Когато пръчката се разтяга и компресира, дължината и размерите на напречното сечение се променят. Ако наум изберем от пръчката в недеформирано състояние елемент с дължина dx,тогава след деформация дължината му ще бъде равна на dx((фиг. 3.6). В този случай, абсолютното удължение по посока на оста охще бъде равно на
и относителна линейна деформация д хсе определя от равенството
Тъй като ос охсъвпада с оста на пръта, по която действат външни натоварвания, наричаме деформация д хнадлъжна деформация, за която индексът ще бъде пропуснат по-долу. Деформациите в посоки, перпендикулярни на оста, се наричат напречни деформации. Ако е означено с бхарактерен размер на напречното сечение (фиг. 3.6), то напречната деформация се определя от съотношението 
Относителните линейни деформации са безразмерни величини. Установено е, че напречните и надлъжните деформации при централно опън и натиск на пръта са свързани помежду си от зависимостта
Количеството v, включено в това равенство, се нарича Коефициент на Поасонили коефициент на напречна деформация. Този коефициент е една от основните константи на еластичността на материала и характеризира способността му за напречни деформации. За всеки материал се определя от изпитване на опън или компресия (виж § 3.5) и се изчислява по формулата
Както следва от равенството (3.6), надлъжните и напречните деформации винаги имат противоположни знаци, което е потвърждение на очевидния факт - при разтягане размерите на напречното сечение намаляват, а при компресия се увеличават.
Коефициентът на Поасон е различен за различните материали. За изотропни материали може да приеме стойности от 0 до 0,5. Например за коркова дървесина коефициентът на Поасон е близо до нула, докато за каучук е близо до 0,5. За много метали при нормални температури стойността на коефициента на Поасон е в диапазона от 0,25 + 0,35.
Както е установено в многобройни експерименти, за повечето конструктивни материали при малки деформации съществува линейна връзка между напреженията и деформациите
Този закон за пропорционалността е установен за първи път от английския учен Робърт Хук и се нарича Законът на Хук.
Константата, включена в закона на Хук Есе нарича модул на еластичност. Модулът на еластичност е втората основна константа на еластичността на материала и характеризира неговата твърдост. Тъй като деформациите са безразмерни величини, от (3.7) следва, че модулът на еластичност има размерността на напрежението.
В табл. 3.1 показва стойностите на модула на еластичност и коефициента на Поасон за различни материали.
При проектирането и изчисляването на конструкции, наред с изчисляването на напреженията, е необходимо да се определят и преместванията на отделни точки и възли на конструкциите. Помислете за метод за изчисляване на премествания при централно напрежение и компресия на пръти.
Абсолютна дължина на разширението на елемента dx(фиг. 3.6) съгласно формула (3.5) е
Таблица 3.1
|
Име на материала |
Модул на еластичност, MPa |
Коефициент Поасон |
|
Въглеродна стомана |
||
|
алуминиеви сплави |
||
|
Титаниеви сплави |
||
|
(1.15-s-1.6) 10 5 |
||
|
покрай влакната |
(0,1 ^ 0,12) 10 5 |
|
|
през влакната |
(0,0005 + 0,01)-10 5 |
|
|
(0,097 + 0,408) -10 5 |
||
|
тухлена зидария |
(0,027 +0,03)-10 5 |
|
|
SVAM от фибростъкло |
||
|
Текстолит |
(0,07 + 0,13)-10 5 |
|
|
Гума върху гума |
Интегрирайки този израз в диапазона от 0 до x, получаваме
където техен) - аксиално изместване на произволен участък (фиг. 3.7), и C= и ( 0) - аксиално изместване на началния участък х = 0.Ако този участък е фиксиран, тогава u(0) = 0 и изместването на произволен участък е
Удължението или скъсяването на пръта е равно на аксиалното изместване на свободния му край (фиг. 3.7), чиято стойност получаваме от (3.8), като се приеме х = 1:
Замествайки във формулата (3.8) израза за деформацията? от закона на Хук (3.7), получаваме
За пръчка, изработена от материал с постоянен модул на еластичност Еаксиалните премествания се определят по формулата
Интегралът, включен в това равенство, може да се изчисли по два начина. Първият начин е да напишете функцията аналитично о)и последваща интеграция. Вторият метод се основава на факта, че разглежданият интеграл е числено равен на площта a в разреза.Представяне на нотацията
Нека разгледаме специални случаи. За пръчка, опъната от концентрирана сила Р(ориз. 3.3, а),надлъжна сила. / V е постоянна по дължината и е равна на Р.Напреженията a съгласно (3.4) също са постоянни и равни на 
Тогава от (3.10) получаваме
От тази формула следва, че ако напреженията върху определен участък от пръта са постоянни, тогава преместванията се променят по линеен закон. Заместване в последната формула х = 1,намерете удължението на пръта:
Работете EFНаречен твърдост на пръта при опън и компресия.Колкото по-голяма е тази стойност, толкова по-малко е удължаването или скъсяването на пръта.
