Последният пример въвежда концепцията за азбучен ред.

азбукае набор от различни по двойки знаци, наречени букви от азбуката. Пример за това е азбуката на всеки европейски език, както и азбуката на арабските цифри от 10. В компютъра клавиатурата и някои помощни средства определят азбуката на валидните знаци.

Дума в азбукатаА -набор от азбучни знаци А.Думата се изписва с азбучни знаци в ред, отляво надясно, без интервали Естественото число е дума в цифровата азбука Формулата не винаги е дума поради нелинейното подреждане на знаците, наличието на горен индекс (експоненти ) и индекси (индекси на променливи, основи на логаритмите) знаци, дробна черта, знаци радикали и др.; въпреки това, според някои конвенции, той може да бъде записан в низ, който се използва например в компютърното програмиране (например знакът за степенуване се записва като 2 знака за умножение в ред: 5**3 означава третата степен на числото 5.

Лексико-графичен (азбучен) ред -за различни думи в азбуката с подредени

подреждане на набора от символи: ако

възможно представяне , при което или

(поддума може да бъде празна), или - празна поддума

В тази дефиниция - представка (начална поддума), която е еднаква и за двете думи - или първата в ред вляво са различни

символи, или - последният знак в думата - опашка

поддуми.

По този начин азбучното подреждане на думите се определя от първия знак, който ги отличава отляво (например думата KONUS предхожда думата COSINUS, тъй като те се различават първо в третата буква, а H предхожда C в руската азбука). Също така се счита, че символът за интервал предхожда всеки знак от азбуката - за случая, когато една от думите е представка на другата (например KOH и CONE)

Упражнението.Проверете дали азбучното подреждане на естествените числа, които имат същия брой цифри в десетичната система, е същото като подреждането им по величина.

Позволявам А -частично поръчан комплект. Елементът се нарича максимум v А,ако няма елемент за който а< b. елемент аНаречен най велик v А,ако за друго освен аелемент завършен б<а-

са определени симетрично минимум и най-малкоелементи. Понятията за най-големия и максималния (съответно най-малкия и минимален) елементи са различни - вж. пример на фиг.14. Комплектът на фиг. 14а има най-големия елемент R,това е и максимумът, има два минимални елемента: s и tняма най-малък. На фиг. 14b, напротив, множеството има два максимални елемента / и j ,няма най-голям, минимум, той е най-малкият - един: Т.

Като цяло, ако даден набор има най-голям (съответно най-малък) елемент, тогава само един (може и да няма такъв).

Може да има няколко максимални и минимални елемента (може да няма изобщо - в безкраен набор; в крайния случай трябва да има).

Нека разгледаме още два примера. - отношение на снимачната площадка н:

„Йразделя Х",или "Хе делителят на числото Y"(Например,

) е рефлексивен и преходен. Разгледайте го върху краен набор от делители на числото 30.

Връзката е връзка с частичен ред (нестрога)

и е представена от следната матрица от ред 8, съдържаща 31 знака

Съответната схема с 8 върха трябва да съдържа 31 пакета. . Все пак ще бъде по-удобно за гледане, ако изключим 8

връзки-цикли, изобразяващи рефлексивността на релацията (диагонални елементи на матрицата) и преходни връзки, т.е. вързопи

Ако има междинно число Z, такова че

(например куп, защото ). След това в схемата

ще има 12 лигамента (фиг. 15); липсващите връзки се подразбират "по преходност". Числото 1 е най-малкото, а числото 30

най-големите елементи в . Ако изключим от числото 30 и

помислете за същия частичен ред на множеството , тогава

няма най-голям елемент, но има 3 максимални елемента: 6, 10, 15

Сега нека изградим същата схема за булевата връзка

(множество от всички подмножества) на триелементно множество

Съдържа 8 елемента:

Проверете дали съвпадате с елементите а, б, в,числата 2, 3, 5, съответно, и операциите за обединение на множества са умножение на съответните числа (т.е., например, подмножество съответства на

продукт 2 5 = 10), тогава матрицата на релациите ще бъде точно

същото като за отношение ; схеми на тези две отношения с описаното

съкращенията на циклите и преходните съединителни връзки съвпадат до нотация (виж фиг. 16). Най-малкият елемент е

И най-големият -

бинарни отношения Рна снимачната площадка Аи Сна снимачната площадка VНаречен изоморфенако между А и Бвъзможно е да се установи едно към едно съответствие Г, в което, ако (т.е.

елементите са свързани R),след това (изображения

тези елементи са свързани С).

По този начин, частично подредени множества и са изоморфни.

Разгледаният пример допуска обобщение.

