Изпратете вашата добра работа в базата от знания е лесно. Използвайте формуляра по-долу

Студенти, специализанти, млади учени, които използват базата от знания в своето обучение и работа, ще Ви бъдат много благодарни.

Федерална агенция за образование

Държавно образователно заведение за висше професионално образование

Вятски държавен университет за хуманитарни науки

Факултет по математика

Катедра по математически анализи и методи
преподаване на математика

Финална квалификационна работа

на тема: Гаусов пръстен от цели числа.

Завършено:

студент 5-та година

Факултет по математика

Гнусов В.В.

___________________________

Научен съветник:

старши преподавател на катедрата

алгебра и геометрия

Семенов A.N.

___________________________

Рецензент:

Кандидат по физика и математика наук, доцент

Катедра по алгебра и геометрия

Ковязина Е.М.

___________________________

Допуснат до защита във ВАС

Глава Отдел ________________ Вечтомов Е.М.

« »________________

Декан на факултета ___________________ Варанкина В.И.

« »________________

Киров 2005г

• Въведение. 2
• 3
• 4
• 1.2 ДЕЛЕНИЕ С ОСТАТ. 5
• 1.3 GCD. АЛГОРИТЪМ ЕВКЛИД. 6
• 9
• 12
• 17
• Заключение. 23

Въведение.

Пръстенът от комплексни цели числа е открит от Карл Гаус и кръстен Гаусиан на негово име.

К. Гаус стигна до идеята за възможността и необходимостта от разширяване на концепцията за цяло число във връзка с търсенето на алгоритми за решаване на сравнения от втора степен. Той прехвърли концепцията за цяло число върху числа от вида, където са произволни цели числа и е коренът на уравнението. На дадено множество, К. Гаус е първият, който конструира теория за делимост, подобна на теорията за делимост на цели числа. Той обоснова валидността на основните свойства на делимостта; показа, че има само четири обратими елемента в пръстена от комплексни числа: ; доказа валидността на теоремата за деление с остатък, теоремата за единствеността на разлагането на прости множители; показа кои прости естествени числа ще останат прости в пръстена; открил естеството на простите цели комплексни числа.

Теорията, разработена от К. Гаус, описана в неговия труд "Аритметични изследвания", е фундаментално откритие за теорията на числата и алгебрата.

За дипломната работа бяха поставени следните цели:

1. Развийте теорията за делимост в пръстена от числа на Гаус.

2. Открийте естеството на простите числа на Гаус.

3. Покажете приложението на гаусовите числа при решаване на обикновени диофантови задачи.

ГЛАВА 1. ДЕЛИМОСТ В ПРЪЩЕНА НА ГАУСОВИТЕ ЧИСЛА.

Помислете за набора от комплексни числа. По аналогия с множеството от реални числа в него може да се различи подмножество от цели числа. Набор от числа от вида където ще се наричат ​​комплексни цели числа или числа на Гаус. Лесно е да се провери дали аксиомите на пръстена са валидни за това множество. По този начин този набор от комплексни числа е пръстен и се нарича пръстен от гаусови цели числа . Нека го означим като, тъй като е продължение на пръстена по елемент: .

Тъй като пръстенът от гаусови числа е подмножество от комплексни числа, тогава някои дефиниции и свойства на комплексните числа са валидни за него. Така, например, всяко число на Гаус съответства на вектор, започващ в точка и завършващ в. следователно, модул има гаусови числа. Обърнете внимание, че в разглеждания набор изразът на подмодула винаги е неотрицателно цяло число. Следователно в някои случаи е по-удобно за използване нормата , тоест квадратът на модула. По този начин. Можем да различим следните свойства на нормата. За всички числа на Гаус е вярно следното:

(1)

(2)

(3)

(4)

(5)

Валидността на тези свойства се проверява тривиално с помощта на модула. Мимоходом отбелязваме, че (2), (3), (5) са валидни и за всякакви комплексни числа.

Пръстенът на гаусовите числа е комутативен пръстен без делители 0, тъй като е подпръстен от полето на комплексните числа. Това предполага мултипликативната свиваемост на пръстена, т.е.

1.1 ОБРАТНИ И ЛЕГИ ЕЛЕМЕНТИ.

Нека видим кои числа на Гаус ще бъдат обратими. Той е неутрален чрез умножение. Ако е число на Гаус обратимо , тогава по дефиниция съществува такова, че Преминавайки към нормите, съгласно свойство 3, получаваме. Но следователно тези норми са естествени. Следователно, чрез свойство 4, . Обратно, всички елементи от дадено множество са обратими, тъй като. Следователно числата с норма, равна на единица, ще бъдат обратими, т.е.

Както можете да видите, не всички числа на Гаус ще бъдат обратими. Ето защо е интересно да се разгледа въпросът за делимост. Както обикновено, ние казваме това е разделен на ако съществува такова, че За всякакви гаусови числа, както и обратими, свойствата са верни.

(7)

(8)

(9)

(10)

, където (11)

(12)

(8), (9), (11), (12) се проверяват лесно. Валидността (7) следва от (2), а (10) следва от (6). Поради свойството (9), елементите на множеството се държат по същия начин по отношение на делимост и се наричат съюзнически С. Следователно е естествено да се разгледа делимостта на числата на Гаус до обединение. Геометрично, в сложната равнина, свързаните числа ще се различават един от друг чрез завъртане на множество ъгли.

1.2 ДЕЛЕНИЕ С ОСТАТ.