Помислете за пръчка под действието на равномерно разпределен товар (фиг. 3.8). Надлъжната сила в произволно сечение, разположена на разстояние x от закрепването, е равна на
Разделяне нна F,получаваме формулата за напреженията
Замествайки този израз в (3.10) и интегрирайки, намираме
Най-голямото изместване, равно на удължението на целия прът, се получава чрез заместване на x = / в (3.13):
От формули (3.12) и (3.13) се вижда, че ако напреженията зависят линейно от x, то преместванията се променят според закона на квадратната парабола. Парцели Н,о и ипоказано на фиг. 3.8.
Функции за свързване на обща диференциална зависимост техен)и a(x), може да се получи от съотношение (3.5). Замествайки e от закона на Хук (3.7) в тази връзка, намираме
От тази зависимост следват по-специално моделите на промяна на функцията, отбелязани в горните примери техен).
Освен това може да се отбележи, че ако в някой участък напреженията изчезнат, тогава на диаграмата иможе да има екстремум в този раздел.
Като пример, нека изградим диаграма иза пръта, показан на фиг. 3.2, поставяне Е- 10 4 MPa. Изчисляване на площи на парцела Оза различни области намираме:
сечение x = 1 m:
сечение x = 3 m:
сечение x = 5 m:
В горната част на лентата на диаграмата ие квадратна парабола (фиг. 3.2, д).В този случай има екстремум в участъка x = 1 m. В долната част характерът на диаграмата е линеен.
Общото удължение на пръта, което в този случай е равно на
може да се изчисли по формули (3.11) и (3.14). Тъй като долната част на пръта (виж фиг. 3.2, а)разтегнат със сила R (нейното удължаване съгласно (3.11) е равно на
Действие на сила R (се предава и на горната част на пръта. Освен това се компресира със сила R 2и разтегнат от равномерно разпределен товар q.В съответствие с това промяната в дължината му се изчислява по формулата
Сумирайки стойностите на A/ и A/ 2 , получаваме същия резултат като по-горе.
В заключение трябва да се отбележи, че въпреки малката стойност на преместванията и удълженията (скъсяванията) на пръти при опън и натиск, те не могат да бъдат пренебрегвани. Възможността за изчисляване на тези количества е важна при много технологични проблеми (например при сглобяване на конструкции), както и за решаване на статично неопределени задачи.
Действието на външни сили върху твърдо тяло води до поява на напрежения и деформации в точки от неговия обем. В този случай състоянието на напрежение в дадена точка, връзката между напреженията в различни места, преминаващи през тази точка, се определят от уравненията на статиката и не зависят от физическите свойства на материала. Деформираното състояние, връзката между преместванията и деформациите се установяват с помощта на геометрични или кинематични съображения и също не зависят от свойствата на материала. За да се установи връзка между напреженията и деформациите, е необходимо да се вземат предвид действителните свойства на материала и условията на натоварване. На базата на експериментални данни се разработват математически модели, описващи връзката между напрежения и деформации. Тези модели трябва да отразяват реалните свойства на материалите и условията на натоварване с достатъчна степен на точност.