Булевата връзка е частичен ред. Ако

Тези. няколко Есъдържа Пелементи , след това всеки

подмножество съответства П-размерен вектор с

компоненти , където е характеристичната функция

комплекти A/ . Множеството от всички такива вектори може да се разглежда като набор от точки П-мерно аритметично пространство с координати 0 или 1, или, с други думи, като върхове П-измерна

единичен куб, означен с , т.е. куб с ръбове с единична дължина. За n = 1, 2, 3 посочени точки представляват съответно краищата на отсечката, върховете на квадрата и куба - оттук и общото име. За /7=4, графично представяне на тази връзка е на фиг.17. Близо до всеки връх на 4-мерния куб, съответният

подмножество от 4-елементно множество и четириизмерно

вектор, представляващ характеристичната функция на това подмножество. Върховете са свързани помежду си, съответстващи на подмножества, които се различават по наличието на точно един елемент.

На фиг. 17 четириизмерен куб е изобразен по такъв начин, че на една

ниво има по двойки несравними елементи, съдържащи същия брой единици в записа (от 0 до 4), или, с други думи, същия брой елементи в представените подмножества.

На фиг.18а,б - други визуални изображения на 4-мерен куб;

на фиг.18а оста на първата променлива охнасочени нагоре (умишлено отклонение от вертикалата, така че различните ръбове на куба да не се сливат):

докато 3-измерният подкуб, съответстващ на х= 0 се намира по-долу, а за х= 1 - по-високо. На фиг. 186 същата ос охнасочен от вътрешността на куба навън, вътрешният подкуб съответства на х= О, и външно - X= 1.

V
Файлът с материали показва изображение на 5-измерен единичен куб (стр. 134).

Свойства на връзката:

1) рефлексивност;

2) симетрия;

3) транзитивност.

4) свързаност.

Поведение Рна снимачната площадка хНаречен отразяващако за всеки елемент от множеството хможе да се каже, че е във връзка РСъс себе си: хRx.Ако релацията е рефлексивна, тогава във всеки връх на графа има цикъл. Обратно, граф, чийто всеки връх съдържа цикъл, е рефлексивна релационна графа.

Примери за рефлексивни отношения са „множественото“ отношение на множеството от естествени числа (всяко число е кратно на себе си) и отношението на подобието на триъгълниците (всеки триъгълник е подобен на себе си) и отношението „равенство“ (всяко число е равно на себе си) и т.н.

Има отношения, които нямат свойството на рефлексивност, например отношението на перпендикулярност на сегментите: аб, ба(няма сегмент, за който може да се каже, че е перпендикулярен на себе си) . Следователно на графиката на тази връзка няма цикли.

Той няма свойството на рефлексивност и съотношението е „по-дълго“ за сегменти, „по-голямо с 2“ за естествени числа и т.н.

Поведение Рна снимачната площадка хНаречен антирефлексен, ако за който и да е елемент от множеството хвинаги фалшиво хRx: .

Има отношения, които не са нито рефлексивни, нито антирефлексивни. Пример за такава връзка е връзката „точка хсиметрични към точка вотносително прав л”, дефиниран върху множеството точки на равнината. Всъщност всички точки от линията лса симетрични на себе си и точки, които не лежат на права л,не са симетрични на себе си.

Поведение Рна снимачната площадка хНаречен симетрични, ако условието е изпълнено: от факта, че елементът хе във връзка с елемента г, следва, че елементът ге във връзка Рс елемент Х:xRyyRx .

Графиката на симетрична връзка има следната характеристика: заедно с всяка стрелка, идваща от хДа се г, графиката съдържа стрелка, водеща от гДа се х(фиг. 35).

Примери за симетрични връзки могат да бъдат следните: съотношението на "паралелност" на сегментите, съотношението на "перпендикулярност" на сегментите, съотношението на "равенството" на сегментите, съотношението на подобие на триъгълниците, съотношението на "равенството" на дроби и др.

Има отношения, които нямат свойството на симетрия.

Наистина, ако сегментът хпо-дълъг от сегмента в, след това сегментът вне може да бъде по-дълъг от сегмента х. Графиката на тази връзка има особеност: стрелката, свързваща върховете, е насочена само в една посока.

Поведение РНаречен антисиметрични, ако за някакви елементи хи гот истината xRyследва фалшификация yRx: : xRyyRx.

В допълнение към „по-дългата“ връзка има и други антисиметрични отношения на множеството от сегменти. Например, отношението "по-голямо от" за числа (ако хПовече ▼ в, тогава вне може да бъде повече х), съотношението „повече от“ и т.н.

Има отношения, които нямат нито свойството на симетрия, нито свойството на антисиметрия.

Отношение R на снимачната площадка хНаречен преходенако от какъв елемент хе във връзка Рс елемент y,и елементът ге във връзка Рс елемент z, следва, че елементът хе във връзка Рс елемент z: xRyи yRzxRz.

Графика на преходна връзка с всяка двойка стрелки, тръгваща от хДа се ги от гДа се z, съдържа стрелка, водеща от хДа се z.

Връзката "по-дълго" на множеството от сегменти също има свойството на транзитивност: ако сегментът апо-дълъг от сегмента б, раздел бпо-дълъг от сегмента С, след това сегментът апо-дълъг от сегмента С.Отношението "равенство" върху множеството от сегменти също има свойството на транзитивност: (а=b, b=c)(a=c).

