2) նշանակում է x1 = x2:
14. F ֆունկցիան. AB-ն կատարում է A-ի և B-ի միջև մեկ առ մեկ համապատասխանություն, եթե f = A, f = B, իսկ f-ը 1-1 ֆունկցիա է:
15. R երկուական կապի հատկությունները A բազմության վրա.
- - ռեֆլեքսիվություն՝ (x, x) R բոլոր xA-ի համար:
- - Անռեֆլեքսիվություն. (x, x) R բոլոր xA-ի համար:
- - համաչափություն՝ (x, y) R (y, x) R.
- - հակասիմետրիա՝ (x, y) R և (y, x) R x = y:
- - անցողիկություն՝ (x, y) R և (y, z) R (x, z) R.
- - երկատվածություն. կամ (x, y) R, կամ (y, x) R բոլոր xA-ի և yA-ի համար:
16. A1, A2, ..., Ar բազմությունները P-ից (A) կազմում են A բազմության բաժանումը, եթե.
- Аi, i = 1, ..., r,
- A = A1A2 ... Ar,
- AiAj =, i j.

Аi, i = 1, ..., r ենթաբազմությունները կոչվում են բաժանման բլոկներ։

17. A բազմության վրա համարժեքությունը ռեֆլեքսիվ, անցումային և սիմետրիկ կապ է Ա-ի վրա։
18. R համարժեքությամբ x տարրի համարժեքության դասը [x] R = (y: (x, y) R բազմությունն է):
19. A բազմության գործակիցը R-ով A բազմության տարրերի համարժեքության դասերի բազմությունն է: Նշում` A / R:
20. Համարժեքության դասերը (A/R քանորդի բազմության տարրերը) կազմում են A բազմության բաժանումը։ A բազմության ցանկացած բաժանում համապատասխանում է R համարժեք հարաբերությանը, որի համարժեքության դասերը համընկնում են նշված բաժանման բլոկների հետ։ Այլ կերպ. A բազմության յուրաքանչյուր տարր ընկնում է A/R-ից որոշ համարժեքության դասի: Համարժեքության դասերը կամ չեն համընկնում կամ համընկնում:
21. A բազմության նախնական պատվերը A-ի ռեֆլեքսիվ և անցումային հարաբերություն է:
22. A բազմության վրա մասնակի դասավորությունը ռեֆլեքսիվ, անցումային և հակասիմետրիկ հարաբերություն է Ա-ի վրա։
23. A բազմության վրա գծային կարգը ռեֆլեքսիվ, անցումային և հակասիմետրիկ հարաբերություն է A-ի վրա, որը բավարարում է դիխոտոմիայի հատկությունը։

Թող A = (1, 2, 3), B = (a, b): Եկեք դուրս գրենք դեկարտյան արտադրյալը՝ AB = ((1, a), (1, b), (2, a), (2, b), (3, a), (3, b)): Վերցրեք այս դեկարտյան արտադրյալի ցանկացած ենթաբազմություն՝ R = ((1, a), (1, b), (2, b)): Այնուհետև R-ն երկուական հարաբերություն է A և B բազմությունների վրա:

Արդյո՞ք այս հարաբերությունը գործառույթ է լինելու: Եկեք ստուգենք երկու պայմանների կատարումը՝ 9a) և 9b): R հարաբերության սահմանման տիրույթը R = (1, 2) (1, 2, 3) բազմությունն է, այսինքն՝ առաջին պայմանը չի կատարվում, ուստի R-ին պետք է ավելացնել զույգերից մեկը՝ (3, ա) կամ (3, բ): Եթե ավելացնեք երկու զույգերը, ապա երկրորդ պայմանը չի կատարվի, քանի որ աբ. Նույն պատճառով, զույգերից մեկը պետք է հեռացվի R-ից՝ (1, ա) կամ (1, բ): Այսպիսով, R = ((1, a), (2, b), (3, b)) հարաբերությունը ֆունկցիա է: Նշենք, որ R-ն 1-1 ֆունկցիա չէ:

Տրված A և B բազմությունների վրա ֆունկցիաները կլինեն նաև հետևյալ հարաբերությունները՝ ((1, a), (2, a), (3, a)), ((1, a), (2, a), (3, բ )), ((1, բ), (2, բ), (3, բ)) և այլն։

Թող A = (1, 2, 3): A բազմության վրա հարաբերության օրինակ է R = ((1, 1), (2, 1), (2, 3)): A բազմության վրա ֆունկցիայի օրինակ է f = ((1, 1), (2, 1), (3, 3)):

Խնդիրների լուծման օրինակներ

1. Գտեք R, R, R1, RR, RR1, R1R R = ((x, y) | x, y D և x + y0):

Եթե (x, y) R, ապա x-ը և y-ն անցնում են բոլոր իրական թվերի միջով: Հետևաբար, R = R = D:

Եթե (x, y) R, ապա x + y0, ապա y + x0 և (y, x) R: Հետեւաբար, R1 = R.

Ցանկացած xD, yD համար վերցրեք z = - | max (x, y) | -1, ապա x + z0 և z + y0, այսինքն. (x, z) R և (z, y) R. Հետեւաբար, RR = RR1 = R1R = D2:

2. Ո՞ր երկուական հարաբերությունների համար է R1 = R վավեր:

Թող RAB. Հնարավոր է երկու դեպք.

(1) AB. Վերցրեք xAB: Այնուհետև (x, x) R (x, x) R1 (x, x) R (x, x) (AB) R (x, x) R. Հակասություն.
(2) AB =. Քանի որ R1BA և RAB, ապա R1 = R =: R1 =-ից հետևում է, որ R =. R =-ից հետևում է, որ R = AB: Հակասություն.

Հետևաբար, եթե Ա-ն և Բ-ն, ապա այդպիսի հարաբերություններ չկան Ռ.

3. Իրական թվերի D բազմության վրա R կապը սահմանում ենք այսպես՝ (x, y) R (x-y) ռացիոնալ թիվ է։ Ապացուցեք, որ R-ը համարժեք է:

Ռեֆլեկտիվություն:

Ցանկացած xD-ի համար x-x = 0-ը ռացիոնալ թիվ է: Հետեւաբար (x, x) Ռ.

Համաչափություն:

Եթե (x, y) R, ապա x-y =: Ապա y-x = - (x-y) = - ռացիոնալ թիվ է: Հետևաբար (y, x) Ռ.

Անցումային:

Եթե (x, y) R, (y, z) R, ապա x-y = և y-z =: Այս երկու հավասարումները գումարելով՝ մենք գտնում ենք, որ x-z = + ռացիոնալ թիվ է: Հետևաբար (x, z) Ռ.

Հետևաբար, R-ը համարժեք է:

4. D2 հարթությունը բաժանելը բաղկացած է նկար ա-ում ներկայացված բլոկներից): Դուրս գրե՛ք այս բաժանմանը և համարժեքության դասերին համապատասխան R համարժեքության կապը։

Նմանատիպ առաջադրանք բ) և գ) համար.