Най-често срещаните за конструктивните материали са моделите на еластичност и пластичност. Еластичността е свойството на тялото да променя формата и размера си под действието на външни натоварвания и да възстановява първоначалната си конфигурация, когато натоварванията бъдат премахнати. Математически свойството на еластичност се изразява в установяването на функционална връзка едно към едно между компонентите на тензора на напрежението и тензора на деформация. Свойството на еластичност отразява не само свойствата на материалите, но и условията на натоварване. За повечето конструктивни материали свойството на еластичност се проявява при умерени стойности на външни сили, водещи до малки деформации, и при ниски скорости на натоварване, когато загубите на енергия поради температурни ефекти са незначителни. Материалът се нарича линейно еластичен, ако компонентите на тензора на напрежението и тензора на деформация са свързани чрез линейни отношения.
При високи нива на натоварване, когато се появят значителни деформации в тялото, материалът частично губи своите еластични свойства: при разтоварване първоначалните му размери и форма не се възстановяват напълно, а когато външните натоварвания са напълно премахнати, остатъчните деформации се фиксират. В такъв случай връзката между напрежението и напрежението престава да бъде еднозначна. Това материално свойство се нарича пластичност.Остатъчните деформации, натрупани в процеса на пластична деформация, се наричат пластични.
Високото ниво на стрес може да причини разрушаване, т.е. разделяне на тялото на части.Твърдите тела, изработени от различни материали, се разрушават при различна степен на деформация. Счупването е крехко при малки деформации и обикновено протича без забележими пластични деформации. Подобно разрушаване е характерно за чугун, легирани стомани, бетон, стъкло, керамика и някои други конструкционни материали. За нисковъглеродни стомани, цветни метали, пластмаси е характерен пластичен тип счупване при наличие на значителни остатъчни деформации. Въпреки това, разделянето на материалите според естеството на тяхното разрушаване на крехки и пластични е много условно, обикновено се отнася до някои стандартни работни условия. Един и същ материал може да се държи, в зависимост от условията (температура, естество на натоварването, производствена технология и др.), като крехък или пластичен. Например, материалите, които са пластмасови при нормални температури, се разрушават като крехки при ниски температури. Следователно е по-правилно да се говори не за крехки и пластични материали, а за крехкото или пластично състояние на материала.
Нека материалът е линейно еластичен и изотропен. Нека разгледаме елементарен обем при условия на едноосово напрегнато състояние (фиг. 1), така че тензорът на напрежението да има вида
При такова натоварване има увеличение на размерите по посока на оста о,характеризиращ се с линейна деформация, която е пропорционална на големината на напрежението
Фиг. 1.Едноосово напрегнато състояние
Това съотношение е математическа нотация Законът на Хукустановяване на пропорционална връзка между напрежението и съответната линейна деформация в едноосно напрегнато състояние. Коефициентът на пропорционалност Е се нарича модул на надлъжна еластичност или модул на Юнг.Има измерението на напреженията.
Заедно с увеличаването на размера в посока на действие; при едно и също напрежение размерите намаляват в две ортогонални посоки (фиг. 1). Съответните деформации ще бъдат обозначени с и , и тези деформации са отрицателни за положителните и са пропорционални на :
При едновременно действие на напрежения по три ортогонални оси, когато няма тангенциални напрежения, принципът на суперпозиция (суперпозиция на решения) е валиден за линеен еластичен материал:
Като се вземат предвид формулите (1 - 4), получаваме
|
Тангенциалните напрежения причиняват ъглови деформации, а при малки деформации не влияят на промяната в линейните размери и следователно на линейните деформации. Следователно те са валидни и при произволно напрегнато състояние и изразяват т.нар обобщен закон на Хук.