Нека е необходимо да се раздели по, но е невъзможно да се направи разделение изцяло. Трябва да получаваме и в същото време трябва да има „малко“. След това ще покажем какво да вземем като непълно частно при деление с остатък в множеството от числа на Гаус.

Лема 1. За деление с остатък.

На ринга възможно е деление с остатък, при което остатъкът е по-малък от делителя в нормата. По-точно за всеки и ще има такъв, че . Като можете да вземете най-близкото до комплексното число Гаусово число.

Доказателство.

Разделете на в набора от комплексни числа. Това е възможно, защото наборът от комплексни числа е поле. Позволявам. Закръглявайки реалните числа и до цели числа, получаваме съответно и. Позволявам. Тогава

.

Умножавайки сега двете части на неравенството по, получаваме, поради мултипликативността на нормата на комплексните числа, че. Така като непълно частно може да се вземе гаусово число, което, както е лесно да се види, е най-близо до.

C.T.D.

1.3 GCD. АЛГОРИТЪМ ЕВКЛИД.

Използваме обичайната дефиниция на най-големия общ делител за пръстени. GCD "ом на две гаусови числа е общ делител, който се дели на всеки друг общ делител.

Както в набора от цели числа, в набора от числа на Гаус се използва евклидовият алгоритъм за намиране на GCD.

Нека и са дадени гаусови числа, освен това. Разделете с остатъка на. Ако остатъкът е различен от 0, тогава ще разделим на този остатък и ще продължим последователно да разделяме остатъците, доколкото е възможно. Получаваме верига от равенства:

, където

, където

, където

……………………….

, където

Тази верига не може да продължи безкрайно, тъй като имаме намаляваща последователност от норми, а нормите са цели неотрицателни числа.

Теорема 2. За съществуването на GCD.

В алгоритъма на Евклид, приложен към гаусовите числа и последният ненулев остатък е gcd( ).

Доказателство.

Нека докажем, че в евклидовия алгоритъм наистина получаваме gcd.

1. Помислете за равенства отдолу нагоре.

От последното равенство се вижда, че. Следователно като сбор от числа, делими на. Тъй като и, следващият ред ще даде. И т.н. Така е ясно, че i. Тоест това е общ делител на числа и.

Нека покажем, че това е най-големият общ делител, тоест делим на всеки от другите им общи делители.

2. Помислете за равенства отгоре надолу.

Позволявам е произволен общ делител на числа и. Тогава, тъй като разликата на числата, делима на, е валидна от първото равенство. От второто равенство получаваме това. По този начин, представяйки остатъка във всяко равенство като разлика от числа, делими на, получаваме от предпоследното равенство на какво се дели.

C.T.D.

Лема 3. За представянето на GCD.

Ако GCD( , )= , тогава има цели числа на Гаус и , Какво .

Доказателство.

Нека разгледаме веригата от равенства, получена в евклидовия алгоритъм отдолу нагоре. Последователно заменяйки вместо остатъците от тяхното изразяване чрез предишните остатъци, ние изразяваме чрез и.

Гаусово число се нарича просто , ако не може да се представи като продукт на два необратими фактора. Следващото твърдение е очевидно.

Изявление 4.

Умножаването на просто гаусово число по обратимо число отново води до просто гаусово число.

Изявление 5.

Ако вземем необратим делител с най-малката норма на гаусово число, тогава той ще бъде прост гаусов.

Доказателство.

Нека такъв делител е съставно число. Тогава, където и са необратими числа на Гаус. Нека преминем към нормите и според (3) получаваме това. Тъй като тези норми са естествени, имаме това и по силата на (12) е необратим делител на даденото гаусово число, което противоречи на избора.

Изявление 6.

Ако не се дели на просто число на Гаус , след това GCD( , )=1.

Доказателство.

Всъщност просто число дели се само на свързани числа с 1 или с . Тъй като не се дели на , след което се съюзява с също не се споделя. Това означава, че само обратими числа ще бъдат техни общи делители.

Лема 7. Лема на Евклид.

Ако произведението на гаусовите числа се дели на просто гаусово число , то поне един от факторите се дели на .

Доказателство.

За доказателство е достатъчно да разгледаме случая, когато продуктът съдържа само два фактора. Тоест показваме, че ако е делимо на , тогава всяко от двете се дели на , или разделена на .

Нека не се дели на , след това GCD(, )=1. Следователно има числа на Гаус и такива. Умножете двете страни на уравнението по , получаваме това, следва, че като сбор от числа, делими на .

1.4 ОСНОВНА ТЕОРЕМА НА АРИТМЕТИКАТА.

Всяко ненулево число на Гаус може да бъде представено като продукт на прости гаусови числа и това представяне е уникално до обединението и реда на факторите.

Забележка 1.

Обратимото число има нулеви прости множители в своето разширение, тоест то е представено от само себе си.

Забележка 2.

По-точно, уникалността се формулира по следния начин. Ако има две разложения на прости гаусови фактори, т.е. , тогава и можете да преномерирате числата по този начин , Какво ще бъде в съюз с , за всички от 1 до приобщаващ.

Доказателство.

Доказваме го чрез индукция по нормата.

База. За число с единична норма твърдението е очевидно.

Нека сега е ненулево необратимо гаусово число и за всички гаусови числа с норма по-малка от твърдението е доказано.