ա) երկու կետերը համարժեք են, եթե դրանք գտնվում են y = 2x + b ձևի ուղիղ գծի վրա, որտեղ b ցանկացած իրական թիվ է:

բ) երկու կետերը (x1, y1) և (x2, y2) համարժեք են, եթե (ամբողջական մասը x1 հավասար է x2 ամբողջ թվին) և (ամբողջական մասը y1 հավասար է ամբողջ y2 մասի):

գ) որոշեք ինքներդ:

Անկախ լուծման առաջադրանքներ

1. Ապացուցեք, որ եթե f-ը A-ից B ֆունկցիա է, իսկ g-ն՝ B-ից C ֆունկցիա, ապա fg-ը A-ից C ֆունկցիա է:
2. Թող A և B լինեն վերջավոր բազմություններ՝ կազմված համապատասխանաբար m և n տարրերից։

Քանի՞ երկուական հարաբերություն կա A և B բազմությունների տարրերի միջև:

Քանի՞ ֆունկցիա կա A-ից B:

Քանի՞ 1-1 ֆունկցիա կա A-ից մինչև B:

Ո՞ր m-ի և n-ի համար կա A-ի և B-ի միջև մեկ առ մեկ համապատասխանություն:

3. Ապացուցեք, որ f-ը բավարարում է f (AB) = f (A) f (B) պայմանը ցանկացած A և B-ի համար, եթե և միայն այն դեպքում, եթե f-ը 1-1 ֆունկցիա է:

Հարաբերությունների հատկություններ.

1) ռեֆլեքսիվություն;

2) համաչափություն;

3) անցողականություն.

4) կապվածություն.

Վերաբերմունք Ռնկարահանման հրապարակում Xկանչեց արտացոլող,եթե հավաքածուի յուրաքանչյուր տարրի մասին Xկարելի է ասել, որ նա հարաբերությունների մեջ է ՌԻնքս ինձ հետ. XRx.Եթե հարաբերությունը ռեֆլեքսային է, ապա գրաֆիկի յուրաքանչյուր գագաթում կա օղակ: Ընդհակառակը, գրաֆիկը, որի յուրաքանչյուր գագաթը պարունակում է օղակ, ռեֆլեքսային հարաբերությունների գրաֆիկ է:

Ռեֆլեքսիվ հարաբերությունների օրինակներ են բնական թվերի բազմության վրա «բազմակի» հարաբերակցությունը (յուրաքանչյուր թիվ իր բազմապատիկն է), և եռանկյունների նմանության հարաբերակցությունը (յուրաքանչյուր եռանկյուն իրեն նման է) և «հավասարության» հարաբերությունը։ (յուրաքանչյուր թիվ հավասար է ինքն իրեն) և այլն:

Կան հարաբերություններ, որոնք չունեն ռեֆլեկտիվության հատկություն, օրինակ՝ հատվածների ուղղահայացության հարաբերակցությունը. աբ, բա(չկա մի ուղիղ հատված, որի մասին կարող ենք ասել, որ այն ուղղահայաց է իրեն) . Հետևաբար, այս հարաբերության գրաֆիկի վրա մեկ օղակ չկա:

Այն չունի ռեֆլեքսիվության հատկություն և հատվածների համար հարաբերակցությունը «ավելի երկար» է, բնական թվերի համար՝ «ավելի 2-ով» և այլն։

Վերաբերմունք Ռնկարահանման հրապարակում Xկանչեց հակառեֆլեկտիվեթե հավաքածուից որևէ տարրի համար Xմիշտ կեղծ XRx: .

Կան հարաբերություններ, որոնք ոչ արտացոլող են, ոչ հակառեֆլեկտիվ: Նման հարաբերությունների օրինակ է կետը Xսիմետրիկ է կետին ժամըհամեմատաբար ուղիղ լ»Սահմանված է ինքնաթիռի կետերի վրա: Իրոք, գծի բոլոր կետերը լսիմետրիկ են իրենց նկատմամբ, և կետերը, որոնք չեն գտնվում ուղիղ գծի վրա լ,իրենք սիմետրիկ չեն:

Վերաբերմունք Ռնկարահանման հրապարակում Xկանչեց սիմետրիկ, եթե պայմանը բավարարված է՝ այն բանից, որ տարրը Xկապված է տարրի հետ y, հետևում է, որ տարրը yհարաբերության մեջ է Ռտարրով X:xRyyRx.

Սիմետրիկ հարաբերությունների գրաֆիկն ունի հետևյալ հատկանիշը. յուրաքանչյուր սլաքի հետ միասին XԴեպի y, գրաֆիկը պարունակում է սլաք, որը գնում է yԴեպի X(նկ. 35):

Սիմետրիկ հարաբերությունների օրինակներ կարող են լինել հետևյալը՝ հատվածների «զուգահեռության» հարաբերակցությունը, հատվածների «ուղղահայության» հարաբերակցությունը, հատվածների «հավասարության» հարաբերակցությունը, եռանկյունների նմանության հարաբերակցությունը, «հավասարության» հարաբերակցությունը։ կոտորակների և այլն:

Կան հարաբերություններ, որոնք չունեն համաչափության հատկություն։

Իսկապես, եթե հատվածը Xավելի երկար, քան հատվածը ժամը, ապա հատվածը ժամըչի կարող լինել ավելի երկար, քան հատվածը X... Այս հարաբերության գրաֆիկն ունի մի յուրահատկություն՝ գագաթները միացնող սլաքն ուղղված է միայն մեկ ուղղությամբ։

Վերաբերմունք Ռկոչվում են հակասիմետրիկեթե որևէ տարրի համար Xև yճշմարտության xRyհետևում է կեղծիքը yRx:: xRyyRx.

Բացի «ավելի երկար» հարաբերությունից, հատվածների բազմության վրա կան նաև այլ հակասիմետրիկ հարաբերություններ: Օրինակ, թվերի համար «ավելի մեծ» հարաբերակցությունը (եթե Xավելին ժամը, ապա ժամըավելին չի կարող լինել X), «ավելի շատ» հարաբերակցությունը և այլն:

Կան հարաբերություններ, որոնք չունեն ո՛չ համաչափության հատկություն, ո՛չ էլ հակահամաչափության հատկություն։

R հարաբերությունը նկարահանման հրապարակում Xկոչվում են անցումային,եթե ինչ տարրից Xհարաբերության մեջ է Ռտարրով y,և տարր yհարաբերության մեջ է Ռտարրով զ, հետևում է, որ տարրը Xհարաբերության մեջ է Ռտարրով զ: xRyև yRzxRz.

Անցումային հարաբերությունների գծապատկեր՝ յուրաքանչյուր զույգ սլաքներով XԴեպի yև սկսած yԴեպի զ, պարունակում է սլաք, որը գնում է XԴեպի զ.

Անցումային հատկություն ունի նաև հատվածների բազմության վրա «ավելի երկար» կապը. եթե հատվածը աավելի երկար, քան հատվածը բ, Բաժին բավելի երկար, քան հատվածը Հետ, ապա հատվածը աավելի երկար, քան հատվածը Հետ.Հատվածների բազմության վրա «հավասարություն» կապն ունի նաև անցողիկ հատկություն. (a =b, b = c) (a = c).

Կան հարաբերություններ, որոնք չունեն անցողիկության հատկություն։ Նման հարաբերություն է, օրինակ, ուղղահայացության հարաբերակցությունը. եթե հատվածը ահատվածին ուղղահայաց բ, և հատվածը բհատվածին ուղղահայաց Հետ, ապա հատվածները աև Հետոչ ուղղահայաց!