Има отношения, които нямат свойството на преходност. Такава релация е например релацията на перпендикулярност: ако сегментът аперпендикулярно на сегмента б, и сегментът бперпендикулярно на сегмента С, след това сегментите аи Сне перпендикулярно!

Има още едно свойство на отношенията, наречено свързано свойство, а отношение, което го притежава, се нарича свързано.

Поведение Рна снимачната площадка хНаречен свързани,ако за някакви елементи хи гот това множество е изпълнено следното условие: ако хи гса различни, значи хе във връзка Рс елемент г, или елемент ге във връзка Рс елемент х. Използвайки символи, това може да бъде написано по следния начин: xyxRyили yRx.

Например, отношението "по-голямо от" за естествени числа има свойството да бъде свързано: за всякакви различни числа x и y може да се твърди или x>y, или y>x.

В релационна графика всеки два върха са свързани със стрелка. Обратното също е вярно.

Има отношения, които нямат свойството на свързаност. Такава връзка, например, е отношението на делимост на множеството от естествени числа: можем да наречем такива числа x и гкаквото и да е числото хне е делител г, без номер гне е делител х(числа 17 и 11 , 3 и 10 и др.) .

Нека разгледаме няколко примера. На снимачната площадка X=(1, 2, 4, 8, 12)връзката „число хкратно на г". Нека построим графика на тази връзка и да формулираме нейните свойства.

Казват за отношението на равенството на дробите, това е отношение на еквивалентност.

Поведение Рна снимачната площадка хНаречен отношение на еквивалентност,ако едновременно притежава свойствата на рефлексивност, симетрия и транзитивност.

Примери за отношения на еквивалентност са: отношения на равенство на геометрични форми, успоредност на прави линии (при условие, че съвпадащите прави се считат за успоредни).

В обсъденото по-горе отношение на "равенството на дробите", множеството хразделени на три подмножества: ; ; }, {; } , (). Тези подмножества не се пресичат и тяхното обединение съвпада с множеството х, т.е. имаме разделяне на множеството на класове.

Така, ако е дадено релация на еквивалентност върху множество X, тогава тя генерира разделяне на това множество на двойно несвързани подмножества - класове на еквивалентност.

Така установихме, че отношението на равенство на множеството
х=( ;; ; ; ; ) съответства на разделянето на това множество на еквивалентни класове, всеки от които се състои от равни дроби.

Принципът за разделяне на множество на класове чрез някакво отношение на еквивалентност е важен принцип на математиката. Защо?

Първо, еквивалентен - означава еквивалентен, взаимозаменяем. Следователно елементите от един и същ клас на еквивалентност са взаимозаменяеми. И така, дроби, които са в същия клас на еквивалентност (; ; ), са неразличими от гледна точка на отношението на равенството и дроба може да бъде заменен с друг, например . И тази подмяна няма да промени резултата от изчисленията.

На второ място, тъй като в класа на еквивалентност има елементи, които са неразличими от гледна точка на някаква връзка, се смята, че класът на еквивалентност се определя от всеки негов представител, т.е. произволен елемент от класа. Така че всеки клас от равни дроби може да бъде определен чрез посочване на всяка фракция, принадлежаща към този клас. на класа на еквивалентност от един представител позволява вместо всички елементи на множеството да се изследва множеството от представители от класовете на еквивалентност. Например, релацията за еквивалентност "има еднакъв брой върхове", дадена на набор от многоъгълници, генерира разделяне на този набор на класове от триъгълници, четириъгълници, петоъгълници и т.н. свойства, присъщи на определен клас, се разглеждат върху един от неговите представители.

На трето място, разделянето на множество на класове с помощта на релация на еквивалентност се използва за въвеждане на нови понятия. Например, концепцията за "сноп от линии" може да се дефинира като това общо нещо, което успоредните прави имат една с друга.

Взаимоотношенията по поръчка са друг важен вид взаимоотношения. Помислете за проблема.На снимачната площадка х={3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10 ) отношението „има еднакъв остатък, когато се раздели на 3 ". Тази връзка генерира дял на множеството хв класове: един ще включва всички числа, когато е разделен на 3 получени в остатъка 0 (това са числа 3, 6, 9 ). Във втория - числа, когато се делят на 3 остатъкът е 1 (това са числа 4, 7, 10 ). Третата ще включва всички числа, когато е разделена на 3 остатъкът е 2 (това са числа 5, 8 ). Действително, получените множества не се пресичат и тяхното обединение съвпада с множеството х. Следователно отношението „да има същия остатък, когато се дели на 3 » дефиниран в комплекта х, е релация на еквивалентност.

За да вземем друг пример, много ученици в клас могат да бъдат сортирани по височина или възраст. Забележете, че тази връзка има свойствата на антисиметрия и транзитивност. Или всеки знае реда на буквите в азбуката. То се осигурява от отношението „трябва“.