Нека покажем възможността за разлагане на прости множители. За да направим това, ние означаваме с необратимия делител, който има най-малка норма. Този делител трябва да е просто число по предложение 5. Тогава. По този начин имаме и, според индуктивната хипотеза, е представимо като продукт на прости числа. Следователно, се разлага в продукт на тези прости и.

Нека покажем уникалността на разлагането на прости фактори. За да направим това, ние вземаме две произволни такива разширения:

Според лемата на Евклид един от факторите в произведението трябва да се дели на. Можем да приемем, че се дели на, в противен случай преномерираме. Тъй като те са прости, къде е обратимо. Намалявайки двете страни на нашето равенство с, получаваме елементарно разлагане на число, което е по-малко от нормалното.

Според индуктивното предположение и е възможно числата да се преномерират по такъв начин, че да бъдат свързани с, с, ..., с. Тогава за тази номерация също е в съвпад с за всички от 1 до включително. Следователно разлагането на прости фактори е уникално.

Пример за едногенериран пръстен надбез OTA.

Обмисли. Елементите на този пръстен са числа от вида където и са произволни цели числа. Нека покажем, че основната теорема на аритметиката не важи в него. Ние дефинираме нормата на число в този пръстен, както следва: . Това наистина е норма, тъй като не е трудно да се провери това. Нека и. Тогава

Забележи това.

Нека покажем, че числата в разглеждания пръстен са прости. Наистина, нека бъде един от тях и. Тогава имаме: Тъй като в този пръстен няма числа с норма 2, то или. Обратими елементи ще бъдат числа с единична норма и само те. Това означава, че при произволна факторизация има обратим фактор, следователно е просто.

ГЛАВА 2. ПРОСТИ ЧИСЛА НА ГАУС.

За да разберете кои числа на Гаус са прости, разгледайте редица твърдения.

Теорема 8.

Всеки прост гаусов е делител на точно един прост естествен.

Доказателство.

Тогава нека е прост гаусов. Според основната теорема аритметиката на естествените числа се разлага на произведение на прости естествени числа. И според лемата на Евклид поне един от тях се дели на.

Нека сега покажем, че прост гаусов не може да раздели две различни прости естествени числа. Всъщност, дори ако има различни прости естествени числа, делими на . Тъй като gcd()=1, тогава, съгласно теоремата за представянето на gcd в цели числа, съществуват и има цели числа такива, че. Следователно, което противоречи на простотата.

По този начин, разлагайки всеки прост естествен на прости гауси, ние изброяваме всички прости гауси и без повторения.

Следващата теорема показва, че всяко просто естествено число "получава" най-много две прости гаусови.

Теорема 9.

Ако прост естествен фактор се разложи на произведение на три прости гаусови фактора, тогава поне един от факторите е обратим.

Доказателство.

Позволявам е прост естествен такъв, че . Обръщайки се към правилата, получаваме:

.

От това равенство в естествените числа следва, че поне една от нормите е равна на 1. Следователно поне едно от числата -- обратимо.

Лема 10.

Ако гаусово число се дели на просто число, тогава u.

Доказателство.

Позволявам , това е . Тогава , , това е , .

C.T.D.

Лема 11.

За просто естествено число от формата съществува естествено такова, че.

Доказателство.

Теоремата на Уилсън гласи, че едно цяло число е просто, ако и само ако. Но от тук. Разширете и трансформирайте факториала:

Оттук получаваме, че, т.е. .

Така получихме това , където = .

Сега сме готови да опишем всички прости числа на Гаус.

Теорема 12.

Всички прости гауси могат да бъдат разделени на три групи:

едно). Простите природни видове са прости гаусови;

2). Две е свързано с квадрата на просто гаусово число;

3). Простите естествени типове се разлагат в произведението на два прости спрегнати гаусови.

Доказателство.

1). Предполагаме, че прост естествен мил не е прост гаусов. Тогава , и и . Да преминем към правилата: . Като вземем предвид тези неравенства, получаваме , това е е сумата от квадратите на две цели числа. Но сборът от квадратите на цели числа не може да даде остатък от 3, когато се раздели на 4.

2). забележи това

.

номер е прост гаусов, тъй като в противен случай двете биха били разложени на три необратими фактора, което противоречи на теорема 9.

3). Нека прост естествен тип , то според лема 11 съществува цяло число такъв, че . Позволявам е прост гаусов. Защото , след това от лемата на Евклид разделя поне един от факторите. Позволявам , тогава има число на Гаус такъв, че . Приравнявайки коефициентите на имагинерните части, получаваме това . следователно, , което противоречи на нашето предположение за простота . Средства е съставен гаусов, представим като продукт на два прости спрегнати гаусиана.

C.T.D.

Изявление.

Гаусово число, конюгирано на просто, само по себе си е просто.

Доказателство.

Нека простото число е гаусово. Ако приемем, че композитът, т.е. След това разгледайте конюгата:, тоест представен като продукт на два необратими фактора, които не могат да бъдат.

Изявление.

Гаусово число, чиято норма е просто естествено число, е гаусово просто число.

Доказателство.

Нека тогава съставно число. Нека разгледаме правилата.

Тоест получаваме, че нормата е съставно число, а по условие е просто число. Следователно нашето предположение не е вярно и има просто число.

Изявление.

Ако простото естествено число не е просто гаусово, тогава то може да бъде представено като сбор от два квадрата.

Доказателство.

Нека просто естествено число и не е просто гаусов. Тогава. Тъй като числата са равни, техните норми също са равни. Тоест от тук получаваме.

Възможни са два случая:

едно). , тоест представено като сбор от два квадрата.