Գոյություն ունի հարաբերությունների մեկ այլ հատկություն, որը կոչվում է կապվածության հատկություն, իսկ այն տիրապետող հարաբերությունը կոչվում է կապված։

Վերաբերմունք Ռնկարահանման հրապարակում Xկանչեց կապված,եթե որևէ տարրի համար Xև yայս հավաքածուից բավարարվում է հետևյալ պայմանը՝ եթե Xև yտարբեր են, ապա կամ Xհարաբերության մեջ է Ռտարրով y, կամ տարր yհարաբերության մեջ է Ռտարրով X... Օգտագործելով սիմվոլներ, այն կարելի է գրել այսպես. xyxRyկամ yRx.

Օրինակ, բնական թվերի համար «ավելին» կապը կապակցվելու հատկություն ունի. ցանկացած տարբեր x և y թվերի համար կարելի է պնդել. x> yկամ y> x.

Կապակցված հարաբերությունների գրաֆիկի ցանկացած երկու գագաթներ միացված են սլաքով: Ճիշտ է նաև հակառակը.

Կան հարաբերություններ, որոնք կապված չեն: Նման հարաբերություն, օրինակ, բնական թվերի բազմության վրա բաժանելիության կապն է. կարող եք այդպիսի թվեր անվանել x և. yոր ոչ մի թիվ Xբաժանարար չէ yոչ էլ համար yբաժանարար չէ X(համարներ 17 և 11 , 3 և 10 և այլն) .

Դիտարկենք մի քանի օրինակ։ Նկարահանման հրապարակում X = (1, 2, 4, 8, 12)հարաբերությունը «թիվ Xթվի բազմապատիկ y«. Կառուցենք այս հարաբերության գրաֆիկը և ձևակերպենք դրա հատկությունները։

Կոտորակների հավասարության հարաբերությունն ասում են, որ համարժեք հարաբերություն է:

Վերաբերմունք Ռնկարահանման հրապարակում Xկանչեց համարժեքության հարաբերություն,եթե այն միաժամանակ տիրապետում է ռեֆլեքսիվության, համաչափության և անցողիկության հատկությանը։

Համարժեքության հարաբերությունների օրինակներ են՝ երկրաչափական պատկերների հավասարության հարաբերությունները, ուղիղների զուգահեռության հարաբերակցությունը (պայմանով, որ համընկնող ուղիղները համարվում են զուգահեռ)։

Վերը դիտարկված «կոտորակների հավասարության» առնչությամբ բազմությունը Xբաժանված է երեք ենթաբազմության. ; ; }, {; } , (). Այս ենթաբազմությունները չեն հատվում, և դրանց միավորումը համընկնում է բազմության հետ X, այսինքն. մենք ունենք հավաքածուի բաժանում դասերի:

Այսպիսով, եթե X բազմության վրա տրված է համարժեքության հարաբերություն, ապա այն առաջացնում է այս բազմության բաժանումը զույգ-անջատված ենթաբազմությունների՝ համարժեքության դասերի:

Այսպիսով, մենք սահմանել ենք, որ հավասարության հարաբերությունը հավաքածուի վրա
X= (;;;;;) համապատասխանում է այս բազմության բաժանմանը համարժեքության դասերի, որոնցից յուրաքանչյուրը բաղկացած է հավասար կոտորակներից:

Բազմաթիվը դասերի բաժանելու սկզբունքը՝ օգտագործելով համարժեքության որոշակի կապ, մաթեմատիկայի կարևոր սկզբունք է։ Ինչո՞ւ։

Նախ, համարժեք նշանակում է համարժեք, փոխարինելի: Հետևաբար, նույն համարժեքության դասի տարրերը փոխարինելի են: Այսպիսով, միևնույն համարժեքության դասի կոտորակները (;;), հավասարության հարաբերությամբ չեն տարբերվում, իսկ կոտորակը կարելի է փոխարինել մեկ այլով, օրինակ . Եվ այս փոխարինումը չի փոխի հաշվարկի արդյունքը։

Երկրորդ, քանի որ համարժեքության դասում կան տարրեր, որոնք չեն տարբերվում ինչ-որ հարաբերության տեսանկյունից, ենթադրվում է, որ համարժեքության դասը որոշվում է նրա որևէ ներկայացուցիչի կողմից, այսինքն. դասի կամայական տարր: Այսպիսով, հավասար կոտորակների ցանկացած դաս կարելի է նշել՝ նշելով այս դասին պատկանող ցանկացած կոտորակ: մեկ ներկայացուցչի կողմից համարժեքության դասը թույլ է տալիս բազմության բոլոր տարրերի փոխարեն ուսումնասիրել համարժեք դասերի ներկայացուցիչների ամբողջությունը: Օրինակ, բազմանկյունների բազմության վրա սահմանված «ունեն նույն թվով գագաթներ» համարժեքության կապը առաջացնում է այս բազմության բաժանումը եռանկյունների, քառանկյունների, հնգանկյունների և այլնի դասերի: Որոշակի դասին բնորոշ հատկությունները դիտարկվում են նրա ներկայացուցիչներից մեկի վրա:

Երրորդ, բազմությունը դասերի բաժանելը` օգտագործելով համարժեքության կապը, օգտագործվում է նոր հասկացություններ ներմուծելու համար: Օրինակ, «գծերի փաթեթ» հասկացությունը կարող է սահմանվել որպես մի ընդհանուր բան, որը զուգահեռ գծերն ունեն միմյանց հետ:

Հարաբերությունների մեկ այլ կարևոր տեսակ է պատվերի հարաբերությունը: Մտածեք խնդիրը: Նկարահանման հրապարակում X={3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10 ) հարաբերությունը «ունեն նույն մնացորդը, երբ բաժանվում են 3 «. Այս հարաբերությունը ստեղծում է բազմության բաժանում Xդասերի. բոլոր թվերը բաժանվելու են մեկի 3 մնացածը 0 (սրանք թվեր են 3, 6, 9 ): Երկրորդը պարունակում է թվեր, երբ բաժանվում է 3 մնացածն է 1 (սրանք թվեր են 4, 7, 10 ): Երրորդը կպարունակի բոլոր թվերը, երբ բաժանվում է 3 մնացածն է 2 (սրանք թվեր են 5, 8 ): Իրոք, ստացված բազմությունները չեն հատվում, և դրանց միացումը համընկնում է բազմության հետ X... Հետևաբար, հարաբերությունը «ունեն նույն մնացորդը, երբ բաժանվում են 3 »Սահմանված է նկարահանման հրապարակում X, համարժեքության հարաբերություն է։

Մեկ այլ օրինակ վերցնելու համար դասարանի աշակերտների հավաքածուն կարելի է պատվիրել ըստ հասակի կամ տարիքի: Նկատի ունեցեք, որ այս կապն ունի հակասիմետրիկության և անցողիկության հատկություններ։ Կամ բոլորը գիտեն այբուբենի տառերի հերթականությունը։ Դա նախատեսված է «պետք է» հարաբերությամբ։

Վերաբերմունք Ռնկարահանման հրապարակում Xկանչեց խիստ կարգեթե այն միաժամանակ տիրապետում է հակասիմետրիկության և անցողիկության հատկություններին: Օրինակ, հարաբերությունը « X< y».