Ъгловата деформация се дължи на напрежението на срязване , а деформациите и се дължат съответно на напреженията и . Между съответните напрежения на срязване и ъглови деформации за линейно еластично изотропно тяло има пропорционални зависимости
които изразяват закона Кука на смяна.Коефициентът на пропорционалност G се нарича срязващ модул.Важно е нормалното напрежение да не влияе на ъгловите деформации, тъй като в този случай се променят само линейните размери на сегментите, а не ъглите между тях (фиг. 1).
Съществува и линейна зависимост между средното напрежение (2.18), което е пропорционално на първия инвариант на тензора на напрежението, и обемното напрежение (2.32), което съвпада с първия инвариант на тензора на напрежението:
Фиг.2.Планарно напрежение на срязване
Съответно съотношение на страните ДА СЕНаречен обемен модул на еластичност.
Формулите (1 - 7) включват еластичните характеристики на материала E, , ги ДА СЕ,определяне на нейните еластични свойства. Тези характеристики обаче не са независими. За изотропен материал обикновено се избират две независими еластични характеристики като модул на еластичност Еи коефициентът на Поасон. За изразяване на модула на срязване гпрез Еи , Да разгледаме плоска деформация на срязване под действието на срязващи напрежения (фиг. 2). За да опростим изчисленията, използваме квадратен елемент със страна а.Изчислете главните напрежения , . Тези напрежения действат върху места, разположени под ъгъл спрямо оригиналните места. От фиг. 2 намират връзката между линейната деформация в посока на напрежението и ъгловата деформация . Главният диагонал на ромба, характеризиращ деформацията, е равен на
За малки деформации
Предвид тези съотношения
Преди деформацията този диагонал е имал размера . Тогава ще имаме
От обобщения закон на Хук (5) получаваме
Сравнението на получената формула със закона на Хук със смяна (6) дава
В резултат получаваме
Сравнявайки този израз с обемния закон на Хук (7), стигаме до резултата
Механични характеристики E, , ги ДА СЕсе намират след обработка на експерименталните данни от изпитвани образци за различни видове натоварвания. От физическа гледна точка всички тези характеристики не могат да бъдат отрицателни. Освен това от последния израз следва, че съотношението на Поасон за изотропен материал не надвишава 1/2. По този начин получаваме следните ограничения за еластичните константи на изотропен материал:
Граничната стойност води до гранична стойност , което съответства на несвиваем материал (при ). В заключение изразяваме напреженията като деформации от отношенията на еластичност (5). Записваме първото от отношенията (5) във формата
Използвайки равенство (9), ще имаме
Подобни отношения могат да бъдат получени за и . В резултат получаваме
|
Тук се използва съотношение (8) за модула на срязване. В допълнение, обозначението
ПОТЕНЦИАЛНА ЕНЕРГИЯ НА ЕЛАСТИЧНА ДЕФОРМАЦИЯ
Помислете първо за елементарния обем dV=dxdydzпри условия на едноосово напрегнато състояние (фиг. 1). Психически фиксирайте платформата х=0(фиг. 3). От противоположната страна действа сила .
Тази сила работи при изместване. .
С увеличаване на напрежението от нула до стойността
съответната деформация, по силата на закона на Хук, също нараства от нула до стойността ,
и работата е пропорционална на защрихованата на фиг. 4 квадрата: 
. Ако пренебрегнем кинетичната енергия и загубите, свързани с топлинни, електромагнитни и други явления, тогава, по силата на закона за запазване на енергията, извършената работа ще се превърне в потенциална енергиянатрупани по време на процеса на деформация: .
F= dU/dVНаречен специфична потенциална енергия на деформация,което има значението на потенциалната енергия, натрупана в единица обем на тялото. В случай на едноосово напрегнато състояние
Законът на Хук е открит през 17 век от англичанина Робърт Хук. Това откритие за разтягането на пружина е един от законите на теорията за еластичността и играе важна роля в науката и технологиите.