Поведение Рна снимачната площадка хНаречен стриктно отношение на реда, ако едновременно притежава свойствата на антисиметрия и транзитивност. Например релацията х< г».

Ако връзката има свойствата на рефлексивност, антисиметрия и транзитивност, тогава тя ще бъде такава нестриктно отношение на поръчката. Например релацията хг».

Примери за отношението на реда са: отношението „по-малко от“ на множеството естествени числа, отношението „по-късо“ на множеството от сегменти. Ако едно порядково отношение също има свойството да бъде свързано, тогава се казва, че е линейно отношение на ред. Например, отношението "по-малко от" на множеството естествени числа.

Няколко хНаречен подреден,ако има отношение на поръчка.

Например, много X={2, 8, 12, 32 ) може да се подреди с помощта на релацията “по-малко от” (фиг. 41), или това може да стане с помощта на релацията “множество” (фиг. 42). Но, като отношение на ред, отношенията „по-малко от“ и „умножават“ подреждат множеството от естествени числа по различни начини. Връзката "по-малко от" ви позволява да сравните произволни две числа от набора х, а релацията "умножи" няма такова свойство. Да, няколко числа. 8 и 12 не е обвързана от отношението "умножавам": не може да се каже, че 8 многократни 12 или 12 многократни 8.

Не трябва да се мисли, че всички отношения се делят на отношения на еквивалентност и отношения на ред. Има огромен брой отношения, които не са нито отношения на еквивалентност, нито отношения на ред.

Нека R е бинарна релация на множество A.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Бинарна връзка R на множество A се нарича порядка на A или ред на A, ако е транзитивна и антисиметрична.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Редовно отношение R върху множество A се нарича нестрого, ако е рефлексивно върху A, т.е. за някое от A.

За порядковата връзка R се казва, че е строга (на A), ако е антирефлексивна към A, т.е. за което и да е от A. Въпреки това, антисиметрията на преходна връзка R следва от факта, че тя е антирефлексивна. Следователно можем да дадем следното еквивалентно определение.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Бинарно отношение R върху множество A се нарича строг ред върху A, ако е транзитивно и антирефлексно върху A.

Примери. 1. Позволявам да бъде множеството от всички подмножества на множеството M. Включването на релацията на множеството е отношение на нестрог ред.

2. Отношенията върху множеството от реални числа са съответно отношение на строг и нестрог ред.

3. Отношението на делимост в множеството от естествени числа е отношение от нестрог ред.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Бинарна релация R върху множество A се нарича преднаредена релация или преднаредена върху A, ако е рефлексивна върху и преходна.

Примери. 1. Съотношението на делимост в множество цели числа не е ред. Въпреки това, той е рефлексивен и преходен, което означава, че е предварителна поръчка.

2. Връзката на логическата последица е предварителен ред върху множеството от пропозиционални логически формули.

Линеен ред. Важен специален случай на поръчка е линейната поръчка.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Връзка на порядък на множество се нарича линейна връзка на ред или линеен ред върху, ако е свързана на , т.е. за всяко x, y от A

Връзка на ред, която не е линейна, обикновено се нарича връзка с частичен ред или частична поръчка.

Примери. 1. Връзката "по-малко от" върху множеството от реални числа е релация от линеен ред.

2. Редното отношение, прието в речниците на руския език, се нарича лексикографско. Лексикографският ред на набора от думи в руския език е линеен ред.

Думата "заповед" често се използва в най-разнообразни издания. Офицерът дава команда: „Изчислете по ред на числата“, аритметичните операции се извършват в определен ред, атлетите стават на ръст, всички водещи шахматисти се подреждат в определен ред според така наречените коефициенти на Ело (американски професор който разработи системните коефициенти, позволяващи да се вземат предвид всички успехи и неуспехи на играчите), след първенството всички футболни отбори са подредени в определен ред и т.н. засадени магаре не "!).

Подреждайки елементите на определен набор един след друг, ние по този начин ги подреждаме или установяваме някаква връзка между тях. подред.Най-простият пример е естественият ред на естествените числа. Неговата естественост се състои във факта, че за всякакви две естествени числа знаем кое от тях следва другото или кое от тях е по-голямо от другото, така че можем да подредим естествените числа в последователност, така че по-голямото число да бъде разположено, т.к. например, вдясно от по-малкия: 1, 2, 3, ... . Разбира се, последователността от елементи може да бъде записана във всяка посока, а не само отляво надясно. Самата концепция за естествените числа вече съдържа идеята за реда. Чрез установяване на някакво относително подреждане на елементите на всяко множество, ние по този начин задаваме върху него някаква двоична порядкова връзка, която във всеки конкретен случай може да има собствено име, например "бъди по-малко", "бъди по-стар", "съдържа се в " , "следвайте" и т. н. Символите за поръчка също могат да бъдат различни, например Í и т.н.