Եթե հարաբերությունն ունի ռեֆլեքսիվության, հակասիմետրիկության և անցողիկության հատկություններ, ապա դա կլինի ազատ կարգը... Օրինակ, հարաբերությունը « Xy».

Կարգի հարաբերությունների օրինակներ են՝ «պակաս» հարաբերակցությունը բնական թվերի բազմության վրա, «ավելի կարճ» հարաբերակցությունը հատվածների բազմության վրա։ Եթե կարգի հարաբերությունն էլ կապակցվելու հատկություն ունի, ուրեմն ասում են, որ կա գծային կարգի հարաբերություն... Օրինակ՝ «պակաս» հարաբերակցությունը բնական թվերի բազմության վրա։

Մի փունջ Xկանչեց կարգուկանոն,եթե դրա վրա նշված է պատվերի հարաբերություն:

Օրինակ, հավաքածուն X ={2, 8, 12, 32 ) կարելի է պատվիրել՝ օգտագործելով «պակաս» կապը (նկ. 41), իսկ դա կարելի է անել՝ օգտագործելով «բազմապատիկ» հարաբերությունները (նկ. 42): Բայց, լինելով կարգի հարաբերություն, «պակաս» և «բազմակի» հարաբերությունները բնական թվերի բազմությունը կարգում են տարբեր ձևերով։ «Ավելի քիչ» հարաբերակցությունը թույլ է տալիս համեմատել հավաքածուից ցանկացած երկու թվեր X, իսկ «բազմակի» հարաբերակցությունը նման հատկություն չունի։ Այսպիսով, մի երկու թիվ 8 և 12 «բազմապատիկ» հարաբերությունը կապված չէ. այդպես չի կարելի ասել 8 բազմապատիկ 12 կամ 12 բազմապատիկ 8.

Չի կարելի մտածել, որ բոլոր հարաբերությունները բաժանվում են համարժեք հարաբերությունների և կարգի հարաբերությունների։ Հսկայական թվով հարաբերություններ կան, որոնք ոչ համարժեք հարաբերություններ են, ոչ էլ կարգի հարաբերություններ։

Թող Ռ- X բազմության որոշ երկուական հարաբերություններ, և x, y, z-ն նրա տարրից որևէ մեկն է: Եթե x տարրը y տարրի հետ կապված է R-ի հետ, ապա գրում են xRy.

1. X բազմության վրա R հարաբերությունը կոչվում է ռեֆլեքսիվ, եթե բազմության յուրաքանչյուր տարր այս առնչության մեջ է իր հետ։

R - ռեֆլեքսիվ X-ի վրա<=>xRx ցանկացած x € X-ի համար

Եթե R հարաբերակցությունը ռեֆլեքսային է, ապա գրաֆիկի յուրաքանչյուր գագաթում կա օղակ։ Օրինակ, հավասարության և զուգահեռության հարաբերությունը ուղիղ հատվածների համար ռեֆլեքսային է, մինչդեռ ուղղահայացության և «ավելի երկար» հարաբերությունը արտացոլող չէ: Սա արտացոլված է Նկար 42-ի գրաֆիկներում:

2. X բազմության R հարաբերությունը կոչվում է սիմետրիկ, եթե x տարրը y տարրի հետ տրված հարաբերության մեջ է, հետևում է, որ y տարրը նույն հարաբերության մեջ է x տարրի հետ։

R - սիմետրիկ միացված (xYy => y Rx)

Հարաբերությունների սիմետրիկ գրաֆիկը պարունակում է զուգավորված սլաքներ, որոնք ուղղված են հակառակ ուղղություններով: Գծային հատվածների զուգահեռության, ուղղահայացության և հավասարության հարաբերությունները սիմետրիկ են, իսկ «ավելի երկար» հարաբերակցությունը սիմետրիկ չէ (նկ. 42):

3. X բազմության վրա R հարաբերությունը կոչվում է հակասիմետրիկ, եթե X բազմության տարբեր տարրերի համար x և y, այն փաստը, որ x տարրը տվյալ առնչության մեջ է y տարրի հետ, նշանակում է, որ y տարրը չի գտնվել դրանում: հարաբերություն x տարրի հետ.

R - հակասիմետրիկ X-ի վրա (xRy և xy ≠ yRx)

Նշում. վերևի գիծը նշանակում է հայտարարության ժխտումը:

Հակասիմետրիկ հարաբերությունների գրաֆիկի վրա միայն մեկ սլաքը կարող է միացնել երկու կետ: Նման հարաբերությունների օրինակ է «ավելի երկար» հարաբերությունը գծերի հատվածների համար (Նկար 42): Զուգահեռության, ուղղահայացության և հավասարության հարաբերությունները հակասիմետրիկ չեն: Կան հարաբերություններ, որոնք ոչ սիմետրիկ են, ոչ հակասիմետրիկ, ինչպիսին է «եղբայր լինելը» հարաբերությունը (Նկար 40):

4. X բազմության վրա R հարաբերությունը կոչվում է անցումային, եթե x տարրը տվյալ հարաբերության մեջ է y տարրի հետ, իսկ y տարրը՝ z տարրի հետ, հետևում է, որ x տարրը գտնվում է. տրված առնչություն Z տարրի հետ

R - անցումային A ≠ (xRy և yRz => xRz)

Նկար 42-ի «ավելի երկար», զուգահեռության և հավասարության հարաբերությունների գրաֆիկների վրա դուք կարող եք տեսնել, որ եթե սլաքը առաջին տարրից գնում է երկրորդ, իսկ երկրորդից երրորդը, ապա անպայման կա սլաք, որը գնում է առաջին տարրից: երրորդին։ Այս հարաբերությունները անցողիկ են: Գծային հատվածների ուղղահայացությունը չունի անցողիկության հատկություն։

Մեկ բազմության տարրերի միջև հարաբերությունների այլ հատկություններ կան, որոնք մենք չենք դիտարկում:

Նույն հարաբերությունները կարող են ունենալ մի քանի հատկություն. Այսպիսով, օրինակ, մի շարք հատվածների վրա «հավասար» կապը ռեֆլեկտիվ է, սիմետրիկ, անցողիկ; «Ավելին» կապը հակասիմետրիկ է և անցողիկ:

Եթե X բազմության առնչությունը ռեֆլեքսիվ է, սիմետրիկ և անցումային, ապա դա համարժեքության հարաբերություն է այս բազմության վրա: Նման հարաբերությունը բաժանում է X բազմությունը դասերի։

Այս հարաբերությունները դրսևորվում են, օրինակ, առաջադրանքներ կատարելիս՝ «Հավասար երկարությամբ շերտեր վերցրու և խմբերի դասավորիր», «Գնդիկները դասավորիր այնպես, որ յուրաքանչյուր տուփում լինեն նույն գույնի գնդիկներ»։ Համարժեքության հարաբերությունները («լինել երկարությամբ հավասար», «նույն գույնի») որոշում են այս դեպքում շերտերի և գնդակների հավաքածուների բաժանումը դասերի։

Եթե 1-ին բազմության հարաբերությունը անցողիկ է և հակասիմետրիկ, ապա այն կոչվում է կարգի հարաբերություն այս բազմության վրա:

Իր վրա տրված կարգային հարաբերություն ունեցող բազմությունը կոչվում է պատվիրված բազմություն։