2). , тоест означава обратимо число, което не може да бъде, така че този случай не ни удовлетворява.

ГЛАВА 3. ПРИЛОЖЕНИЕ НА ЧИСЛАТА НА ГАУС.

Изявление.

Произведението на числата, представимо като сбор от два квадрата, също е представимо като сбор от два квадрата.

Доказателство.

Нека докажем този факт по два начина, като използваме числата на Гаус и без да използваме числата на Гаус.

1. Нека, са естествени числа, представими като сбор от два квадрата. Тогава и. Разгледайте продукта, тоест представен като произведение на две спрегнати гаусови числа, което е представено като сбор от два квадрата от естествени числа.

2. Нека . Тогава

Изявление.

Ако, където е прост естествен от формата, тогава и.

Доказателство.

От условието следва, че и в този случай е прост гаусов. Тогава, според лемата на Евклид, един от факторите се дели на. Да предположим, че по лема 10 имаме, че и.

Нека опишем общата форма на естествените числа, представими като сбор от два квадрата.

Коледната теорема на Ферма или теоремата на Ферма--Ойлер.

Ненулево естествено число може да бъде представено като сбор от два квадрата, ако и само ако в каноничното разлагане всички прости фактори от вида са в равни правомощия.

Доказателство.

Забележете, че 2 и всички прости числа от формата могат да бъдат представени като сбор от два квадрата. Нека в каноничното разлагане на число има прости множители от вида, които се срещат в нечетна степен. Поставяме в скоби всички фактори, представими като сбор от два квадрата, тогава факторите на формата ще останат и всички в първа степен. Нека покажем, че произведението на такива фактори не може да се представи като сбор от два квадрата. Наистина, ако приемем това, тогава имаме този един от множителите или трябва да се дели, но ако едно от тези числа на Гаус се дели, тогава то трябва да раздели и другото, като спрегнато към него. Тоест и, но тогава трябва да е във втора степен, а то в първа. Следователно произведението на произволен брой прости множители от формата от първа степен не може да бъде представено като сбор от два квадрата. Това означава, че нашето предположение не е вярно и всички прости множители на формата в каноничното разлагане на числото влизат в четни степени.

Задача 1.

Нека видим приложението на тази теория на примера за решаване на уравнението на Диафант.

Решете в цели числа.

Забележете, че дясната страна може да бъде представена като произведение на спрегнати гаусови числа.

Това е. Нека се дели на някакво просто гаусово число и спрегнатото също се дели на него, т.е. Ако разгледаме разликата на тези гаусови числа, които трябва да се делят на, получаваме, че трябва да дели 4. Но, тоест, свързани с.

Всички прости множители в разлагането на числото са включени в степента на кратно на три, а факторите на формата в степента на кратно на шест, тъй като просто гаусово число се получава от разлагането в просто гаусово 2, но следователно. Колко пъти се среща при разлагането на прости множители на число, толкова пъти се среща при разлагането на прости множители на число. Защото се дели на ако и само ако се дели на. Но в съюз с Тоест, те ще бъдат разпределени по равно, което означава, че ще бъдат включени в разширенията на тези числа в степени, кратни на три. Всички други прости фактори, включени в разлагането на число, ще влязат само в разлагането на число или число. Това означава, че при разлагането в прости гаусови фактори на число, всички фактори ще бъдат включени в степен, кратна на три. Следователно числото е куб. Така имаме това. От тук получаваме това, тоест трябва да е делител на 2. Следователно, или. Откъдето получаваме четири опции, които ни удовлетворяват.

едно. , . Къде да намерим това,.

2. , . Следователно, .

3. , . Следователно, .

4. , . Следователно, .

Задача 2.

Решете в цели числа.

Нека представим лявата страна като произведение на две числа на Гаус, т.е. Нека разложим всяко от числата на прости гаусови множители. Сред простите ще има такива, които са в разширението на и. Групираме всички такива фактори и обозначаваме получения продукт. Тогава само онези фактори, които не са в експанзията, ще останат в разширението. Всички прости гаусови фактори в разширението влизат в четна степен. Тези, които не са включени, ще присъстват или само в, или в. Значи числото е квадрат. Това е. Приравнявайки реалната и въображаемата част, получаваме, че .

Задача 3.

Броят на представянията на естествено число като сбор от два квадрата.

Проблемът е еквивалентен на проблема за представяне на дадено естествено число като норма на някакво число на Гаус. Нека е число на Гаус, чиято норма е равна на. Нека се разложим на прости природни фактори.

Където са простите числа на формата и са простите числа на формата. След това, за да може да се представи като сбор от два квадрата, е необходимо всички да са четни. След това разлагаме числото на прости гаусови фактори

къде са простите числа на Гаус, на които се разлагат.

Сравнението на норма с число води до следните отношения, които са необходими и достатъчни, за да:

Броят на прегледите се изчислява от общия брой опции за избор на индикатори. За индикатори има възможност, тъй като числото може да бъде разделено на два неотрицателни члена по следния начин:

За няколко индикатора има опция и т.н. Комбинирайки по всички възможни начини допустимите стойности за индикаторите, ще получим общо различни стойности за произведението на прости числа на Гаус, с норма от формата или 2. Индикаторите се избират уникално. И накрая, на обратимото могат да се дадат четири значения: По този начин има всички възможности за число и следователно числото под формата на гаусова числена норма, тоест във формата може да бъде представено по начини.