Определение и формула на закона на Хук
Формулировката на този закон е следната: еластичната сила, която се появява в момента на деформация на тялото, е пропорционална на удължението на тялото и е насочена обратно на движението на частиците на това тяло спрямо другите частици по време на деформация.
Математическата нотация на закона изглежда така:
Ориз. 1. Формула на закона на Хук
където Fupr- съответно еластичната сила, хе удължението на тялото (разстоянието, с което се променя първоначалната дължина на тялото), и к- коефициент на пропорционалност, наречен скованост на тялото. Силата се измерва в нютони, а дължината на тялото се измерва в метри.
За да се разкрие физическото значение на твърдостта, е необходимо да се замени единицата, в която се измерва удължението - 1 m във формулата за закона на Хук, като преди това се получи израз за k.
Ориз. 2. Формула за скованост на тялото
Тази формула показва, че твърдостта на едно тяло е числено равна на еластичната сила, която възниква в тялото (пружината), когато то се деформира с 1 м. Известно е, че твърдостта на пружината зависи от нейната форма, размер и материал от от което е направено това тяло.
Еластична сила
След като знаем коя формула изразява закона на Хук, е необходимо да разберем нейната основна стойност. Основната величина е еластичната сила. Появява се в определен момент, когато тялото започва да се деформира, например при компресиране или разтягане на пружина. Той е насочен в посока, обратна на гравитацията. Когато силата на еластичност и силата на тежестта, действащи върху тялото, се изравнят, опората и тялото спират.
Деформацията е необратима промяна, която настъпва с размера на тялото и неговата форма. Те са свързани с движението на частиците една спрямо друга. Ако човек седне на кресло, тогава ще се получи деформация със стола, тоест характеристиките му ще се променят. Тя може да бъде от различни видове: огъване, разтягане, компресия, срязване, усукване.
Тъй като силата на еластичността принадлежи в произхода си на електромагнитните сили, трябва да знаете, че тя възниква поради факта, че молекулите и атомите, най-малките частици, които изграждат всички тела, се привличат и се отблъскват. Ако разстоянието между частиците е много малко, тогава те са засегнати от силата на отблъскване. Ако това разстояние се увеличи, тогава силата на привличане ще действа върху тях. Така разликата между силите на привличане и отблъскване се проявява в силите на еластичност.
Еластична сила включва силата на реакция на опората и тежестта на тялото. Силата на реакцията е от особен интерес. Това е силата, която действа върху тялото, когато е поставено върху повърхност. Ако тялото е окачено, тогава силата, действаща върху него, се нарича сила на опън на нишката.
Характеристики на еластичните сили
Както вече разбрахме, еластичната сила възниква по време на деформация и е насочена към възстановяване на оригиналните форми и размери, строго перпендикулярни на деформируемата повърхност. Еластичните сили също имат редица характеристики.
- възникват по време на деформация;
- те се появяват при две деформируеми тела едновременно;
- те са перпендикулярни на повърхността, спрямо която тялото е деформирано.
- те са противоположни по посока на изместването на частиците на тялото.
Прилагане на закона на практика
Законът на Хук се прилага както в техническите и високотехнологични устройства, така и в самата природа. Например, еластични сили се намират в часовниковите механизми, в амортисьорите на превозните средства, във въжетата, еластичните ленти и дори в човешките кости. Принципът на закона на Хук е в основата на динамометър - устройство, с което се измерва силата.
Законът на Хукобикновено се наричат линейни връзки между компонентите на напрежението и компонентите на напрежението.
Вземете елементарен правоъгълен паралелепипед с лица, успоредни на координатните оси, натоварен с нормално напрежение σ x, равномерно разпределени върху две противоположни страни (фиг. 1). При което г = σz = τ x y = τ x z = τ yz = 0.
До достигане на границата на пропорционалност относителното удължение се дава по формулата
където Ее модулът на опън. За стомана Е = 2*10 5 МРа, следователно, деформациите са много малки и се измерват като процент или в 1 * 10 5 (в тензометърни инструменти, които измерват деформациите).