Основната отличителна черта на отношението на поръчката е, че то има свойството на транзитивност. Така че, ако имаме работа с поредица от някои обекти x 1, x 2, ..., x n,... , подредени, например, по отношение на , след това от това, което се изпълнява х 1х 2... x n..., трябва да следва това за всяка двойка x i , x jелементи от тази последователност също се изпълнява x ixj:

За двойка елементи x ijв графиката на връзката рисуваме стрелка отгоре x iдо горе xjт.е. от по-малък елемент към по-голям.

Графиката на отношението на поръчката може да бъде опростена с помощта на т.нар Диаграми на Хасе.Диаграмата на Хасе е изградена по следния начин. По-малките елементи са поставени отдолу, а големите са отгоре. Тъй като едно такова правило не е достатъчно за изображението, се начертават линии, показващи кой от двата елемента е по-голям и кой е по-малък от другия. В този случай е достатъчно да начертаете само линии за непосредствено следване на елементи. Примери за диаграми на Хасе са показани на фигурата:

Стрелките могат да бъдат пропуснати в диаграмата на Хасе. Диаграмата на Хасе може да се върти в равнината, но не произволно. При завъртане е необходимо да се поддържа относителното положение (горе - долу) на върховете на диаграмата:

Поведение Рв множество хНаречен отношение на строг ред,ако е преходна и асиметрична.

Извиква се набор, в който е дефинирана строга връзка за ред подредени.Например наборът от естествени числа е подреден по отношението "по-малко от". Но същият набор е подреден и от друга връзка - „се разделя на“ и „по-голямо“.

Графиката на отношението "по-малко от" в набора от естествени числа може да бъде представена като лъч:

Поведение Р v хсе нарича релация нестрог (частичен) ред, ако е преходен и антисиметричен. Всяко отношение на нестрогия ред е рефлексивно.

Епитетът "частичен" изразява факта, че може би не всички елементи на набора са сравними в това отношение.

Типични примери за връзка с частичен ред са "не повече", "не по-малко", "не по-стари". Частицата „не“ в имената на отношенията служи за изразяване на тяхната рефлексивност. Отношението "не повече" съвпада с отношението "по-малко или равно на", а отношението "не по-малко" е същото като "по-голямо или равно на". В тази връзка се нарича и частичният ред отпуснатв ред. Често отношението на частична (нестрога) поръчка се обозначава със символа "".

Връзката на включване U между подмножества на някакво множество също е частичен ред. Очевидно е, че не две подмножества са сравними в това отношение. Фигурата по-долу показва частичен ред чрез включване в множеството на всички подмножества от множеството (1,2,3). Стрелките на графиката, които трябва да сочат нагоре, не се показват.

Извикват се набори, на които е даден частичен ред частично поръчан,или просто подреденикомплекти.

Елементи хи вчастично подреден набор се наричат сравнявам,ако хвили вХ.Иначе не са сравними.

Извиква се подредено множество, в което всеки два елемента са сравними линейно подредени, а редът е линеен ред. Линейният ред се нарича още перфектен ред.

Например множеството от всички реални числа с естествен ред, както и всички негови подмножества, е линейно подредено.

Могат да се поръчват обекти от най-разнообразен характер йерархично.Ето няколко примера.

Пример 1: Частите на книгата са подредени така, че книгата съдържа глави, главите съдържат раздели, а разделите се състоят от подраздели.

Пример 2. Папките в компютърната файлова система са вложени една в друга, образувайки разклонена структура.

Пример 3. Връзката родители – деца може да се изобрази под формата на т.нар семейно дърво,което показва кой е чий прародител (или потомство).

Нека на снимачната площадка Ададена частична заповед. елемент хНаречен максимум (минимум)елемент от множеството A, ако от факта, че хв(вХ),следва равенство х= г.С други думи, елементът хе максимумът (минимумът), ако за който и да е елемент вили това не е вярно хв(вх), или се изпълнява х=г.Така максималният (минимален) елемент е по-голям (по-малък) от всички други елементи, с които е във връзка.

елемент хНаречен най-голям (най-малък),ако за такъв вÎ Аизпълнено в< х (х< у).

Частично подреден набор може да има множество минимални и/или максимални елементи, но не може да има повече от един минимален и максимален елемент. Най-малкият (най-големият) елемент е и минималният (максимум), но обратното не е вярно. Фигурата вляво показва частична поръчка с два минимални и два максимални елемента, а вдясно - частична поръчка с най-малкия и най-големия елемент:

В ограничено частично подредено множество винаги има минимални и максимални елементи.

Нарича се подредено множество, което има най-големи и най-малки елементи ограничен .Фигурата показва пример за безкрайно ограничено множество. Разбира се, невъзможно е да се изобрази безкрайно множество на крайна страница, но е възможно да се покаже принципът на неговото изграждане. Тук примките в близост до върховете не са показани за опростяване на чертежа. По същата причина дъгите, които осигуряват показване на свойството транзитивност, не са показани. С други думи, фигурата показва диаграма на Хасе на отношението на реда.