При това изчисление всички решения на уравнението се считат за различни. Въпреки това, някои решения могат да се разглеждат като дефиниращи едно и също представяне като сумата от два квадрата. Така че, ако - решения на уравнението, тогава можете да посочите още седем решения, които определят същото представяне на числото като сумата от два квадрата: .

Очевидно от осем решения, съответстващи на едно представяне, само четири различни могат да останат, ако и само ако или, или. Такива представяния са възможни, ако е пълен квадрат или удвоен пълен квадрат, и освен това може да има само едно такова представяне: .

Така имаме следните формули:

Ако не всички са четни и

Ако всички са четни.

Заключение.

В тази статия изучавахме теорията за делимост в пръстена на гаусовите цели числа, както и природата на гаусовите прости числа. Тези въпроси са разгледани в първите две глави.

Третата глава разглежда приложението на числата на Гаус за решаването на добре познати класически задачи, като например:

· Въпросът за възможността за представяне на естествено число като сбор от два квадрата;

· Задачата за намиране на броя на представите на естествено число като сбор от два квадрата;

· Намиране на общи решения на неопределеното питагорово уравнение;

а също и към решението на уравнението на Диафантин.

Отбелязвам също, че работата е изпълнена без използване на допълнителна литература.

Подобни документи

Свойства на делимост на цели числа в алгебрата. Характеристики на деление с остатък. Основни свойства на простите и съставните числа. Признаци за делимост на поредица от числа. Концепции и методи за изчисляване на най-голям общ делител (НКО) и най-малко общо кратно (НКМ).

лекция, добавена на 07.05.2013


Преглед на гаусовите квадратурни формули, тяхното дефиниране, интегрални конструкции, примери, описващи ясно гаусовите квадратури. Характеристики на използването на някои алгоритми, които позволяват проследяване на хода на решаване на проблеми с помощта на квадратурни формули на Гаус.

контролна работа, добавен на 16.12.2015г


Събиране и умножение на p-адични цели числа, дефинирани като почленно събиране и умножение на последователности. Пръстенът от цели p-адични числа, изследване на свойствата на тяхното деление. Обяснение на тези числа чрез въвеждане на нови математически обекти.

курсова работа, добавена на 22.06.2015


Концепцията за матрица. Метод на Гаус. Видове матрици. Метод на Крамер за решаване на линейни системи. Действия върху матрици: събиране, умножение. Решаване на системи от линейни уравнения по метода на Гаус. Елементарни трансформации на системи. Математически трансформации.

лекция, добавена на 02.06.2008


Законът за запазване на броя на числата Съвместни редове в естествените числа като принцип на обратната връзка на числата в математиката. Структурата на естествения ред от числа. Изоморфни свойства на редове от четни и нечетни числа. Фракталната природа на разпределението на простите числа.

монография, добавена на 28.03.2012


Йохан Карл Фридрих Гаус е най-великият математик на всички времена. Формули за интерполация на Гаус, които дават приблизителен израз за функцията y=f(x), използвайки интерполация. Области на приложение на формулите на Гаус. Основните недостатъци на интерполационните формули на Нютон.

тест, добавен на 12/06/2014


Разширен алгоритъм на Евклид, използването му за намиране на най-големия общ делител на естествени числа чрез остатъците от деленето. Математически календарен проблем. Евклидови пръстени - аналози на числата на Фибоначи в пръстена от полиноми, техните свойства.

резюме, добавен на 25.09.2009


Vivchennya степени на естествени числа. Безкрайност на множителя на прости числа. Сито на Ератостен. Продължение на основната теорема на аритметиката. Асимптотичен закон за подразделяне на прости числа. Характеризиране на алгоритъма според броя на простите числа на интервал.

курсова работа, добавена на 27.07.2015


Изчисляване на стойности на комплексни числа в алгебрични, тригонометрични и експоненциални форми. Определяне на разстоянието между точките в комплексната равнина. Решение на уравнението върху множеството от комплексни числа. Методи на Крамер, обратна матрица и Гаус.

контролна работа, добавена на 12.11.2012г


Числово-теоретична основа за изграждане на RNS. Теорема за деление с остатък. Алгоритъм на Евклид. Китайската теорема за остатъка и нейната роля при представянето на числата в RNS. Модели на модулно представяне и паралелна обработка на информация. модулни операции.

От курса по програмиране е известно, че едно цяло число може да бъде представено в компютърната памет по различни начини, по-специално това представяне зависи от това как е описано: като стойност от тип integer, или real, или string. В същото време в повечето езици за програмиране целите числа се разбират като числа от много ограничен диапазон: типичен случай е от -2 15 = -32768 до 2 15 - 1 = 32767 . Системи компютърна алгебрасе справят с големи цели числа, по-специално, всяка такава система може да изчислява и показва числа като 1000 в десетичен знак! (повече от хиляда знака).