Օրինակ՝ կատարել առաջադրանքները. «Համեմատել շերտերը լայնությամբ և ընդլայնել դրանք նեղից դեպի լայնը», «Համեմատել թվերը և դասավորել թվային քարտերը ըստ հերթականության», երեխաները դասավորում են շերտերի և թվային քարտերի տարրերը՝ օգտագործելով կարգի հարաբերությունները. Ավելի լայն լինել, հետևել:

Ընդհանուր առմամբ, համարժեքության և կարգի հարաբերությունները կարևոր դեր են խաղում երեխաների մոտ հավաքածուների դասակարգման և դասավորության մասին ճիշտ պատկերացումների ձևավորման գործում։ Բացի այդ, կան բազմաթիվ այլ հարաբերություններ, որոնք ոչ համարժեք են, ոչ էլ պատվեր:

6. Ո՞րն է բազմության բնորոշ հատկությունը:

7. Ի՞նչ հարաբերություններ կարող են լինել հավաքածուներում: Բացատրե՛ք յուրաքանչյուր դեպք և պատկերե՛ք այն Էյլերի շրջանակներով:

8. Տրե՛ք ենթաբազմության սահմանումը: Բերե՛ք բազմությունների օրինակ, որոնցից մեկը մյուսի ենթաբազմությունն է: Գրեք նրանց հարաբերությունները՝ օգտագործելով նշաններ:

9. Տրե՛ք հավասար բազմությունների սահմանումը: Բերե՛ք երկու հավասար բազմությունների օրինակներ: Գրեք նրանց հարաբերությունները՝ օգտագործելով նշաններ:

10. Տրե՛ք երկու բազմությունների հատման սահմանում և պատկերե՛ք այն օգտագործելով Էյլերի շրջանակները յուրաքանչյուր կոնկրետ դեպքի համար:

11. Տրե՛ք երկու բազմությունների միության սահմանումը և պատկերե՛ք այն օգտագործելով Էյլերի շրջանագծերը յուրաքանչյուր կոնկրետ դեպքի համար:

12. Տրե՛ք երկու բազմությունների տարբերության սահմանումը և պատկերե՛ք այն օգտագործելով Էյլերի շրջանակները յուրաքանչյուր կոնկրետ դեպքի համար:

13. Սահմանեք լրացումը և պատկերեք այն Էյլերի շրջանակներով:

14. Ի՞նչ է կոչվում բազմությունը դասերի բաժանելը: Որո՞նք են ճիշտ դասակարգման պայմանները:

15. Ի՞նչ է կոչվում համապատասխանություն երկու բազմությունների միջև: Որո՞նք են համապատասխանությունները սահմանելու եղանակները:

16. Ո՞ր համապատասխանությունն է կոչվում մեկ առ մեկ:

17. Ո՞ր բազմություններն են կոչվում հավասար:

18. Ո՞ր բազմությունները կոչվում են հավասար:

19. Որո՞նք են նկարահանման հրապարակում հարաբերությունների սահմանման ուղիները:

20. Բազմության վրա ո՞ր հարաբերությունն է կոչվում ռեֆլեքսիվ:

21. Բազմության ո՞ր հարաբերությունն է կոչվում սիմետրիկ:

22. Բազմության վրա ո՞ր հարաբերությունն է կոչվում հակասիմետրիկ:

23. Բազմության վրա ո՞ր հարաբերությունն է կոչվում անցողիկ:

24. Տրե՛ք համարժեքության հարաբերության սահմանումը:

25. Տրե՛ք կարգի փոխհարաբերության սահմանումը:

26. Ո՞ր հավաքածուն է կոչվում պատվիրված:

Բազմության վրա երկուական հարաբերությունների ընդհանուր հայեցակարգը սահմանելու համար մենք կշարունակենք նույն կերպ, ինչպես համապատասխանությունների դեպքում.

դրանք. Եկեք նախ նայենք կոնկրետ օրինակին: Թող «պակաս» հարաբերությունը տրվի X = (2, 4, 6, 8) բազմության վրա: Սա նշանակում է, որ X բազմության ցանկացած երկու թվի համար կարող ենք ասել, թե դրանցից որն է պակաս՝ 2< 4, 2 < 6, 2 < 8, 4 < 6, 4 < 8, 6 < 8. Полученные неравенства можно записать иначе, в виде упорядоченных пар: (2, 4), (2, 6), (2, 8), (4, 6), (4, 8), (6, 8). Но все эти пары есть элементы декартова произведения X х X, поэтому об отношении «меньше», заданном на множестве X, можно сказать, что оно является подмножеством множества X х X.

Ընդհանուր առմամբ, X բազմության վրա երկուական հարաբերությունները սահմանվում են հետևյալ կերպ.

Սահմանում. X x X դեկարտյան արտադրյալի ցանկացած ենթաբազմություն կոչվում է երկուական հարաբերություն X բազմության վրա:

Քանի որ հաջորդում մենք կդիտարկենք միայն երկուական հարաբերությունները, «երկուական» բառը, որպես կանոն, բաց կթողնի:

Համաձայնենք հարաբերությունները նշել R, S, T, P և այլն տառերով։

Եթե R-ն առնչություն է X բազմության վրա, ապա, ըստ սահմանման, R X x X: Մյուս կողմից, եթե տրված է X x X բազմության ենթաբազմություն, ապա այն X բազմության վրա սահմանում է ինչ-որ R հարաբերություն:

Այն պնդումը, որ x և y տարրերը R-ի հետ կապված են, կարելի է գրել հետևյալ կերպ՝ (x, y) R կամ x R y: Վերջին մուտքագրում ասվում է. «X տարրը կապված է y տարրի հետ»:

Հարաբերությունները դրվում են այնպես, ինչպես նամակագրությունները։ Հարաբերությունը կարելի է ճշտել՝ թվարկելով X բազմության այն տարրերի զույգերը, որոնք գտնվում են այս հարաբերության մեջ։ Նման զույգերի ներկայացման ձևերը կարող են տարբեր լինել. դրանք նման են նամակագրությունների նշանակման ձևերին: Տարբերությունները վերաբերում են գրաֆիկի միջոցով հարաբերությունների նշանակմանը:

Եկեք, օրինակ, կառուցենք X = (2, 4, 6, 8) բազմության վրա տրված «պակաս» հարաբերությունների գրաֆիկը: Դրա համար X բազմության տարրերը ներկայացնում ենք կետերով (դրանք կոչվում են գրաֆիկի գագաթներ), իսկ «պակաս» հարաբերակցությունը՝ սլաքով (նկ. 1):

Նույն X բազմության վրա մենք կարող ենք դիտարկել մեկ այլ հարաբերություն՝ «բազմապատիկ»: Այս հարաբերության գրաֆիկը յուրաքանչյուր գագաթում կունենա օղակ (սլաք, որի սկիզբն ու վերջը համընկնում են), քանի որ յուրաքանչյուր թիվ ինքն իրեն բազմապատիկ է (նկ. 2):

Հարաբերությունը կարելի է սահմանել՝ օգտագործելով երկու փոփոխական դրույթ: Այսպես, օրինակ, տրված են վերը նշված «փոքրից» և «բազմակի» հարաբերությունները, իսկ «x թիվը փոքր է y թվից» և «x թիվը y թվի բազմապատիկն է» նախադասությունների կարճ ձևը. օգտագործվում են. Այս նախադասություններից մի քանիսը կարելի է գրել սիմվոլներով: Օրինակ, «պակաս» և «բազմապատիկ» հարաբերությունները կարող են սահմանվել հետևյալ ձևով. «x<у», «х у». Отношение «х больше у на 3» можно записать в виде равенства х = у + 3 (или х – у = 3).