Безкрайните множества може да нямат максимум, минимум или и двете. Например наборът от естествени числа (1,2, 3, ...) има най-малкия елемент 1, но няма максимум. Множеството от всички реални числа с естествен ред няма нито най-малкия, нито най-големия елемент. Въпреки това, неговото подмножество, състоящо се от всички числа х< 5 има най-голям елемент (номер 5), но не и най-малък елемент.

2) релацията върху множеството X се нарича релация строго ред, ако е антисиметрична и преходна. Връзката се нарича антисиметрични, ако от факта, че a е във връзка с c в, не следва, че in е във връзка с a (a, в ∈ X, и R в → в R a) R - да бъде във връзка.Връзката се нарича преходен, ако за всякакви елементи a, b, c от факта, че a R в и в R c → че a R c, a, c, c ∈ X. Например: отношението "повече, по-малко". Извиква се множество, върху което е дадена строга връзка за ред подреденимного.

3) релацията върху множеството X се нарича релация не в строг ред, ако е рефлексивен, асиметричен и преходен. Например: съотношение ≥ ≤. Ако отношението на поръчката има свойството да бъде свързано, тогава се казва, че е релация линеен ред. Връзката се нарича свързанина множеството X, ако за всякакви елементи x и y условието е изпълнено: от факта, че x ≠ y следва, че x R y или y R x. Ако линейно отношение на ред е дадено на множество, тогава то линейно подрежда даденото множество.

5. Множеството от реални числа. Неговите свойства. Необходимостта от измерване на дължините на отсечки, площи и т.н. доведе до разширяване на множеството от рационални числа. Всяко измерване се основава на същия принцип: измерваният обект се сравнява със стандарта (обект или явление), чиято стойност има числова стойност, равна на 1, но не винаги един сегмент е вграден в измервания обект. Следователно при измерване се правят 2 допускания, които в математиката са били определени като аксиоми: 1) Един стандарт може да бъде разделен на произволен брой равни дялове или части. 2) Избраният стандарт може да се използва за измерване на произволно голям обект. За отсечките тези аксиоми са формулирани от Архимед: без значение колко малък е отсечката AB и без значение колко голям е сегментът CD, има такова естествено число N, че N*AB>CD, ако равен брой отсечки AB се побират в измерен сегмент CD, тогава дължината на сегмента CD се изразява като естествено число. Ако в измерения сегмент CD сегментът AB се побере неравен брой пъти, тогава разделяме AB на 10 еднакви сегмента, наречени десета от стандартите. При необходимост десетият дял може да бъде разделен на 10 равни части и т.н. Ако равен брой от 10, 100 и т.н. се вписва в сегмента CD. части от отсечки AB, то дължината на отсечката CD се изразява като рационално число. Въпреки това, не винаги дължината на отсечката може да бъде изразена като естествено или рационално число. Има несъизмерими сегменти, т.е. отсечки, чиято дължина не се изразява с рационално число. (теореми виж въпрос 32)

Числата, които могат да бъдат представени като безкрайни десетични неповтарящи се дроби, се наричат ​​ирационални числа. Обединението на множеството от рационални числа и множеството от ирационални числа е множеството от реални числа ().

Свойства на множеството реални числа. едно). Множеството точки от числовата ос е еквивалентно на множеството от реални числа.

0 M 1 Вземете всяка точка M от отсечката от 0 до 1,

Начертайте полукръг с център в

Средата на този сегмент и радиусът

K O C равно на половината от него. Начертайте перпендикуляр от M към пресечната точка с полукръг. Получаваме D. Тази точка е единствена, тъй като полукръгът и правата се пресичат само в една точка. От средата на този сегмент през D начертаваме права линия до пресечната точка с реалната ос. Получаваме K, което е еднозначно определено, тъй като правите се пресичат само в една точка. Избирайки друга произволна точка на даден сегмент и повтаряйки целия процес, получаваме, че всяка точка от отсечката от 0 до 1 съответства на една точка от реалната права. Аргументирайки назад, можем да покажем, че всяка точка от числовата права съответства и на една точка от 0 до 1. Ако произволна точка E принадлежи на числовата права, тогава само една права може да бъде проведена през точките M и E, която се пресича полукръгът. От полукръг можете да пуснете перпендикуляр на даден сегмент. Така между точките на отсечката от 0 до 1 и точките на числовата права се установява взаимно идентично съпоставяне, т.е. те са равни.

2) множеството от реални числа не е изброимо, т.е. не е равно на множеството естествени числа.

3). Множеството от реални числа е непрекъснато множество. Непрекъснатостта на множеството от реални числа е, че между всякакви две реални числа има безкраен набор само от реални числа

6. Разделяне на набора на класове. Примери за класификация. Отношение на еквивалентност, неговите свойства. Връзката на релацията на еквивалентност с разделянето на множеството на класове. Нека да разгледаме един пример. Нека е дадено множеството M (набор от изпъкнали многоъгълници), образуваме всички подмножества на това множество: A 1 - набор от триъгълници; A2 е набор от четириъгълници; А3 – набор от петоъгълници; Ak е набор от k-ъгълници. Множеството M се счита за разделено на класове, ако са изпълнени следните условия:

1. всяко подмножество A не е празно
2. пресечната точка на всякакви две подмножества е празното множество
3. обединението на всички подмножества е даденото множество M

Разделянето на множество на класове се нарича класификация.