В този курс ще разгледаме представянето на цели числа в символна форма и няма да навлизаме в подробности за това колко памет е отделена за запис на един символ (бит, байт или друг). Най-често срещаното е представянето на цели числа в позиционни бройни системи. Такава система се определя от избора на основата на числото, например 10. Наборът от цели десетични числа обикновено се описва по следния начин:

Писмената дефиниция на цели числа дава уникалността на представянето на всяко такова число и подобно определение (само, може би с различна основа) се използва в повечето системи. компютърна алгебра. Използвайки това представяне, е удобно да се реализират аритметични операции върху цели числа. В същото време събирането и изваждането са относително "евтини" операции, докато умножението и делението са "скъпи". Когато се оценява сложността на аритметичните операции, трябва да се вземе предвид както цената на елементарна операция (еднобитова), така и броят на еднобитовите операции за извършване на всяка операция с многоцифрени числа. Сложността на умножението и делението се дължи преди всичко на факта, че с увеличаване на дължината на число (записването му във всяка числова система) броят на елементарните операции се увеличава по квадратичен закон, за разлика от линейната за събиране и изваждане. Освен това това, което обикновено наричаме алгоритъм за многоцифрено деление, всъщност се основава на изброяване (често много значимо) на възможната следваща цифра на частното и не е достатъчно само да се използват правилата за разделяне на едноцифрени числа. При голяма база на бройната система (често тя може да бъде от порядъка на 2 30 ), този метод е неефективен.

Нека е естествено число (записано в десетична система). За да вземе рекорда му в -арна бройна система можете да използвате следния алгоритъм (означава цялата част от числото):

Дадено: A-естествено число в десетична нотация k > 1-естествено число Необходимост: A-запис на число A в k-десетична нотация Старт i:= 0 цикъл, докато A > 0 bi:= A (mod k) A:= i := i + 1 край на цикъл dA:= i - 1 край

Следният алгоритъм се използва за възстановяване на десетично число от последователността на неговата k-арна нотация:

Дадено: k > 1-естествено число поредица от цифри, представляващи числото A в k-арната система Нужда от: A-запис на числото A в десетичен запис Старт A:= 0 цикъл до края на последователността b:= следващ елемент от последователността A:= A * k + b крайна линия Край

1.2. УПРАЖНЕНИЕТО. Обяснете защо деленето се използва за преобразуване на число от десетичната система в k-число, а умножението се използва за преобразуване от k-число в десетично.

Умножавайки по "колона" две двуцифрени числа в десетичната бройна система, ние извършваме следните операции:

(10a + b)(10c + d) = 100ac + 10(ad + bc) + bd,

т.е. 4 операции на умножение на едноцифрени числа, 3 операции на събиране и 2 операции на умножение по силата на числовата основа, които се свеждат до изместване. При оценката на сложността може да се вземат предвид всички елементарни операции, без да се разделят по тегла (в този пример имаме 9 елементарни операции). Задачата за оптимизиране на алгоритъма при този подход се свежда до минимизиране на общия брой елементарни операции. Може обаче да се смята, че умножението е по-скъпа операция от събирането, което от своя страна е „по-скъпо“ от смяната. Имайки предвид само най-скъпите операции, получаваме това мултипликативнасложността на умножаването на двуцифрени числа по "колона" е 4.

Раздел 5 разглежда алгоритмите за изчисляване на най-големите общи делители и оценява тяхната сложност.

Разглежданото представяне не е единственото канонично представяне на цели числа. Както вече беше отбелязано, за да се избере канонично представяне, може да се използва уникалността на факторизацията на естествено число в прости фактори. Такова представяне на цяло число може да се използва в онези задачи, където се използват само операции за умножение и деление, тъй като те стават много "евтини", но цената на операциите за събиране и изваждане се увеличава непропорционално, което предотвратява използването на такова представяне. При някои проблеми отхвърлянето на каноничното представяне дава значителна печалба в скоростта, по-специално може да се използва частична факторизация на число. Подобен метод е особено полезен при работа не с числа, а с полиноми.

Ако е известно, че по време на работа на програмата всички цели числа, срещани при изчисленията, са ограничени по абсолютна стойност от дадена константа, тогава за да се зададат такива числа, тяхната система от остатъци по модул на някои взаимно прости числа, чийто продукт надвишава споменатата константа, може да се използва. Изчисленията с класове остатъци обикновено са по-бързи от аритметиката с множествена точност. И с този подход аритметика с множествена точност трябва да се използва само при въвеждане или извеждане на информация.

Имайте предвид, че заедно с каноничните представяния в системите компютърна алгебрасе използват и други представяния. По-специално, желателно е наличието или отсъствието на знак "+" пред цяло число да не влияе на възприемането на компютъра за него. Така за положителните числа се получава нееднозначно представяне, въпреки че формата на отрицателните числа е еднозначно определена.

Друго изискване е възприятието на число да не се влияе от наличието на нули преди първата значима цифра.

1.3. УПРАЖНЕНИЯ.

1. Изчислете броя на едноцифрените умножения, използвани при умножаване на m-цифрено число по n-цифрено число по колона.
2. Покажете, че две двуцифрени числа могат да бъдат умножени, като се използват само 3 едноцифрени умножения и се увеличава броят на събиранията.
3. Намерете алгоритъм за разделяне на дълги числа, който не изисква много изброяване, за да намерите първата цифра на частното.
4. Опишете алгоритъма за преобразуване на естествени числа от m-арната бройна система в n-арната.
5. V Римска номерацияследните символи се използват за запис на числа: I - едно, V - пет, X - десет, L - петдесет, C - сто, D - петстотин, M - хиляда. Символът се счита за отрицателен, ако има символ с по-голямо число вдясно от него, и положителен в противен случай. Например числото 1948 в тази система ще бъде записано така: MCMXLVIII. Формулирайте алгоритъм за преобразуване на число от римско в десетично и обратно. Реализирайте получения алгоритъм на един от алгоритмичните езици (например C). Ограничения за първоначалните данни: 1<= N < 3700 , в записи результата ни один символ не должен появляться больше 3 раз.
6. Формулирайте алгоритъм и напишете програма за събиране на естествени числа в римско число.
7. Ще кажем, че имаме работа с числова система смесени или векторни, ако ни е даден вектор от n естествени числа M = (m 1 , . . .,m n) (база) и обозначението K = (k 0 , k 1 , . . , k n) означава числото k = k 0 +m 1 (k 1 +m 2 (k 2 + · · +m n ·k n) . . .)). Напишете програма, която според данните (ден от седмицата, часове, минути, секунди) определя колко секунди са минали от началото на седмицата (понеделник, 0, 0, 0) = 0, и извършва обратната трансформация.