X բազմության վրա տրված R հարաբերության համար միշտ կարող եք նշել R -1 կապը, որը նրա հակադարձությունն է. այն սահմանվում է այնպես, ինչպես հակադարձ համապատասխանությունը տվյալին: Օրինակ, եթե R-ն «x-ը y-ից փոքր է» հարաբերակցությունն է, ապա հակառակը կլինի «y-ը x-ից մեծ է» հարաբերությունը։

Մաթեմատիկայի սկզբնական ուսուցման մեջ հաճախ օգտագործվում է տվյալ հարաբերությունների հակառակ հասկացությունը։ Օրինակ՝ գործողության ընտրության սխալը կանխելու համար, որով խնդիրը լուծվում է. «Պետյան ունի 7 մատիտ, ինչը 2-ով պակաս է Բորիից: Քանի՞ մատիտ ունի Բորին։ - կվերաձեւակերպվի. «Պետյան ունի 7 մատիտ, իսկ Բորին՝ եւս 2: Քանի՞ մատիտ ունի Բորին։ Մենք տեսնում ենք, որ վերաձեւակերպումը կրճատվել է «պակաս 2-ով» կապը փոխարինելու իր «ավելի շատ 2-ով» հակադարձ հարաբերությամբ։

Հարաբերությունների հատկությունները

Մենք պարզեցինք, որ X բազմության վրա երկուական հարաբերությունը դեկարտյան արտադրյալին պատկանող տարրերի դասավորված զույգերի բազմություն է: Սա յուրաքանչյուր հարաբերությունների մաթեմատիկական էությունն է: Բայց, ինչպես ցանկացած այլ հասկացություն, հարաբերություններն ունեն հատկություններ։ Մեզ հաջողվեց մեկուսացնել նրանց՝ ուսումնասիրելով տարբեր կոնկրետ հարաբերություններ։ Հատկությունները շատ են, մեր դասընթացում մենք կուսումնասիրենք միայն մի քանիսը։ Դիտարկենք նկ. 3, ուղղահայացության, հավասարության և «ավելի երկար» հարաբերությունները։ Կառուցենք այս հարաբերությունների գրաֆիկները (նկ. 4) և համեմատենք դրանք։

Մենք տեսնում ենք, որ հավասարության հարաբերության գրաֆիկը մյուս երկուսից տարբերվում է իր յուրաքանչյուր գագաթում օղակների առկայությամբ։ Այս օղակները արդյունք են այն բանի, որ հատվածների հավասարության հարաբերությունն ունի հատկություն՝ ցանկացած հատված հավասար է ինքն իրեն։ Ասում են, որ հավասարության հարաբերությունն ունի սեփականություն ռեֆլեքսիվություն կամ պարզապես ինչ է դա ռեֆլեկտիվ կերպով .

Սահմանում. X բազմության R հարաբերակցությունը կոչվում է ռեֆլեքսիվ, եթե X բազմության յուրաքանչյուր տարրի մասին կարող ենք ասել, որ այն իր հետ կապված է R-ի հետ:

R-ն ռեֆլեքսորեն X-ի վրա<=>xRx ցանկացած x X-ի համար

Եթե R հարաբերակցությունը ռեֆլեքսային է X բազմության վրա, ապա այս հարաբերության գրաֆիկի յուրաքանչյուր գագաթում կա օղակ։ Ճիշտ է նաև հակառակը՝ գրաֆիկը, որի յուրաքանչյուր գագաթն ունի օղակ, սահմանում է ռեֆլեքսիվության հատկություն ունեցող հարաբերություններ։

Ռեֆլեկտիվ հարաբերությունների օրինակներ.

Հարաբերակցությունը «բազմապատիկ» է բնական թվերի բազմության վրա (յուրաքանչյուր բնական թիվ իր բազմապատիկն է);

Եռանկյունների նմանության հարաբերակցությունը (յուրաքանչյուր եռանկյուն նման է իրեն):

Կան հարաբերություններ, որոնք չունեն ռեֆլեքսիվության հատկություն։ Սա, օրինակ, հատվածների բազմության վրա ուղղահայացության հարաբերակցությունն է. չկա մի հատված, որի մասին կարող ենք ասել, որ այն ուղղահայաց է իրեն: Հետևաբար, ուղղահայացության հարաբերակցության գրաֆիկի վրա մեկ օղակ չկա (նկ. 4): Չունի ռեֆլեքսիվության հատկություն և հատվածների համար հարաբերակցությունը «ավելի երկար է»։

Այժմ ուշադրություն դարձնենք ուղիղ հատվածների ուղղահայացության և հավասարության գրաֆիկներին: Նրանք «նման են» նրանով, որ եթե կա մեկ զույգ տարրեր միացնող սլաք, ապա պետք է լինի նույն տարրերը միացնող մեկ այլ սլաք, որը գնում է հակառակ ուղղությամբ։ Գրաֆիկի այս հատկանիշը արտացոլում է այն հատկությունները, որոնք ունեն հատվածների զուգահեռության և հավասարության հարաբերությունները.

Եթե մի հատվածն ուղղահայաց է մյուս հատվածին, ապա այս «մյուսը» ուղղահայաց է առաջինին.

Եթե մի հատվածը հավասար է մեկ այլ հատվածի, ապա այս «մյուսը» հավասար է առաջինին։

Հատվածների ուղղահայացության և հավասարության հարաբերությունների մասին ասում են, որ դրանք ունեն համաչափության հատկություն կամ, պարզապես, սիմետրիկ են։

Սահմանում. X բազմության վրա R հարաբերակցությունը կոչվում է սիմետրիկ, եթե պայմանը բավարարված է. այն փաստից, որ x տարրը գտնվում է R-ի և y տարրի միջև հարաբերության մեջ, հետևում է, որ y տարրը գտնվում է R-ի և x տարրի միջև հարաբերության մեջ: .

Օգտագործելով սիմվոլներ՝ այս հարաբերությունը կարելի է գրել հետևյալ կերպ.

R սիմետրիկ X-ի վրա<=>(xRy => yRx)

Սիմետրիկ հարաբերությունների գրաֆիկն ունի մի առանձնահատկություն՝ x-ից y գնացող յուրաքանչյուր սլաքի հետ միասին գրաֆիկը պարունակում է նաև y-ից x գնացող սլաք։ Ճիշտ է նաև հակառակը. Գրաֆիկը, որը պարունակում է յուրաքանչյուր սլաքի x-ից դեպի y, և y-ից x գնացող սլաքի հետ, սիմետրիկ հարաբերությունների գրաֆիկ է:

Բացի սիմետրիկ հարաբերությունների դիտարկված երկու օրինակներից, մենք կցում ենք նաև հետևյալը.