Разширяване на елемент в посоката на оста хсе съпровожда от стесняването му в напречна посока, обусловено от компонентите на деформацията
където μ е константа, наречена коефициент на напречна компресия или коефициент на Поасон. За стомана μ обикновено се приема равно на 0,25-0,3.
Ако разглежданият елемент е едновременно натоварен с нормални напрежения σ x, г, σz, равномерно разпределен по лицата му, след което се добавят деформации
Чрез наслагване на компонентите на деформацията, причинени от всяко от трите напрежения, получаваме отношенията
Тези съотношения се потвърждават от множество експерименти. прилаган метод на наслагванеили суперпозициида се намерят общите деформации и напрежения, причинени от множество сили, е законно, стига деформациите и напреженията да са малки и линейно зависими от приложените сили. В такива случаи пренебрегваме малките промени в размерите на деформируемото тяло и малките премествания на точките на приложение на външните сили и базираме изчисленията си на първоначалните размери и първоначалната форма на тялото.
Трябва да се отбележи, че линейността на отношенията между силите и деформациите все още не следва от малкостта на преместванията. Така, например, в компресиран Впрът, натоварен с допълнителна напречна сила Р, дори и с малко отклонение δ има допълнителен момент М = Qδ, което прави проблема нелинеен. В такива случаи общите отклонения не са линейни функции на силите и не могат да бъдат получени с просто наслагване (суперпозиция).
Експериментално е установено, че ако напреженията на срязване действат върху всички страни на елемента, то изкривяването на съответния ъгъл зависи само от съответните компоненти на напрежението на срязване.
Постоянна гсе нарича модул на срязване или модул на срязване.
Общият случай на деформация на елемент от действието на три нормални и три компонента на тангенциалното напрежение върху него може да се получи чрез суперпозиция: три линейни деформации, определени от изрази (5.2а), се наслагват с три деформации на срязване, определени от отношения (5.2b) . Уравнения (5.2a) и (5.2b) определят връзката между компонентите на деформация и напрежение и се наричат обобщен закон на Хук. Нека сега покажем, че модулът на срязване гизразено чрез модул на опън Еи съотношението на Поасон μ . За да направите това, разгледайте специален случай, когато σ x = σ , г = -σ и σz = 0.
Изрежете елемента abcdравнини, успоредни на оста zи наклонени под ъгъл от 45° спрямо осите хи в(фиг. 3). Както следва от условията на равновесие за елемент 0 пр. н. е, нормални напрежения σ vна всички лица на елемента abcdса равни на нула, а напреженията на срязване са равни
Това стресово състояние се нарича чиста смяна. Уравнения (5.2а) предполагат, че
тоест разширението на хоризонталния елемент 0 ° Се равно на скъсяването на вертикалния елемент 0 б: εy = -ε x.
Ъгъл между лицата аби пр. н. епромени и съответното количество деформация на срязване γ може да се намери от триъгълник 0 пр. н. е:
Оттук следва, че
8.2. Основни закони, използвани в якостта на материалите
Отношения на статиката. Те са записани под формата на следните уравнения на равновесие.
Законът на Хук ( 1678): колкото по-голяма е силата, толкова по-голяма е деформацията и освен това е право пропорционална на силата. Физически това означава, че всички тела са пружини, но с голяма твърдост. С просто опъване на гредата от надлъжната сила н= Фтози закон може да се запише така:
Тук 
надлъжна сила, л- дължина на шината, А- неговата площ на напречното сечение, Е- коефициент на еластичност от първи вид ( Модул на Янг).
Като се вземат предвид формулите за напрежения и деформации, законът на Хук се записва по следния начин: 
.
Подобна връзка се наблюдава при експерименти между напреженията на срязване и ъгъла на срязване:
.