Видяхме, че операциите върху полиноми се свеждат до операции върху техните коефициенти. В същото време за събиране, изваждане и умножение на полиноми са достатъчни три аритметични операции - не се изисква деление на числата. Тъй като сборът, разликата и произведението на две реални числа са отново реални числа, събирането, изваждането и умножаването на полиноми с реални коефициенти води до полиноми с реални коефициенти.

Въпреки това, не винаги трябва да се работи с полиноми, които имат някакви реални коефициенти. Има случаи, когато по самата същност на въпроса коефициентите трябва да имат само цели числа или само рационални стойности. В зависимост от това кои стойности на коефициентите се считат за допустими, свойствата на полиномите се променят. Например, ако разгледаме полиноми с всякакви реални коефициенти, тогава можем да разложим на множители:

Ако се ограничим до полиноми с цели коефициенти, тогава разширяването (1) няма смисъл и трябва да считаме полинома за неразложим на фактори.

Това показва, че теорията на полиномите по същество зависи от това кои коефициенти се считат за допустими. Далеч от всеки набор от коефициенти може да се приеме като приемлив. Например, разгледайте всички полиноми, чиито коефициенти са нечетни цели числа. Ясно е, че сборът от два такива полинома вече няма да бъде полином от същия тип: в края на краищата сборът от нечетни числа е четно число.

Нека си зададем въпроса: какви са „добрите“ набори от коефициенти? Кога сборът, разликата, произведението на полиноми с коефициенти от даден тип има коефициенти от същия тип? За да отговорим на този въпрос, въвеждаме понятието числов пръстен.

Определение. Непразен набор от числа се нарича числов пръстен, ако заедно с произволни две числа a и , съдържа тяхната сума, разлика и продукт. Това също се изразява по-накратко, като се казва, че пръстенът с числата е затворен при операциите събиране, изваждане и умножение.

1) Множеството от цели числа е числов пръстен: сумата, разликата и произведението на цели числа са цели числа. Множеството от естествени числа не е числов пръстен, тъй като разликата на естествените числа може да бъде отрицателна.

2) Множеството от всички рационални числа е числов пръстен, тъй като сборът, разликата и произведението на рационалните числа са рационални.

3) Образува числов пръстен и множество от всички реални числа.

4) Числа от вида a, където a и цели числа образуват числов пръстен. Това следва от отношенията:

5) Множеството от нечетни числа не е числов пръстен, тъй като сборът от нечетни числа е четен. Наборът от четни числа е числов пръстен.

Федерална агенция за образование

Държавно образователно заведение за висше професионално образование

Вятски държавен университет за хуманитарни науки

Факултет по математика

Катедра по математически анализи и методи
преподаване на математика

Финална квалификационна работа

на тема: Гаусов пръстен от цели числа.

Завършено:

студент 5-та година

Факултет по математика

Гнусов В.В.

___________________________

Научен съветник:

старши преподавател на катедрата

алгебра и геометрия

Семенов A.N.

___________________________

Рецензент:

Кандидат по физика и математика наук, доцент

Катедра по алгебра и геометрия

Ковязина Е.М.

___________________________

Допуснат до защита във ВАС

Глава Отдел ________________ Вечтомов Е.М.

« »________________

Декан на факултета ___________________ Варанкина В.И.

Въведение.

Пръстен от цели комплексни числа

е открит от Карл Гаус и наречен Гаусиан на негово име.

К. Гаус стигна до идеята за възможността и необходимостта от разширяване на концепцията за цяло число във връзка с търсенето на алгоритми за решаване на сравнения от втора степен. Той прехвърли концепцията за цяло число върху числа от формата

, където са произволни цели числа и е коренът на уравнението. На това множество К. Гаус е първият, който конструира теория за делимост, подобна на теорията за делимост на цели числа. Той обоснова валидността на основните свойства на делимостта; показа, че има само четири обратими елемента в пръстена от комплексни числа: ; доказа валидността на теоремата за деление с остатък, теоремата за единствеността на разлагането на прости множители; показа кои прости естествени числа ще останат прости в пръстена; открил естеството на простите цели комплексни числа.

Теорията, разработена от К. Гаус, описана в неговия труд "Аритметични изследвания", е фундаментално откритие за теорията на числата и алгебрата.

За дипломната работа бяха поставени следните цели:

1. Развийте теорията за делимост в пръстена от числа на Гаус.

2. Открийте естеството на простите числа на Гаус.

3. Покажете приложението на гаусовите числа при решаване на обикновени диофантови задачи.

ГЛАВА 1. ДЕЛИМОСТ В ПРЪЩЕНА НА ГАУСОВИТЕ ЧИСЛА.