Զուգահեռության հարաբերակցությունը ուղիղների բազմության վրա (եթե x ուղիղը զուգահեռ է y ուղղին, ապա y ուղիղը զուգահեռ է x ուղղին);

Եռանկյունների նմանության հարաբերակցությունը (եթե F եռանկյունը նման է P եռանկյունին, ապա P եռանկյունը նման է F եռանկյունին):

Կան հարաբերություններ, որոնք չունեն համաչափության հատկություն։ Այդպիսին է, օրինակ, հատվածների հավաքածուի «ավելի երկար» հարաբերակցությունը։ Իսկապես, եթե x հատվածն ավելի երկար է, քան y հատվածը, ապա y հատվածը չի կարող ավելի երկար լինել x հատվածից։ «Ավելի երկար» հարաբերությունները համարվում են հակասիմետրիկ կամ պարզապես հակասիմետրիկ:

Սահմանում. X բազմության վրա R հարաբերությունը կոչվում է հակասիմետրիկ, եթե X բազմությունից x և y տարբեր տարրերի համար բավարար է հետևյալ պայմանը. այն փաստից, որ x-ը գտնվում է R-ի և y տարրի միջև հարաբերության մեջ, հետևում է, որ տարրը. y-ն x տարրով R-ի նկատմամբ չի գտնվել .

հակասիմետրիկ X-ի վրա<=>(xRy և x ≠ y =>)

Հակասիմետրիկ հարաբերությունների գրաֆիկն ունի մի առանձնահատկություն՝ եթե գրաֆիկի երկու գագաթները միացված են սլաքով, ապա կա միայն մեկ սլաք։ Ճիշտ է նաև հակառակը. գրաֆիկը, որի գագաթները միացված են միայն մեկ սլաքով, հակասիմետրիկ հարաբերությունների գրաֆիկ է:

Բացի հատվածների բազմության վրա «ավելի երկար» կապից, հակասիմետրիայի հատկությունը, օրինակ, ունի.

Թվերի «մեծից» հարաբերակցությունը (եթե x-ը մեծ է y-ից, ապա y-ն չի կարող մեծ լինել x-ից);

Թվերի համար «2-ով ավելի» հարաբերակցությունը (եթե x-ը y-ից ավելի է 2-ով, ապա y-ը չի կարող x-ից 2-ով ավելի լինել):

Կան հարաբերություններ, որոնք ոչ համաչափության հատկություն ունեն, ոչ էլ հակահամաչափության հատկություն։ Նկատի առնենք, օրինակ, նույն ընտանիքի շատ երեխաների նկատմամբ քույր լինելու վերաբերմունքը։ Թող ընտանիքը երեք երեխա ունենա՝ Կատյա, Մաշա և Տոլյա: Այնուհետև «քույր լինել» հարաբերության գրաֆիկը կլինի նույնը, ինչ նկար 5-ում: Այն ցույց է տալիս, որ այս կապը չունի ոչ համաչափության, ոչ էլ հակասիմետրիայի հատկություն:

Եվս մեկ անգամ ուշադրություն դարձնենք հարաբերությունների «ավելի երկար է» գրաֆիկի մեկ հատկանիշին (նկ. 4): Դուք կարող եք տեսնել դրա վրա, եթե սլաքները քաշված են եԴեպի աև սկսած աԴեպի Հետ, այսինքն՝ սլաքը ից եԴեպի Հետ; եթե սլաքներն են եԴեպի բև սկսած բԴեպի Հետ, այսինքն՝ սլաքը և ից եԴեպի Հետև այլն: Գրաֆիկի այս հատկանիշը արտացոլում է «ավելի երկար» հարաբերությունների կարևոր հատկությունը. եթե առաջին հատվածն ավելի երկար է, քան երկրորդը, իսկ երկրորդը երկար է երրորդից, ապա առաջինն ավելի երկար է, քան երրորդը: Ասում են՝ այս հարաբերությունը անցողիկ է կամ ուղղակի անցողիկ։

Սահմանում. X բազմության վրա R հարաբերությունը կոչվում է անցումային, եթե պայմանը բավարարված է. այն փաստից, որ x տարրը գտնվում է R-ի և y տարրի միջև, իսկ y տարրը գտնվում է R-ի և z տարրի միջև հարաբերության մեջ, հետևում է. որ x տարրը գտնվում է R-ի և z տարրի միջև հարաբերության մեջ:

Օգտագործելով նշաններ, այս սահմանումը կարելի է գրել հետևյալ կերպ.

R-ն անցողիկ X-ի վրա<=>(xRy և yRz => xRz)

Անցումային հարաբերությունների գծապատկեր՝ յուրաքանչյուր զույգ սլաքներով XԴեպի ժամըև ժամըԴեպի զ, պարունակում է սլաք, որը գնում է XԴեպի զ... Ճիշտ է նաև հակառակը.

Բացի հատվածների բազմության վրա «ավելի երկար» հարաբերությունից, հավասարության կապն ունի անցողիկ հատկություն. եթե հատվածը. Xհավասար է հատվածին ժամըև հատված ժամըհավասար է հատվածին զ, ապա հատվածը Xհավասար է հատվածին զ... Այս հատկությունն արտացոլված է հավասարության հարաբերության գրաֆիկում (նկ. 4):

Կան հարաբերություններ, որոնք չունեն անցողիկ հատկություն։ Նման հարաբերություն է, օրինակ, ուղղահայացության հարաբերակցությունը. եթե a հատվածը ուղղահայաց է d հատվածին, իսկ d հատվածը ուղղահայաց է b հատվածին, ապա a և b հատվածները ուղղահայաց չեն:

Դիտարկենք հարաբերությունների մեկ այլ հատկություն, որը կոչվում է կապվածության հատկություն, իսկ այն տիրապետող հարաբերությունը կոչվում է կապված։

Սահմանում. X բազմության վրա R հարաբերությունը կոչվում է կապված, եթե X բազմության x և y տարրերի համար բավարարված է հետևյալ պայմանը. քանի որ x-ը և y-ը տարբեր են, հետևաբար կամ x-ը R-ի հետ կապված է y տարրով: , կամ y տարրը կապված է R-ի հետ x տարրով:

Օգտագործելով նշաններ, այս սահմանումը կարելի է գրել հետևյալ կերպ.

R-ն միացված է X բազմության վրա<=>(x ≠ y xRy կամ yRx)

Օրինակ, կապակցվածության հատկությունն ունի բնական թվերի համար «ավելի քան» հարաբերությունը. x և y տարբեր թվերի համար կարելի է պնդել, որ կամ x> y կամ y> x:

Կապակցված հարաբերությունների գրաֆիկի ցանկացած երկու գագաթներ միացված են սլաքով: Ճիշտ է նաև հակառակը.