г
Нареченмодул на срязване
, по-рядко - модулът на еластичност от втори вид. Като всеки закон, той има граница на приложимост и законът на Хук. Волтаж 
, до която законът на Хук е валиден, се нарича граница на пропорционалност(това е най-важната характеристика на sopromat).
Нека изобразим зависимостта
от
графично (фиг. 8.1). Тази картина се нарича диаграма на разтягане
. След точка Б (т.е 
), тази зависимост вече не е линейна.
В 
след разтоварване се появяват остатъчни деформации в тялото, следователно 
Наречен граница на еластичност
.
Когато напрежението достигне стойността σ = σ t, много метали започват да проявяват свойство, наречено течливост. Това означава, че дори при постоянно натоварване материалът продължава да се деформира (т.е. да се държи като течност). Графично това означава, че диаграмата е успоредна на абсцисата (DL графика). Напрежението σ t, при което материалът тече, се нарича провлачване .
Някои материали (чл. 3 - строителна стомана) след кратко течение започват да се съпротивляват отново. Съпротивлението на материала продължава до определена максимална стойност σ pr, след което започва постепенно разрушаване. Извиква се стойността σ pr - издръжливост на опън (синоним на стомана: якост на опън, за бетон - кубична или призматична якост). Използват се и следните обозначения:
=Р б
Подобна зависимост се наблюдава при експерименти между тангенциалните напрежения и срязването.
3) Закон на Дугамел-Нойман (линейно топлинно разширение):
При наличие на температурна разлика тялото променя размера си и е право пропорционално на тази температурна разлика.
Нека има температурна разлика 
. Тогава този закон приема формата:
Тук α - коефициент на линейно топлинно разширение, л - дължина на пръта, Δ л- удължаването му.
4) закон на пълзенето .
Проучванията показват, че всички материали са силно нехомогенни в малките. Схематичната структура на стоманата е показана на фиг. 8.2.
Някои от компонентите имат флуидни свойства, така че много материали под натоварване придобиват допълнително удължение с течение на времето. 
(фиг.8.3.) (метали при високи температури, бетон, дърво, пластмаси - при нормални температури). Това явление се нарича пълзенематериал.
За течност законът е верен: колкото по-голяма е силата, толкова по-голяма е скоростта на тялото в течността. Ако тази връзка е линейна (т.е. силата е пропорционална на скоростта), тогава тя може да се запише като:
Е 
Ако преминем към относителните сили и относителните удължения, получаваме
Тук индексът " кр
" означава, че се взема предвид частта от удължението, причинена от пълзенето на материала. Механична характеристика 
наречен коефициент на вискозитет.
Закон за запазване на енергията.
Помислете за натоварена греда
Нека представим концепцията за преместване на точка, напр.
- вертикално движение на точка Б;
- хоризонтално отместване на точка C.
Силите 
докато върши някаква работа У.
Като се има предвид, че силите 
започват да се увеличават постепенно и ако приемем, че те се увеличават пропорционално на преместванията, получаваме:
.
Според закона за опазване: нито една работа не изчезва, тя се изразходва за извършване на друга работа или отива в друга енергия (енергияе работата, която тялото може да извърши.
Работата на силите 
, се изразходва за преодоляване на съпротивлението на еластичните сили, които възникват в нашето тяло. За да изчислим тази работа, ние вземаме предвид, че тялото може да се разглежда като съставено от малки еластични частици. Нека разгледаме един от тях:
От страната на съседните частици върху него действа напрежение 
. Полученият стрес ще бъде 
Под влиянието 
частицата е удължена. По дефиниция удължението е удължението на единица дължина. Тогава:
Нека изчислим работата dWче силата прави dN (тук също така се взема предвид, че силите dNзапочват да се увеличават постепенно и се увеличават пропорционално на преместванията):
За цялото тяло получаваме:
.
Работете Уангажиран 
, Наречен енергия на еластична деформация.
Според закона за запазване на енергията:
6)Принцип възможни движения .
Това е един от начините за написване на закона за запазване на енергията.