Поведениена множеството X се нарича еквивалентен , ако е рефлексивен, симетричен и преходен. Връзката се нарича отразяващ, ако някой елемент от множеството X е във връзка със себе си a ∈ X и R a (R е в релация). Връзката се нарича симетрични, ако за всеки два елемента от множеството X (a и c) от факта, че a е във връзка с c, следва, че c е във връзка с a (a, c ∈ X, и R c → c R a). Връзката се нарича преходен, ако за всякакви елементи a, b, c от факта, че a R в и в R c → че a R c, a, c, c ∈ X. Има бримки, взаимно обратни стрелки и триъгълни стрелки на графиката на отношение на еквивалентност. Отношението на еквивалентност и само то е свързано с разделянето на множество на класове. Това твърдение може да се формулира като теореми: Ако е посочена релация на еквивалентност на множеството X, тогава това отношение разделя множеството X на класове и обратно, ако множеството X е разделено на класове, тогава отношението на еквивалентност е удовлетворено на даденото множество. Например. Нека се даде отношението - да живеем в една и съща къща. Нека покажем, че наборът от наематели в къщата ще бъде разделен на класове. И всеки клас е отделен апартамент. За това деление ще бъдат изпълнени всички необходими условия за разделяне на множеството на класове: а) всеки клас не е празен, тъй като всеки апартамент има поне 1 човек, но е регистриран, б) класовете не се припокриват (1 човек не е записан в два различни апартамента), в) обединението на всички класове, т.е. наематели на всеки апартамент, и съставлява съвкупността от наематели на къщата.

18 . Теоретико-множествен подход към изграждането на теорията на неотрицателните цели числа. Отношения на равенство, повече (по-малко). Две множества A и B се наричат ​​еквивалентни или еквивалентни, ако между тях може да се установи съответствие едно към едно, т.е. ако всеки елемент от множеството A е свързан с един елемент от множеството B и обратно. Мощността или кардиналното число е свойство, което е присъщо на всяко множество B, което е равно по мощност на множество A и не е присъщо на нито един друг набор, което не е равно по мощност на множество A. A~B n (A) =a е мощност. Отношението на еквивалентност е отношение на еквивалентност, т.е. той удовлетворява свойствата на рефлексивност, симетрия и транзитивност. Връзката на еквивалентност разделя множеството от всички множества на класове на еквивалентност. За да дефинирате концепцията за естествено число и нула, разгледайте разделяне на всички крайни множества.

Нека M е множеството от всички крайни множества. M=K 0 Ka Kv, където Ko е клас празни множества, Ka е множество, съдържащо равни множества a 1, a 2, a 3 и т.н., Kv е множество. Съдържащи равни множества в 1 , в 2 , в 3 и т.н. Множеството M може да съдържа и други подмножества K с различно естество, които се състоят от множества с еднаква мощност. Общото за всеки клас на еквивалентност K е, че се състои от еднакъв брой елементи, няма други общи свойства. Неотрицателно цяло число от гледна точка на теорията на множеството е общо свойство на клас от крайни равни множества. Естественото число е общо свойство на класа непразни крайни еквипотентни множества. На всеки клас се присвоява кардинален номер (мощност). На празното множество от класа е присвоен координатен номер 0. На класа, състоящ се от набори с 1 елемент, е присвоен номер 1. На класа, състоящ се от множества с 2 елемента, е присвоен номер 2. (n(K 0)=0, n(K 1)=1, n(K 2)=2, n(Ka)=a).

Отношение на равенство. Цели неотрицателни числа a и b се наричат ​​равни, ако множествата A и B, чийто брой изразяват, са еквивалентни (A; n(A)=a, n(B)=b, A ~ B n(A )=n(B) a=c).

Теорема: релацията на равенство в множеството от неотрицателни цели числа е релация на еквивалентност. Доказателство. Нека докажем, че отношението на равенство притежава свойствата на симетрия, транзитивност и рефлексивност.

Защото свойствата на рефлексивност, симетрия, транзитивност са удовлетворени, тогава отношението на равенство е отношение на еквивалентност.

Съотношение по-малко. Неотрицателно цяло число a<в, если множество А равномощно собственному подмножеству В 1 множества В. а<в; n(А)=а; n(В)=в; В 1 В n(В 1)

Теорема: съотношението по-малко от това в множеството от неотрицателни цели числа е отношение от строг ред. Доказателство: Нека докажем, че отношението по-малко от притежава свойствата на антисиметрия и транзитивност.