Помислете за набора от комплексни числа. По аналогия с множеството от реални числа в него може да се различи подмножество от цели числа. Наборът от числа на формата

, където ще се наричат ​​комплексни цели числа или числа на Гаус. Лесно е да се провери дали аксиомите на пръстена са валидни за това множество. По този начин този набор от комплексни числа е пръстен и се нарича пръстен от гаусови цели числа . Нека го означим като , тъй като е продължение на пръстена от елемента: .

Тъй като пръстенът от гаусови числа е подмножество от комплексни числа, тогава някои дефиниции и свойства на комплексните числа са валидни за него. Например за всяко число на Гаус

съответства на вектор, започващ в точка и завършващ в . следователно, модул Гаусовите числа са. Обърнете внимание, че в разглеждания набор изразът на подмодула винаги е неотрицателно цяло число. Следователно в някои случаи е по-удобно за използване нормата , тоест квадратът на модула. По този начин . Можем да различим следните свойства на нормата. За всякакви гаусови числа е вярно следното: (1) (2) (3) (4) (5) - множеството от естествени числа, тоест положителни цели числа.

Валидността на тези свойства се проверява тривиално с помощта на модула. Мимоходом отбелязваме, че (2), (3), (5) са валидни и за всякакви комплексни числа.

Пръстенът на гаусовите числа е комутативен пръстен без делители 0, тъй като е подпръстен от полето на комплексните числа. Това предполага мултипликативната свиваемост на пръстена

, т.е. (6)

1.1 ОБРАТНИ И ЛЕГИ ЕЛЕМЕНТИ.

Нека видим кои числа на Гаус ще бъдат обратими. Умножението е неутрално

. Ако е число на Гаус обратимо , тогава по дефиниция съществува такова, че . Преминавайки към нормите, съгласно свойство 3, получаваме . Но следователно тези норми са естествени. Следователно, чрез свойство 4, . Обратно, всички елементи от това множество са обратими, тъй като . Следователно числата с норма, равна на единица, ще бъдат обратими, тоест , .

Както можете да видите, не всички числа на Гаус ще бъдат обратими. Ето защо е интересно да се разгледа въпросът за делимост. Както обикновено, ние казваме това

е разделен на, ако съществува такова, че За всякакви гаусови числа, както и обратими, свойствата са верни. (7) (8) (9) (10) , където (11) (12)

(8), (9), (11), (12) се проверяват лесно. Валидността (7) следва от (2), а (10) следва от (6). Поради свойството (9), елементите на множеството

В различни клонове на математиката, както и в приложението на математиката в технологиите, често има ситуация, при която алгебричните операции се извършват не върху числа, а върху обекти от различно естество. Например събиране на матрица, умножение на матрица, събиране на вектори, операции върху полиноми, операции върху линейни трансформации и т.н.

Определение 1. Пръстенът е набор от математически обекти, в които са дефинирани две действия – „събиране“ и „умножение“, които сравняват подредени двойки елементи с техните „сума“ и „продукт“, които са елементи от едно и също множество. Тези действия отговарят на следните изисквания:

1.a+b=b+a(комутативност на събирането).

2.(a+b)+c=a+(b+c)(асоциативност на събирането).

3. Има нулев елемент 0 такъв, че а+0=а, за всякакви а.

4. За всеки аима противоположен елемент − атакъв, че а+(−а)=0.

5. (a+b)c=ac+bc(лява дистрибутивност).

5".c(a+b)=ca+cb(дясна дистрибутивност).

Изисквания 2, 3, 4 означават, че множеството от математически обекти образува група , а заедно с т. 1 имаме работа с комутативна (абелова) група по отношение на събирането.

Както се вижда от определението, в общата дефиниция на пръстена не се налагат ограничения върху умноженията, с изключение на дистрибутивността със събиране. Въпреки това, в различни ситуации става необходимо да се обмислят пръстени с допълнителни изисквания.

6. (ab)c=a(bc)(асоциативност на умножението).

7.ab=ba(комутативност на умножението).

8. Наличие на идентификационния елемент 1, т.е. такъв а 1=1 a=a, за всеки елемент а.

9. За всеки елемент от елемента аима обратен елемент а−1 такъв, че аа −1 =а −1 a= 1.

В различни пръстени 6, 7, 8, 9 могат да се изпълняват както поотделно, така и в различни комбинации.

Пръстенът се нарича асоциативен, ако условие 6 е изпълнено, комутативен, ако е изпълнено условие 7, комутативен и асоциативен, ако са изпълнени условия 6 и 7. Пръстенът се нарича пръстен с единица, ако е изпълнено условие 8.

Примери за пръстени:

1. Набор от квадратни матрици.

Наистина ли. Изпълнението на точки 1-5, 5" е очевидно. Нулевият елемент е нулевата матрица. Освен това се изпълняват точка 6 (асоциативност на умножението), точка 8 (единичният елемент е матрицата за идентичност). Точки 7 и 9 не се извършват, тъй като в общия случай умножението на квадратни матрици е некомутативно, а също така не винаги има обратен на квадратна матрица.

2. Множеството от всички комплексни числа.

3. Множеството от всички реални числа.

4. Множеството от всички рационални числа.

5. Множеството от всички цели числа.

Определение 2. Всяка система от числа, съдържаща сумата, разликата и произведението на произволни две от числата, се нарича цифров пръстен.

Примери 2-5 са пръстени с числа. Числовите пръстени са също всички четни числа, както и всички цели числа, делими без остатък на някакво естествено число n. Имайте предвид, че наборът от нечетни числа не е пръстен, тъй като сборът от две нечетни числа е четно число.