Нека върху гредата действат сили Ф 1
,
Ф 2
,
…
. Те карат точките да се движат в тялото 
и стрес 
. Да дадем тялото допълнителни малки възможни премествания
. В механиката записът на формуляра 
означава фразата „възможна стойност на количеството а". Тези възможни движения ще причинят в тялото допълнителни възможни деформации
. Те ще доведат до появата на допълнителни външни сили и напрежения. 
,
δ.
Нека изчислим работата на външните сили върху допълнителни възможни малки премествания:
Тук 
- допълнителни премествания на тези точки, където се прилагат сили Ф 1
,
Ф 2
,
…
Помислете отново за малък елемент с напречно сечение dA и дължина дз (виж фиг. 8.5. и 8.6.). Според определението допълнително удължаване дзна този елемент се изчислява по формулата:
дз= дз.
Силата на опън на елемента ще бъде:
dN = (+δ) dA ≈ dA..
Работата на вътрешните сили при допълнителни премествания се изчислява за малък елемент, както следва:
dW = dN dz = dA dz = dV
С 
сумирайки енергията на деформация на всички малки елементи, получаваме общата енергия на деформация:
Закон за запазване на енергията У = Удава:
.
Това съотношение се нарича принципът на възможните движения(също наричан принцип на виртуалните движения).По същия начин можем да разгледаме случая, когато действат и срязващи напрежения. Тогава може да се получи, че енергията на деформация Удобавете следния термин:
Тук - напрежение на срязване, - срязване на малък елемент. Тогава принцип на възможни движенияще приеме формата:
За разлика от предишната форма на писане на закона за запазване на енергията, тук няма предположение, че силите започват да се увеличават постепенно и те се увеличават пропорционално на преместванията
7) Ефект на Поасон.
Помислете за модела на удължаване на пробата:
Нарича се феноменът на скъсяване на телесен елемент напречно на посоката на удължаване Ефект на Поасон.
Нека намерим надлъжната относителна деформация.
Относителната напречна деформация ще бъде:
Коефициент на Поасонколичеството се нарича:
За изотропни материали (стомана, чугун, бетон) коефициент на Поасон
Това означава, че в напречна посока деформацията по-малконадлъжна.
Забележка
: съвременните технологии могат да създават композитни материали с коефициент на Поасон > 1, тоест напречната деформация ще бъде по-голяма от надлъжната. Например, такъв е случаят с материал, подсилен с твърди влакна под нисък ъгъл. 
<<1
(см. рис.8.8.). Оказывается, что коэффициент
Пуассона при этом почти пропорционален
величине
, т.е. по-малкото 
, толкова по-голям е коефициентът на Поасон.
Фиг.8.8. Фиг.8.9
Още по-изненадващ е материалът, показан на (фиг. 8.9.), а за такова укрепване се получава парадоксален резултат - надлъжното удължение води до увеличаване на размера на тялото в напречна посока.
8) Обобщен закон на Хук.
Помислете за елемент, който се простира в надлъжна и напречна посока. Нека намерим деформацията, възникваща в тези посоки. 
Изчислете деформацията 
произтичащи от действието 
:
Помислете за деформацията от действието 
, което е резултат от ефекта на Поасон:
Общата деформация ще бъде:
Ако работи и 
, след което добавете още едно скъсяване по посока на оста x 
.
следователно: 
По същия начин: 
Тези съотношения се наричат обобщен закон на Хук.
Интересно е, че при писането на закона на Хук се прави предположение за независимостта на деформациите на удължение от деформациите на срязване (за независимостта от напреженията на срязване, което е едно и също нещо) и обратно. Експериментите добре потвърждават тези предположения. Поглеждайки напред, отбелязваме, че силата, напротив, силно зависи от комбинацията от срязващи и нормални напрежения.
Забележка: Горните закони и предположения се потвърждават от множество преки и косвени експерименти, но, както всички други закони, те имат ограничена област на приложение.