Կան հարաբերություններ, որոնք չունեն կապված լինելու հատկություն։ Նման հարաբերություն, օրինակ, բնական թվերի բազմության վրա բաժանելիության կապն է. նման թվերը կարելի է անվանել xnu այնպես, որ ոչ x թիվը լինի y թվի բաժանարարը, ոչ էլ y թիվը՝ x թվի բաժանարարը։

Ընտրված հատկությունները թույլ են տալիս վերլուծել տարբեր հարաբերություններ ընդհանուր տեսանկյունից՝ այս կամ այն հատկությունների առկայությունը (կամ բացակայությունը):

Այսպիսով, եթե ամփոփենք այն ամենը, ինչ ասվել է հատվածների բազմության վրա տրված հավասարության կապի մասին (նկ. 4), ապա կստացվի, որ այն ռեֆլեքսիվ է, սիմետրիկ և անցողիկ։ Հատվածների նույն բազմության վրա «ավելի երկար» կապը հակասիմետրիկ է և անցողիկ, իսկ ուղղահայացության կապը սիմետրիկ է, բայց այն չունի ռեֆլեքսիվության և անցողիկության հատկություններ: Այս բոլոր հարաբերությունները տվյալ հավաքածուի վրա

հատվածները միացված չեն:

Խնդիր 1. Ձևակերպե՛ք գրաֆիկով տրված R հարաբերության հատկությունները (նկ. 6):

Լուծում. R-հարաբերությունը հակասիմետրիկ է, քանի որ գրաֆիկի գագաթները միացված են միայն մեկ սլաքով:

R կապը անցողիկ է, քանի որ զույգ սլաքներով բԴեպի աև սկսած աԴեպի Հետ, գրաֆիկի վրա կա սլաք, որը գնում է բԴեպի Հետ.

R կապը միացված է, քանի որ ցանկացած երկու գագաթներ միացված են սլաքով:

R հարաբերակցությունը չունի ռեֆլեքսիվության հատկություն, քանի որ գրաֆիկը պարունակում է գագաթներ, որոնցում հանգույց չկա:

Խնդիր 2. Ձևակերպե՛ք բնական թվերի բազմության վրա սահմանված «2 անգամից ավելի» հարաբերության հատկությունները։

Լուծում. «Ավելի քան 2 անգամ» հարաբերությունների կարճ ձևն է «x թիվը 2 անգամ ավելի է, քան y թիվը»: Այս հարաբերակցությունը հակասիմետրիկ է, քանի որ պայմանը բավարարված է՝ այն բանից, որ x թիվը 2 անգամ մեծ է y թվից, հետևում է, որ y թիվը x թվից 2 անգամ ավելի չէ։

Այս վերաբերմունքը ռեֆլեքսիվության հատկություն չունի, քանի որ ոչ մի թվի մասին չի կարելի ասել, որ այն իրենից 2 անգամ մեծ է։

Տրված կապը անցողիկ չէ, քանի որ թիվը Xավելի շատ թվեր ժամը 2-ով, իսկ y թիվը թվից մեծ է զ 2-ով, հետևում է, որ համարը Xչի կարող լինել ավելի քան թիվը զ 2-ին։

Բնական թվերի բազմության վրա այս հարաբերությունը կապակցվելու հատկություն չունի, քանի որ կան x և y թվերի այնպիսի զույգեր, որ ոչ թիվը կրկնակի է y թվից, ոչ էլ y թիվը 2 անգամ x-ից ավելի չէ։ Օրինակ՝ սրանք 7 և 3,5 և 8 թվերն են և այլն։

Դիսկրետ մաթեմատիկայի հիմքերը.

Կոմպլեկտի հայեցակարգը. Կոմպլեկտների միջև հարաբերությունները.

Կոմպլեկտ - որոշակի հատկություն ունեցող օբյեկտների հավաքածու՝ միավորված մեկ ամբողջության մեջ:

Կոմպլեկտը կազմող առարկաները կոչվում են տարրերհավաքածուներ. Որպեսզի օբյեկտների որոշակի բազմություն կոչվի բազմություն, պետք է պահպանվեն հետևյալ պայմանները.

· Պետք է լինի մի կանոն, ըստ որի՝ հնարավոր է որոշել՝ արդյոք տարրը պատկանում է տվյալ բնակչությանը։

· Պետք է լինի կանոն, որով տարրերը կարելի է տարբերել միմյանցից:

Կոմպլեկտները նշվում են մեծատառերով, իսկ դրա տարրերը՝ փոքր տառերով։ Կոմպլեկտներ նշելու մեթոդներ.

· Կոմպլեկտի տարրերի թվարկում. - վերջավոր բազմությունների համար:

Հատկանշական հատկության ճշգրտում .

Դատարկ հավաքածու- կոչվում է բազմություն, որը չի պարունակում որևէ տարր (Ø):

Երկու բազմությունները կոչվում են հավասար, եթե դրանք բաղկացած են նույն տարրերից: , A = B

Մի փունջ Բկոչվում է բազմության ենթաբազմություն Ա(, եթե և միայն եթե հավաքածուի բոլոր տարրերը Բպատկանում է հավաքածուին Ա.

Օրինակ: , Բ =>

Սեփականություն:

Ծանոթագրություն. սովորաբար դիտարկվում է նույն e բազմության ենթաբազմությունը, որը կոչվում է ունիվերսալ(u): Ունիվերսալ հավաքածուն պարունակում է բոլոր տարրերը:

Գործողություններ կոմպլեկտների վրա.

1. Միավորում 2 բազմություն A և B բազմություն է, որին պատկանում են A բազմության կամ B բազմության տարրերը (բազմություններից առնվազն մեկի տարրերը):

2.Անցնելով 2 բազմություն կոչվում է նոր բազմություն, որը բաղկացած է տարրերից, որոնք միաժամանակ պատկանում են և՛ առաջին, և՛ երկրորդ բազմություններին:

Nr:,,

Գույք՝ միավորման և խաչմերուկի գործառնություններ.

· Փոխատեղելիություն.

· Ասոցիատիվություն. ;

· Բաշխիչ. ;

4.Հավելում... Եթե ԱՀամընդհանուր բազմության ենթաբազմություն է U, ապա հավաքածուի լրացումը Աշատերի համար U(նշվում է) կոչվում է բազմություն, որը բաղկացած է բազմության այդ տարրերից Uորոնք չեն պատկանում հավաքածուին Ա.

Երկուական հարաբերությունները և դրանց հատկությունները:

Թող Աև Վսրանք ածանցյալ բնույթի հավաքածուներ են, հաշվի առեք տարրերի պատվիրված զույգ (ա, գ) a ϵ A, b ϵ Bպատվիրված «ենկի» կարելի է համարել.

(a 1, a 2, a 3, ... a n), որտեղ ա 1 ϵ А 1; ա 2 ϵ А 2; ...; ա n ϵ А n;

Կոմպլեկտների դեկարտյան (ուղիղ) արտադրյալ А 1, А 2, ..., А n, կոչվում է թվերի բազմություն, որը կազմված է կարգավորված n k ձևից։

Nr: Մ= {1,2,3}

M × M = M 2= {(1,1);(1,2);(1,3); (2,1);(2,2);(2,3); (3,1);(3,2);(3,3)}.

Դեկարտյան արտադրանքի ենթաբազմություններ կոչվում է աստիճանի հարաբերակցություն nկամ ընդհանուր հարաբերություն: Եթե n= 2, ապա հաշվի առեք երկուականհարաբերություններ. Այդ ի՞նչ են ասում ա 1, ա 2երկուական կապի մեջ են Ռ, երբ a 1 R a 2.

Երկուական հարաբերություն լրակազմում Մկոչվում է բազմության ուղղակի արտադրյալի ենթաբազմություն nինքներդ:

M × M = M 2= {(ա, բ)| a, b ϵ M) նախորդ օրինակում հարաբերակցությունը հավաքածուի վրա ավելի փոքր է Մառաջացնում է հետևյալ բազմությունը՝ ((1,2); (1,3); (2,3))

Երկուական հարաբերություններն ունեն տարբեր հատկություններ, այդ թվում՝

Ռեֆլեկտիվություն: .