C 2 C 1 C 2 ~ B 1 C 2 ~ A n (A) \u003d n (C 2) n (C 2)

А Б В 1 В

B 1 C 2

19 . Събиране и изваждане в количествената теория на цели неотрицателни числа. Техните свойства. сумадве неотрицателни цели числа a и b се наричат ​​неотрицателни цели c, което е мощността на обединението на две непресичащи се множества A и B, чиито мощности са съответно равни на a и c. a+b=c, n(C)=n(AUB), n(AUB)=n(A)+n(B).

Допълнителни свойства. 1. Събиране в множеството от неотрицателни цели числа винаги съществува и е еднозначно дефинирано. Нека докажем, че сумата винаги съществува. Да разгледаме A и B такива, че тяхното пресичане е празното множество и броят на елементите на A е a, а мощността на B е c. намираме обединението на A и B. Тъй като обединението на две несвързани множества винаги съществува и следователно сборът съществува, а от определението на сбора следва, че събирането винаги съществува.

Нека докажем, че сумата е еднозначно определена. Има C 1 и C 2 - неотрицателни цели числа. C 1 \u003d a + b и C 2 \u003d a + c. Сборът от числа a и b не зависи от това кои множества A и B сме избрали от класа на еквивалентните множества и следователно обединението на A и B, взето от класа на еквивалентните множества, не зависи от избора на множества A и B, тъй като мощностите във всеки клас са еднакви, тогава C 1 = C 2.

2. Комутативност на събирането. За всички неотрицателни цели числа a и b свойството a+b=b+a е изпълнено. От теорията на множествата знаем, че за AUB = BUA. Ако множествата са равни, техните числови стойности са равни. n(AUB)=n(BUA). От теорията на множествата знаем, че мощността на един съюз е равна на сумата от мощностите. N(A)+n(B)=n(B)+n(A).

3. Свойство на асоциативност. За произволни числа a, b, c важи следното свойство: a+(b+c)=(a+b)+c. От теорията на множествата е известно, че свойството асоциативност е изпълнено за обединението на множества: AU(ВУС)=(АУВ)UС, ако множествата са равни, тогава техните числови стойности са равни, n(AU(ВУС) ))=n((АУВ)UC). От теорията на множествата е известно, че мощността на съюза е равна на сумата от мощностите на тези множества, n(A) + n (BUC) \u003d n (AUB) + n (C) n (A) + ( n (B) + n (C)) \u003d (n (A) + n (B)) + n (C) a + (b + c) \u003d (a + c) + c.

разликанеотрицателни цели числа a и b се наричат ​​неотрицателно цяло число c, което е степента на допълнението на множеството B към множеството A, така че B принадлежи на A, n(A)=a, n(B) =c.

Различни свойства. 1. За да съществува разлика от неотрицателни цели числа, е необходимо и достатъчно a да е по-голямо или равно на b.

Да докажем: 1) достатъчно условие за съществуването на разлика. Дадено е: a - b = c, докажете: a c. От дефиницията на разликата следва, че има допълнение на множество B към множество A и това допълнение има мощност, която може да бъде намерена от равенство, известно от теорията на множествата.

n () \u003d n (A) -n (B). От факта, че B е подмножество на A, следва, че броят на елементите в B е по-малък от броя на елементите на A. n (B) v; B влиза в A; n(V)

2). Необходимо условие. Като се има предвид а. докаже съществуването на разликата (a-c). Ако a>b, според дефиницията на релацията "по-малко от", има множество A 1, такова, че A 1 е включено в A и A 1 ~B. Съставете разликата между A и A 1. Тази разлика винаги съществува (A-A 1 \u003d C) и следователно съществува C, което е тази разлика. От тези условия следва, че C е допълнението на A 1 към A. C \u003d 1A Силата на C е мощността на допълнението на A 1 към A. n (C) = n ( 1A) \u003d n ( A) -n (A 1) , тъй като A 1 ~ B, тогава n (A 1) \u003d n (B), следователно n (C) \u003d n (A) -n (B), следователно c \u003d ac .

2. Разликата на неотрицателните цели числа се намира по уникален начин, тъй като разликата е мощността на допълнението от подмножества към множество, а допълнението се дефинира по уникален начин, тогава разликата на неотрицателните цели числа е дефинирани по уникален начин.

3. За изваждане не са изпълнени свойствата на комутативност и асоциативност.

4. Изваждане на сбора от числото. a-(b+c)=(a-c)-c. От теорията на множествата знаем A\(BUC)=(A\B)\C и B Ì A; C Ì A; VUSÌA.

n (A\(BUC))=n((A\B)\C)

n(A)-n(BUC)=n(A\B)-n(C)

n(A)-(n(B)+n(C))=(n(A)-n(B))-n(C)

a-(b+c)=(a-c)-c.

5. Изваждане на число от разликата (a-c)-c \u003d (a-c)-c. Доказателството се основава на свойството на множеството разлика (A\B)\C=(A\C)\B.

6. Изваждане на число от сбора (a+b)-c=(a-c)+c. Доказателството се основава на свойството на множества (AUB)\C=(A\C)UB.

Деактивирайте adBlock!
много необходимо